思維科學(xué)介入提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的研究

丁曼旎

（北京市育英學(xué)校 北京 100036）

現(xiàn)代教育學(xué)理論認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上就是，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和問題解決能力的過程，所以，圍繞思維科學(xué)素養(yǎng)對(duì)現(xiàn)有的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行改革迫在眉睫。結(jié)合最新版中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)理念，認(rèn)識(shí)到科學(xué)探究素養(yǎng)、運(yùn)算素養(yǎng)、模型建構(gòu)素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)等都是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)，但是要形成這些素養(yǎng)的前提必須要培養(yǎng)學(xué)生的思維科學(xué)素養(yǎng)，只有學(xué)生愛思考，尊重科學(xué)，學(xué)生才知道學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，才能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，最終主動(dòng)地投入到學(xué)習(xí)中[1]。

一、類比思維為主導(dǎo)的思維科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)研究

雖然中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)比較多，也非常復(fù)雜，但是知識(shí)之間的邏輯結(jié)構(gòu)層次還是比較清晰的，知識(shí)與知識(shí)之間也存在一定的關(guān)聯(lián)。在學(xué)習(xí)的過程中，教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生要溫故知新，實(shí)際上就是告訴學(xué)生要將新舊知識(shí)聯(lián)系起來進(jìn)行類比學(xué)習(xí)，分析比較新舊知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地理解新知識(shí)，強(qiáng)化鞏固舊知識(shí)。類比學(xué)習(xí)的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的分辨能力，讓學(xué)生動(dòng)腦思考分析，從而培養(yǎng)學(xué)生類比思維。

例如，在講授人教版中學(xué)數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《三元一次方程組的解法》這部分知識(shí)時(shí)，教師將上一節(jié)課講過的《二元一次方程組的解法》這部分知識(shí)重點(diǎn)重新展示出來，讓學(xué)生在回顧二元一次方程組的解法的前提下，通過類比學(xué)習(xí)模式自主學(xué)習(xí)三元一次方程組的解法。首先，學(xué)生要類比二元一次方程組和三元一次方程組在概念上的差異：二元一次方程組有兩個(gè)未知數(shù)和兩個(gè)方程，而三元一次方程組有三個(gè)未知數(shù)和三個(gè)方程，它們之間的共同點(diǎn)就是方程中所有的未知數(shù)的次數(shù)都為“1”，所以在解法上也大同小異。其中，一組的學(xué)生整理出求解二元一次方程組最常用的方法就是代入法和消元法，最終的目的都是將方程的數(shù)量和未知數(shù)的數(shù)量減為一個(gè)。學(xué)生提出要求解三元一次方程組實(shí)際上就是先將其轉(zhuǎn)化為兒園一次方程組，最后在轉(zhuǎn)化為一元一次方程即可求解。學(xué)生通過類比分析整理出三元一次方程組的求解方法，在沒有教師講授的前提下，自主突破對(duì)三元一次方程組的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力發(fā)展的重要性。同樣，在學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)時(shí)，教師也可以通過類比學(xué)習(xí)法來引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。例如，講授完直線與圓的關(guān)系后，學(xué)生理解了直線和圓三種位置關(guān)系，并且知道如何作出直線與圓的距離線段。但是求解幾何證明題的過程中，最重要的就是學(xué)生的分析能力和空間想象能力，讓學(xué)生在腦海中浮現(xiàn)出一步步證明的過程。因此，教師讓學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)法學(xué)習(xí)《圓與圓的位置關(guān)系》這部分知識(shí)，要求學(xué)生思考圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種，和直線與圓的位置關(guān)系有什么差異，怎樣作出兩個(gè)圓之間的距離直線。通過類比學(xué)習(xí)，學(xué)生將很容易發(fā)現(xiàn)圓與圓相切時(shí)有兩種可能性，一種是內(nèi)切另一種是外切，而且圓與圓相離也有兩種可能性，一種是內(nèi)含，另一種是外離。但是直線與圓相切和相離是卻只有分別一種可能性，這是《圓與圓的位置關(guān)系》和《直線與圓的位置關(guān)系》這兩部分知識(shí)點(diǎn)的最大區(qū)別，也是學(xué)生通過類比學(xué)習(xí)法自主歸納得出的。

通過類比學(xué)習(xí)法，學(xué)生不僅僅可以結(jié)合舊知識(shí)學(xué)習(xí)新知識(shí)，同時(shí)還可以通過類比學(xué)習(xí)的方式來理解新舊知識(shí)之間的差異，在分析比較的過程中理解新知識(shí)，強(qiáng)化鞏固舊知識(shí)。整個(gè)學(xué)習(xí)過程學(xué)生通過思考真正地達(dá)到了理解知識(shí)的目標(biāo)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維科學(xué)素養(yǎng)。

二、猜想思維為主導(dǎo)的思維科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)研究

實(shí)際上，前人在探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，并不是那么一帆風(fēng)順的，時(shí)常會(huì)遇到很多困難，但是本著執(zhí)著的科學(xué)態(tài)度和信仰，科學(xué)家們?cè)诓粩嘤^察的過程中，提出不同問題，作出不同假設(shè)，并展開科學(xué)探究。實(shí)際上，學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中也是一個(gè)科學(xué)探究的過程，也可以圍繞某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)提出問題，做出假設(shè)。假設(shè)的過程實(shí)際上就是學(xué)生猜想的過程，這其中需要學(xué)生具備一定的猜想思維。

例如，在講授人教版中學(xué)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)《全等三角形》這部分知識(shí)時(shí)，本堂課要求學(xué)生掌握全等三角形的證明方法。在課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)中，學(xué)生能夠理解兩個(gè)圖形能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形之間的關(guān)系就可以稱之為全等?；趯?duì)全等概念的理解，教師可以向?qū)W生提問：如果在一張白紙上畫出任意畫出兩個(gè)三角形，如何使用測量工具和測量方法來證明這兩個(gè)三角形會(huì)全等？結(jié)合教師提出的問題，學(xué)生以三人一小組為單位展開猜想和實(shí)踐操作。其中一組的學(xué)生利用六只鉛筆擺出了兩個(gè)三角形，并且保證兩個(gè)三角形所對(duì)應(yīng)的邊長都相等，發(fā)現(xiàn)所擺出的兩個(gè)三角形的關(guān)系為全等，學(xué)生也嘗試著改變其中一個(gè)三角形的邊長長度，發(fā)現(xiàn)一旦邊長改變兩個(gè)三角形的全等關(guān)系將不存在。另一組的學(xué)生利用塑料棒擺出兩個(gè)三個(gè)對(duì)角都相等的三角形，最終發(fā)現(xiàn)三角形全等的結(jié)論不成立。本堂課上每一組的學(xué)生在不斷猜想和實(shí)踐的過程中，一步步將全等三角形的五種證明方法全部推導(dǎo)出來，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生猜想思維能力的發(fā)展。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生像科學(xué)家那樣展開猜想和實(shí)踐，自主學(xué)習(xí)和分析，從而培養(yǎng)學(xué)生的猜想思維，落實(shí)思維科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

三、歸納思維為主導(dǎo)的思維科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)研究

與中學(xué)數(shù)學(xué)相關(guān)的思維科學(xué)素養(yǎng)中，歸納思維素養(yǎng)是其中的重要組成部分。中學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，知識(shí)點(diǎn)逐漸加深[2]。很多學(xué)生認(rèn)為中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)太過瑣碎，知識(shí)難度大，學(xué)習(xí)起來非常困難。造成這種問題的原因是學(xué)生沒有掌握歸納知識(shí)點(diǎn)的方法，不懂得如何歸納知識(shí)點(diǎn)，實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)不外乎包括函數(shù)、三角形、整式和分式、圖形的變換和位置關(guān)系，以及平面直角坐標(biāo)等專題。所以，中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)體系，但是需要學(xué)生具備一定的歸納思維素養(yǎng)，對(duì)所學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行自主歸納，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

例如，在學(xué)習(xí)完一次函數(shù)這節(jié)課時(shí)，學(xué)生掌握了函數(shù)解析式的概念，函數(shù)中變量和自變量、函數(shù)圖像的畫法，以及函數(shù)單調(diào)性的分析方法等。實(shí)際上，一次函數(shù)這部分知識(shí)與之前學(xué)習(xí)過的一元一次方程組等知識(shí)有很大的關(guān)聯(lián)。因此，教師要求學(xué)生以一次函數(shù)這部分知識(shí)為中心，列一個(gè)思維導(dǎo)圖，尋找已經(jīng)學(xué)習(xí)過的中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些與一次函數(shù)這部分知識(shí)相關(guān)聯(lián)。其中一組的學(xué)生找出：一元一次方程、利用一元一次方程解決實(shí)際問題、二元一次方程、利用二元一次方程組解決實(shí)際問題、一元一次不等式和不等式組，甚至還有同學(xué)提出平面直角坐標(biāo)系這部分知識(shí)，和一次函數(shù)這部分知識(shí)有著密切聯(lián)系。隨后，教師要求學(xué)生分析自己所列的思維導(dǎo)圖。其中一位學(xué)生認(rèn)為在學(xué)習(xí)二元一次方程的過程中，接觸了含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都為“1”的方程，為理解一次函數(shù)解析式奠定基礎(chǔ)。另一位學(xué)生提出在學(xué)習(xí)一元一次不等式的過程中，深入學(xué)習(xí)了取值范圍的概念，知道一個(gè)等式可以有取值范圍的，并且掌握了不同的求解方法，為理解一次函數(shù)取值范圍的求解奠定基礎(chǔ)，而學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系是理解并畫出一次函數(shù)圖像的基礎(chǔ)知識(shí)。由此可以看出，要想學(xué)習(xí)一次函數(shù)這部分知識(shí)，需要很多基礎(chǔ)知識(shí)來作為鋪墊[3]。

教師圍繞新課內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生以新知識(shí)為中的從周圍進(jìn)行發(fā)散，思考已學(xué)習(xí)過的知識(shí)中哪些知識(shí)和新課內(nèi)容聯(lián)系最為密切，哪些內(nèi)容是學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)，并且要求學(xué)生將與之關(guān)聯(lián)的舊知識(shí)加以整合歸納。這樣，一來學(xué)生就形成了一個(gè)以新知識(shí)為中心的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并且這個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立融入了學(xué)生的思維和方法，培養(yǎng)了學(xué)生的歸納思維素養(yǎng)。

四、遷移思維為主導(dǎo)的思維科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)研究

中學(xué)數(shù)學(xué)的代數(shù)知識(shí)體系主要分為三個(gè)部分：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)。其中，函數(shù)包括初中階段的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及高中階段的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等。雖然各個(gè)函數(shù)具體的圖像和性質(zhì)有所不同，但是對(duì)各個(gè)函數(shù)的研究思路是一致的。將遷移思維運(yùn)用到類似函數(shù)這樣的大概念教學(xué)中，能夠更好地幫助學(xué)生理解某個(gè)大概念知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，高階認(rèn)知數(shù)學(xué)知識(shí)的一般規(guī)律，從而提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

例如，在講“反比例函數(shù)”這一章時(shí)，學(xué)生已經(jīng)具備了基本的建模能力，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)關(guān)系，從而構(gòu)建反比例函模型。在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示方法，并且具體學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。學(xué)習(xí)的過程分為以下五步：第一步理解函數(shù)的概念，用解析式、圖像、列表三種表示方式來刻畫該自變量與函數(shù)之間的關(guān)系。第二步用描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖像，觀察函數(shù)，總結(jié)出函數(shù)圖像的特點(diǎn)。第三步結(jié)合函數(shù)圖像的特點(diǎn)，研究該函數(shù)的性質(zhì)，主要從圖像的分布規(guī)律、增減性、對(duì)稱性、特殊點(diǎn)這些方面來分析具體某個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。第四步用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程，用函數(shù)的觀點(diǎn)看不等式，利用函數(shù)與方程和不等式之間的關(guān)系，突出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢。第五步利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)以及與方程不等式的關(guān)系來解決實(shí)際生產(chǎn)生活中出現(xiàn)的問題，完成函數(shù)模型從實(shí)際生活中來，再到實(shí)際生活中去的全過程，學(xué)以致用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的實(shí)用性。學(xué)生可以將之前學(xué)習(xí)函數(shù)章節(jié)時(shí)積累的這些方式方法遷移到反比例函數(shù)這一章的學(xué)習(xí)中，用這些思想方法去研究新型函數(shù)。因此，在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)這一章時(shí)，教師可以給學(xué)生布置自主學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生自由構(gòu)建學(xué)習(xí)小組，每個(gè)小組分別去研究反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)等內(nèi)容。在教學(xué)時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試畫出盡可能多的反比例函數(shù)的圖像，這樣總結(jié)出的圖像特點(diǎn)才具有代表性。當(dāng)學(xué)生思考出部分反比例函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生思考之前學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)都是從哪些方面探討函數(shù)性質(zhì)的，有沒有哪些角度可以遷移到反比例函數(shù)性質(zhì)的研究當(dāng)中，而不是急于給出正確答案，讓學(xué)生有充分的時(shí)間去思考，去喚醒并遷移之前學(xué)習(xí)過的研究思想方法到新型函數(shù)的學(xué)習(xí)之中。這樣學(xué)生就能夠在原有的函數(shù)知識(shí)之上，拓展對(duì)函數(shù)的新認(rèn)知。比如，之前學(xué)習(xí)的一次函數(shù)和二次函數(shù)的自變量的取值范圍為全體實(shí)數(shù)，函數(shù)圖像是連續(xù)的一支，而反比例函數(shù)自變量的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)，并由此引起函數(shù)圖像不再連續(xù)的兩支。學(xué)生運(yùn)用從一次函數(shù)和二次函數(shù)遷移而來的研究方法，探究新型函數(shù)，得出有別于之前的新知識(shí)，進(jìn)而完善對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)。

此外，跨學(xué)科遷移能力對(duì)學(xué)生高階思維的培養(yǎng)是至關(guān)重要的?？鐚W(xué)科遷移思維的培養(yǎng)有利于幫助學(xué)生打破學(xué)科壁壘。因此，教師在日常教學(xué)中，要注重培養(yǎng)學(xué)生的遷移思維，抓住時(shí)機(jī)適時(shí)拓展跨學(xué)科遷移，同時(shí)要盡量避免負(fù)遷移的消極影響。

五、培養(yǎng)思維科學(xué)素養(yǎng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

圍繞類比思維素養(yǎng)、歸納思維素養(yǎng)、猜想思維素養(yǎng)的培養(yǎng)展開，如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維科學(xué)素養(yǎng)的研究，可以得出培養(yǎng)學(xué)生思維科學(xué)素養(yǎng)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有以下價(jià)值：①引導(dǎo)學(xué)生展開有意義學(xué)習(xí)。有意義學(xué)習(xí)是學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和方法所展開的學(xué)習(xí)，通過培養(yǎng)學(xué)生的思維科學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中發(fā)散思維展開積極主動(dòng)的思考分析，利用前認(rèn)知來解決新問題，從而將新知識(shí)納入已有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中完成了有意義的學(xué)習(xí)目標(biāo)。②培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，思維科學(xué)素養(yǎng)代表學(xué)生通過動(dòng)腦的方式來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，如類比學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生結(jié)合已有的知識(shí)分析比較出新舊知識(shí)之間的差異，構(gòu)建了完整的知識(shí)體系下，學(xué)生在心理上體驗(yàn)了學(xué)習(xí)的成就感，提高了自我認(rèn)同感，從而提高學(xué)習(xí)主動(dòng)性。③培養(yǎng)學(xué)數(shù)交流學(xué)習(xí)能力。一個(gè)人的思維力量是單薄的，所以在思維科學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的過程中，教師往往會(huì)讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行頭腦風(fēng)暴式的學(xué)習(xí)，如猜想思維的培養(yǎng)，對(duì)于學(xué)生來講構(gòu)建學(xué)習(xí)小組來進(jìn)行學(xué)習(xí)會(huì)大大提高學(xué)習(xí)的效率。

結(jié)語

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生的思維能力培養(yǎng)非常關(guān)鍵。教師在教學(xué)的過程中要以學(xué)生為本，結(jié)合中學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，將類比思維、猜想思維、遷移思維、歸納思維引入到實(shí)際教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中多動(dòng)腦思考，多提出問題展開探究，從而發(fā)展思維科學(xué)素養(yǎng)。同時(shí)，教師也要轉(zhuǎn)變自身傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，摒棄機(jī)械式的教學(xué)模式，學(xué)習(xí)最新版中學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容，探索出更多的思維科學(xué)素養(yǎng)為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力發(fā)展的路徑。