數(shù)形結(jié)合提高解題能力的應(yīng)用分析

于 晶

（河北省張家口市第四中學(xué) 河北張家口 075000）

數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中較為常用的方法之一，將該思想方法運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)中，不僅能有效降低數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度，還能促進(jìn)學(xué)生高效掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提升學(xué)生的解題能力。因此，作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)積極探尋數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用路徑，以期將數(shù)形結(jié)合的教育價(jià)值充分發(fā)揮在課堂教學(xué)中，進(jìn)而構(gòu)建更為高效的高中數(shù)學(xué)課堂，并以此拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的解題能力，有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的提升。

一、數(shù)形結(jié)合的相關(guān)概述及應(yīng)用原則

（一）數(shù)形結(jié)合的相關(guān)概述

“數(shù)形結(jié)合”思想中“數(shù)”所指的是數(shù)與式，而“形”所指的是圖形與圖像。數(shù)與形均是數(shù)學(xué)教學(xué)中最根本的研究對(duì)象，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化和滲透，而這種聯(lián)系則被稱(chēng)為數(shù)形結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是教育教學(xué)中較為常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用共包含兩種形式，其一是借助數(shù)的精確性闡述形的一些屬性，其二是借助形的幾何直觀(guān)性闡述數(shù)之間的關(guān)系。簡(jiǎn)單概括來(lái)說(shuō)，“數(shù)形結(jié)合”思想包含兩方面內(nèi)容，即“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”，其中“以形助數(shù)”所指的是數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用，通過(guò)將形作為手段、數(shù)作為目的，把難以理解的代數(shù)問(wèn)題向簡(jiǎn)單直觀(guān)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化，并借助幾何工具對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決。而“以數(shù)輔形”所指的是因有些圖形太過(guò)簡(jiǎn)單，直接觀(guān)察并不能看出一定規(guī)律，這時(shí)就應(yīng)給圖形賦值來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。將數(shù)形結(jié)合運(yùn)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，能將抽象問(wèn)題具體化，將復(fù)雜問(wèn)題清晰化，以此充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生學(xué)科綜合能力的提升提供重要保障。

（二）數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用原則

所謂數(shù)形結(jié)合教學(xué)即教師在開(kāi)展教學(xué)工作過(guò)程中，將數(shù)學(xué)知識(shí)以圖形的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前的一種教學(xué)方式，此種方式不僅能降低數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)雜程度，同時(shí)能幫助學(xué)生更快地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，這也是有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的關(guān)鍵。但數(shù)形結(jié)合中包含多種基礎(chǔ)性的理論知識(shí)，因此想要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，來(lái)提高學(xué)生的解題能力，就必須遵循以下幾個(gè)原則：首先為等價(jià)性原則。所謂的等價(jià)性原則主要是指教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)與幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換應(yīng)是等價(jià)的，若不遵循這一原則，解題一定會(huì)出現(xiàn)漏洞。其次為雙向性原則。所謂雙向性原則主要是指教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，不僅要對(duì)幾何直觀(guān)進(jìn)行分析，還要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩者之間只有相輔相成，才能有效促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升。最后為簡(jiǎn)單性原則。也就是說(shuō)想要有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就要確保圖形的簡(jiǎn)單性，否則該方法的運(yùn)用也會(huì)失去原本的教學(xué)意義。

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題的意義

首先運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題有助于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用，不僅能給學(xué)生提供動(dòng)手演練的機(jī)會(huì)，還能啟發(fā)學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升。例如，教師在教學(xué)人教版《三角函數(shù)》的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式開(kāi)展教學(xué)，通過(guò)指導(dǎo)學(xué)生自主動(dòng)手實(shí)踐，利用點(diǎn)在圖形圓之上的變化，得出正弦、余弦、正切、余切等函數(shù)意義，這也能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)意義的理解。其次運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題有助于提升學(xué)生的解題能力。將數(shù)學(xué)結(jié)合運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)為學(xué)生呈現(xiàn)直觀(guān)、形象的數(shù)學(xué)圖形，可使學(xué)生更加清晰地掌握題目的要求，從而不斷提升學(xué)生的解題能力。例如，教師在教學(xué)人教版《曲線(xiàn)與方程》建立對(duì)應(yīng)關(guān)系中，就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思想，幫助學(xué)生在向量和坐標(biāo)之間建立聯(lián)系，進(jìn)而有效提升學(xué)生的思維能力。最后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題有助于提升學(xué)生的認(rèn)知能力。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可為學(xué)生呈現(xiàn)生動(dòng)、直觀(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，也能更深刻地說(shuō)明數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知水平的提升。例如，教師在教學(xué)人教版《集合》的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，就可運(yùn)用數(shù)軸對(duì)集合中的數(shù)集進(jìn)行表現(xiàn)，這時(shí)學(xué)生可以快速掌握集合的意義及從屬關(guān)系。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提升學(xué)生解題能力的路徑

（一）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)難題，啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

在現(xiàn)階段的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，已經(jīng)有非常多的高中生開(kāi)始嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解決，但是其對(duì)于數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)并不全面，大多停留在畫(huà)草圖的階段，這就在一定程度上忽略了數(shù)形結(jié)合下數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合性特征。尤其是數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)知識(shí)，只借助假想推導(dǎo)數(shù)學(xué)圖形，根本無(wú)法有效地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，教師在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合開(kāi)展教學(xué)時(shí)，想要提升學(xué)生的解題能力，必須向?qū)W生著重強(qiáng)調(diào)圖形的準(zhǔn)確性及等價(jià)交換，積極改變并創(chuàng)新數(shù)形結(jié)合的教學(xué)思路，以此提高學(xué)生解題的能力。例如，教師在教學(xué)人教版《三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)》這一課程內(nèi)容時(shí)，由于該知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)知識(shí)，因此教師在開(kāi)展教學(xué)時(shí)，就可有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題思路。在具體的教學(xué)過(guò)程中，教師可先向?qū)W生拋出一個(gè)問(wèn)題“函數(shù)y=sinx與y=tan x，已知這兩個(gè)函數(shù)均有實(shí)數(shù)根，求其圖形在區(qū)間[0，π]上的交點(diǎn)數(shù)量”。之后教師就可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行授課，首先明確數(shù)學(xué)區(qū)間，在[0，π]內(nèi)取值計(jì)算；其次明確函數(shù)的具體關(guān)系，將函數(shù)y=sinx與y=tanx取值的具體范圍及函數(shù)圖像特征畫(huà)出來(lái)，對(duì)交點(diǎn)數(shù)量進(jìn)行計(jì)算。這時(shí)教師應(yīng)詳細(xì)告知學(xué)生，作圖時(shí)應(yīng)充分考慮兩個(gè)函數(shù)在取值中所存在的差別，并引導(dǎo)學(xué)生按照題目的具體內(nèi)容進(jìn)行作圖，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。此種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)的方式，不僅能啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的提高。

（二）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生想象，豐富學(xué)生解題方法

在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多數(shù)學(xué)教師非常重視數(shù)形結(jié)合在教育教學(xué)中的應(yīng)用，但是在開(kāi)展實(shí)際教學(xué)時(shí)，其認(rèn)知水平還局限于作圖及解題的層次，未從根本上重視數(shù)形結(jié)合的思維鍛煉能力。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)，教師應(yīng)以開(kāi)發(fā)和訓(xùn)練學(xué)生的理性思維技能為主，指導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合思想在想象的過(guò)程中假設(shè)、探索，以此提高學(xué)生的解題能力，并有效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升。例如，教師在教學(xué)人教版《圓的方程》這一課程內(nèi)容時(shí)，想要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生的解題能力，教師可指導(dǎo)學(xué)生依靠想象及邏輯推理能力進(jìn)行思考，從而幫助學(xué)生有效積累解題的經(jīng)驗(yàn)。這時(shí)教師可向?qū)W生提出如下問(wèn)題“已知有兩個(gè)實(shí)數(shù)，分別是x，y，滿(mǎn)足x2-y2-6x-4y+12=0，求y/x 的最大值與最小值”。之后教師就可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合將相關(guān)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形素材，并引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象，按照題干的信息我們知道，點(diǎn)（x，y）滿(mǎn)足圓的方程的一般規(guī)則，y/x 是點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)之間的斜率，如果（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，y/x 的最大值與最小值則為從原點(diǎn)向圓，所引出兩條切線(xiàn)的斜率。在教師引導(dǎo)下學(xué)生完成作圖后，教師可繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)問(wèn)題“按照直線(xiàn)與圓相切的關(guān)系，將K值求出來(lái)，并計(jì)算y/x 的最大值與最小值”。這時(shí)教師仍舊運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想實(shí)施授課和解題，這個(gè)過(guò)程中教師不僅要訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，還要引導(dǎo)學(xué)生自主探究，與存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題相結(jié)合，自主總結(jié)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，以此有效解答數(shù)學(xué)教學(xué)中的復(fù)雜問(wèn)題。此種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生想象開(kāi)展教學(xué)的方式，不僅能豐富學(xué)生的解題方法，提高學(xué)生的解題能力，還能優(yōu)化和完善數(shù)學(xué)教學(xué)的流程。

（三）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，鍛煉學(xué)生思維能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用既可作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)方法，也可在開(kāi)展具體的教學(xué)活動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)化為教學(xué)工具，究其原因，高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，更加重視提升學(xué)生的理性思維及綜合技能，并要求學(xué)生從多個(gè)方面掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，教師在開(kāi)展具體的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，以此鍛煉學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的解題能力。例如，教師在教學(xué)人教版《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式》這一課程內(nèi)容時(shí)，先是向?qū)W生提出如下問(wèn)題“已知tan（π+a）=4，求sin（π+a）cos（π-a）的值”，如果直接套用已知的公式進(jìn)行計(jì)算，那么計(jì)算的過(guò)程是非常復(fù)雜的。因此教師就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的相關(guān)知識(shí)在課堂中整理出來(lái)，并為學(xué)生提供相應(yīng)的“參照物”，通過(guò)數(shù)學(xué)圖形對(duì)三角函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行記錄，并總結(jié)sin（π-a）、cos（π-a）等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生明確這之中的數(shù)學(xué)關(guān)系，之后與數(shù)學(xué)圖形相配合，有效掌握三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的取值范圍。此外，在學(xué)生解題時(shí)，教師還可指導(dǎo)學(xué)生繪制三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的相關(guān)圖像，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有更明確的理解和認(rèn)識(shí)，以此有效總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，來(lái)解答數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的重難點(diǎn)問(wèn)題。此種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)開(kāi)展教學(xué)的方式，不僅能鍛煉學(xué)生的思維能力，還能逐步促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高。

（四）運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生繪圖，培養(yǎng)學(xué)生理性思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中想要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合提高學(xué)生的解題能力，教師必須改變以往“灌輸式”的教學(xué)模式，積極創(chuàng)新數(shù)形結(jié)合教育教學(xué)的方法，并允許學(xué)生自由發(fā)揮，以此在提升學(xué)生解題能力的同時(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提升。在實(shí)施具體的教學(xué)過(guò)程中，教師在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合教學(xué)時(shí)，可選擇教材中較為典型的例題進(jìn)行授課，在向?qū)W生講解知識(shí)的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生深入分析和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，并獨(dú)立進(jìn)行繪圖，以此促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)的高效完成。例如，在教學(xué)人教版《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》這一課程內(nèi)容時(shí)，教師為學(xué)生設(shè)置了如下問(wèn)題“已知方程2x2-(m+3)x+m2-1=0 在（0，2）與（2，4）上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求解m 的取值范圍”。學(xué)生在看到教師設(shè)置的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，只看到了“方程求解”的問(wèn)題，并未挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中的難題，但其實(shí)該道題的解題要求非常復(fù)雜，首先方程中涵蓋兩個(gè)未知數(shù)，且有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以求解難度相對(duì)較大；其次無(wú)法確定m 的取值范圍，m 的值有可能是有理數(shù)，但也有可能是實(shí)數(shù)。學(xué)生在嘗試對(duì)該道題進(jìn)行解答時(shí)，教師就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行認(rèn)真的思考，如方程2x2-(m+3)x+m2-1=0，可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)?（x）=2x2-(m+3)x+m2-1，之后按照二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解題，并運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)及定義進(jìn)行求解，進(jìn)而得出?（0）>?（2）、?（2）0 這三個(gè)不同的不等式，從而明確m 取值的具體范圍。這個(gè)過(guò)程中教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生自主繪圖，依靠自己的能力對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更深層次的認(rèn)識(shí)和理解，以此在提高學(xué)生解題能力的同時(shí)，促進(jìn)學(xué)生解題效率的提升。此種運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生自主繪圖開(kāi)展教學(xué)的方式，既能培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，也是提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題效率的一種行之有效的方法。

總之，數(shù)形結(jié)合作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要的教學(xué)方法，將其合理運(yùn)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用價(jià)值。作為新時(shí)代的高中數(shù)學(xué)教師，也應(yīng)緊跟教育發(fā)展步伐，積極探尋數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用路徑，通過(guò)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合引導(dǎo)學(xué)生想象、指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、引導(dǎo)學(xué)生繪圖的方式，將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)價(jià)值發(fā)揮到最大，以此有效提高學(xué)生的解題能力，促使學(xué)生更加快速、準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)教材中復(fù)雜困難的數(shù)學(xué)題，并在無(wú)形之中促進(jìn)學(xué)生抽象性、創(chuàng)新性及創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展，為學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的全面提升奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。