多供取料的Q模型級(jí)聯(lián)的數(shù)學(xué)描述

曾 實(shí)

(清華大學(xué) 工程物理系，北京 100084)

同位素分離中，所需要的同位素組分(目標(biāo)組分)處于不同的狀態(tài)，即在同位素混合物中，目標(biāo)組分可能是邊緣組分(最輕或最重)，或者是中間組分；其豐度可能很小也可以很大；其相鄰組分的豐度可能很小或很大。目標(biāo)組分狀態(tài)的不同導(dǎo)致了分離的復(fù)雜性。這里所謂的分離，可能是提升目標(biāo)組分的豐度(濃縮)，也可能是降低目標(biāo)組分的豐度(貧化)。

為了高效分離不同狀態(tài)的目標(biāo)組分，降低分離成本，人們一直不斷地研究各種不同的分離方法。傳統(tǒng)的級(jí)聯(lián)為通常的三股流級(jí)聯(lián)，即一個(gè)供料和級(jí)聯(lián)的兩端各有一個(gè)取料。然而，一些情況下，僅三股流級(jí)聯(lián)仍然不夠，需要用多于三股流的多股流級(jí)聯(lián)。比如，多組分同位素的分離中，用兩個(gè)供料的級(jí)聯(lián)，提升產(chǎn)品中目標(biāo)組分的豐度[1]。還有，同時(shí)獲取W同位素兩個(gè)高豐度組分的具有四個(gè)取料的級(jí)聯(lián)[2]。在鈾的處理中，利用附加中間取料的級(jí)聯(lián)降低了鈾中234U的含量，同時(shí)也獲得低濃縮鈾，減少分離功需求[3]。用三股供料的級(jí)聯(lián)來處理回收的鈾，降低232U和236U的含量[4]。分離中間組分同位素時(shí)，利用中間取料克服端部取料所能取得的豐度限制[5]，獲得更高的豐度[6]。文獻(xiàn)[7]中，針對(duì)每級(jí)都有供取料的級(jí)聯(lián)研究了一種計(jì)算和優(yōu)化的方法。

研究分離的一個(gè)重要的目標(biāo)是提升分離性能，即在完成所要求的分離任務(wù)時(shí)，需要級(jí)聯(lián)分離的經(jīng)濟(jì)性最好。這意味著所需的級(jí)聯(lián)相對(duì)總流量(級(jí)聯(lián)的總流量與產(chǎn)品流量之比)為最小，或者所需的分離器單元數(shù)目最少。人們探索了各種類型的模型級(jí)聯(lián)[8-11]，也針對(duì)這些級(jí)聯(lián)開展了優(yōu)化研究[12-14]，或不考慮級(jí)聯(lián)類型，對(duì)級(jí)聯(lián)進(jìn)行直接優(yōu)化[15-16]。研究的大多數(shù)級(jí)聯(lián)，都是在一些級(jí)才有供取料級(jí)聯(lián)的特殊情況，比如級(jí)聯(lián)的起始級(jí)和最末級(jí)。這里的特殊情況，是相對(duì)于每級(jí)都有供取料的一般情況而言。對(duì)特殊情況進(jìn)行研究，簡(jiǎn)化、降低了問題的難度。但是，這也導(dǎo)致其拓展存在困難，每進(jìn)行一些拓展，比如增加供料或取料點(diǎn)，可能就需要重新推導(dǎo)公式和編寫計(jì)算程序。因此，針對(duì)一般級(jí)聯(lián)情況進(jìn)行分析所得的結(jié)果，無疑有更廣的適應(yīng)性，使用上有更大的方便性，可用于研究更復(fù)雜的分離情況。

幾種典型模型級(jí)聯(lián)(豐度匹配級(jí)聯(lián)、準(zhǔn)理想級(jí)聯(lián)、Q模型級(jí)聯(lián))之間有一定的聯(lián)系。事實(shí)上，可把Q模型級(jí)聯(lián)(也簡(jiǎn)稱為Q級(jí)聯(lián))視為其他模型級(jí)聯(lián)的代表[17]。對(duì)Q級(jí)聯(lián)的研究結(jié)果，可通過階梯化的方法[10,18-19]給實(shí)際級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)提供參考，也可給級(jí)聯(lián)的優(yōu)化提供初值。因此，本文對(duì)具有多供料和取料的Q級(jí)聯(lián)中的質(zhì)量輸運(yùn)進(jìn)行分析，給出描述入口級(jí)聯(lián)流量和同位素組分在級(jí)聯(lián)中的分布關(guān)系式，并討論求解豐度的方法和級(jí)聯(lián)的優(yōu)化。

鑒于篇幅限制，這里僅報(bào)告求解以及優(yōu)化的方法，而不進(jìn)行具體的數(shù)值分析。事實(shí)上，上述的數(shù)學(xué)描述已用于一些分離問題的分析中[20]，證實(shí)了其正確性。

1 描述多供取料Q級(jí)聯(lián)中的流量和豐度的方程

考慮有NC組分的同位素混合物的分離，第i組分的摩爾質(zhì)量數(shù)記為Mi(如果i

圖1 多供取料的Q級(jí)聯(lián)示意圖Fig.1 Illustration of a Q-cascade with multiple feeds and withdrawals

顯然，在主供料處有：

(1)

對(duì)Q級(jí)聯(lián)，下式成立[22]：

(2)

(3)

(4)

(5)

在相鄰兩段的邊界處，豐度連續(xù)：

(6)

在貧化段和濃縮段的邊界，同樣有：

(7)

然而，邊界處的入口流量不一定連續(xù)：

(n=1,2,…,NW-1)，

(n=1,2,…,NP-1)

(8)

(9)

(10)

取料的豐度就是級(jí)聯(lián)相應(yīng)取料位置處的豐度，即：

(11)

對(duì)整個(gè)級(jí)聯(lián)，各組分物質(zhì)守恒：

FMCM,i-WMCWM,i=0

(12)

由豐度的定義：

(13)

上面的方程中，方程(2)、(6)～(10)、(12)、(13)建立起了多供取料Q級(jí)聯(lián)中各段級(jí)聯(lián)入口流量和豐度的相互聯(lián)系。

2 流量和豐度的方程求解

級(jí)聯(lián)的設(shè)計(jì)和分析就是根據(jù)所給定的條件來確定一個(gè)級(jí)聯(lián)，使其達(dá)到所期望的要求，給出相關(guān)量的關(guān)系。即在給定的條件下，對(duì)方程(2)、(6)、(10)～(12)、(13)進(jìn)行求解，確定級(jí)聯(lián)中各段入口流量分布和豐度分布。

對(duì)于方程的數(shù)目，方程(2)中，i=1,2,…,NC，所以方程(2)實(shí)際上含有(NW+NP)NC個(gè)方程。方程(6)、(7)含有(NW+NP-1)NC個(gè)方程，方程(8)～(10)含有NW+NP+1個(gè)方程，方程(12)含有NC個(gè)方程，方程(13)含有NW+NP+1個(gè)方程。對(duì)整個(gè)級(jí)聯(lián)，共有(NW+NP)(2NC+2)+2個(gè)方程。因此，要完全確定級(jí)聯(lián)，還需提供NW+NP-1個(gè)方程或條件。

由方程(2)、(3)、(5)、(6)、(8)、(10)，不難得到:

(n=1,2,…,NW)，

(14)

(n=1,2,…,NP)

(15)

其中，

(16)

(17)

根據(jù)方程(7)和(9)得出：

(18)

結(jié)合方程(14)、(15)，得到:

(19)

把方程(13)應(yīng)用到方程(14)、(15)，

(20)

(21)

這樣，方程(14)、(15)可寫成：

(22)

(23)

由方程(6)，式(22)、(23)也即是：

(n=1,2,…,NW-1)

(24)

(n=1,2,…,NP-1)

(25)

當(dāng)n=NW，

(26)

或者n=NP，

(27)

(28)

這樣，再結(jié)合(12)，得到取料Wn1和Pn2：

(29)

(30)

對(duì)于給定取料的其他情況，類似地可以求出。需要提供的NW+NP-1條件中，并不一定都是給定取料，也可以是給定其他的量，比如豐度。但是，尤其需要注意，給定合適的豐度有時(shí)很不容易，可能導(dǎo)致無解或解無物理意義，但給定取料量，總是可以求得解。這從物理上很容易理解。給定了級(jí)聯(lián)的水力學(xué)狀態(tài)(形狀)，不論如何進(jìn)行取料，在一個(gè)取料中，各組分總是有對(duì)應(yīng)的豐度。然而，要求取料中某幾個(gè)組分滿足給定的豐度，在給定級(jí)聯(lián)的水力學(xué)狀態(tài)下未必能夠?qū)崿F(xiàn)，甚至任何水力學(xué)狀態(tài)都不能實(shí)現(xiàn)，即不存在能夠滿足要求的級(jí)聯(lián)。

3 豐度的求解流程

求解豐度，即是在已知所有取料的情況下，求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(26)或者求解方程(12)、(19)、(24)、(25)、(27)。但實(shí)際上，由于取料中有2個(gè)是未知的，假定為Wn1和Pn2，求解的過程需要進(jìn)行迭代。迭代過程如下。

(1) 給定求解精度ε1和ε2。

(2) 給定所有的取料Wn(n=1,2,…,NW-1)、Pn(n=1,2,…,NP-1)、WM(共計(jì)NW+NP-1個(gè)量)。

(5) 豐度歸一化：

(6) 根據(jù)方程(29)、(30)求出Wn1和Pn2。

(|ri|)≤ε2，結(jié)束，否則進(jìn)行第(3)步求解中，精度要求ε1控制的是豐度是否滿足豐度定義的約束，精度要求ε2控制的是整個(gè)級(jí)聯(lián)的各組分的物質(zhì)守恒是否得到滿足。

需要指出的是，第(3)步針對(duì)豐度求解方程組也需要迭代求解。當(dāng)然，也可以把方程(12)(28)納入第(3)步中，針對(duì)豐度與取料一起進(jìn)行迭代求解。

還需要特別指出，雖然由方程(26)或(27)都可得到CWM,i，但是由于求解數(shù)值上的誤差，在一些情況下(如級(jí)聯(lián)長(zhǎng)度較長(zhǎng)情況下)由方程(26)和(27)給出的CWM,i實(shí)際上不一樣，有時(shí)差別還很大。為確保求解的準(zhǔn)確性，可以把由方程(26)和(27)得到的CWM,i進(jìn)行比較，如差別較大，需要提升求解的精度，即取更小的ε1和ε2值。

實(shí)際應(yīng)用中，選定的未知數(shù)可能不同于上面未知數(shù)，也就是說，上面所給定的未知數(shù)可能是已知數(shù)。每給定一個(gè)未知數(shù)，需要把上面作為已知變量中的一個(gè)變?yōu)槲粗獢?shù)。比如，給定一個(gè)取料中的某個(gè)組分豐度，那么如果該取料量原來為已給定了的量，就可能需要改變?yōu)槲粗俊?/p>

4 級(jí)聯(lián)總流量和優(yōu)化

求得豐度后，根據(jù)式(14)、(15)，得到在貧化段和濃縮段中級(jí)聯(lián)的入口流量分布分別是：

(31)

(32)

那么，級(jí)聯(lián)的總流量GT就是：

(33)

為不失一般性，假定級(jí)聯(lián)的產(chǎn)品流量為PP(PP可以是Wm或Pm中的一個(gè)，或幾個(gè)的和)。那么相對(duì)總流量GRT定義為：

(34)

(35)

把NW+NP-1個(gè)取料記為WWP。相對(duì)總流量GRT為MW、SW、MP、SP和WWP的函數(shù)，即是：

GRT=GRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

(36)

那么，以GRT最小化對(duì)級(jí)聯(lián)進(jìn)行優(yōu)化可表達(dá)為：

minGRT(MW,SW,MP,SP,WWP)

s.t.Cond1,Cond2,…

(37)

其中，Cond1、Cond2等為優(yōu)化要求的約束。

對(duì)式(37)所定義的優(yōu)化，有多種方法可選，比如非線性順序二次規(guī)劃法、Hooke-Jeeve直接搜尋法、廣義簡(jiǎn)約梯度法、自適應(yīng)模擬退火法、下降單純形方法等，在一些優(yōu)化的軟件中可以直接調(diào)用。

選擇MW、SW、MP、SP作為優(yōu)化的變量是為了降低優(yōu)化中求解方程的難度。對(duì)Q級(jí)聯(lián)的優(yōu)化實(shí)踐說明，以其他量，比如一些組分的豐度替代MW、SW、MP、SP中同等數(shù)目的量作為優(yōu)化變量也可以，但難以保證方程的解存在。

5 結(jié)論

實(shí)際中的同位素分離對(duì)多供取料的級(jí)聯(lián)提出了需求。研究復(fù)雜的分離情況也需要對(duì)多供取料級(jí)聯(lián)進(jìn)行分析。

在供取料的位置處分段，把級(jí)聯(lián)分為較小的子級(jí)聯(lián)。利用Q級(jí)聯(lián)理論，建立各段在兩端入口流量和豐度間的關(guān)系；在分段處，利用入口流量過渡的條件和豐度連續(xù)要求，建立相鄰段入口流量和豐度的關(guān)系。以此導(dǎo)出了描述多供取料級(jí)聯(lián)的入口流量和同位素各組分豐度分布的級(jí)聯(lián)方程式。

給定所有供料和總?cè)×蠑?shù)減兩個(gè)取料的情況下，確定一個(gè)級(jí)聯(lián)需要已知各段端部各組分豐度和入口流量、虛擬組分質(zhì)量數(shù)和級(jí)聯(lián)長(zhǎng)度。再給定各段虛擬組分質(zhì)量數(shù)和級(jí)聯(lián)長(zhǎng)度，求解級(jí)聯(lián)方程式可確定級(jí)聯(lián)。

確定了級(jí)聯(lián)也就確定了級(jí)聯(lián)的總流量和相對(duì)總流量?？梢蕴摂M組分質(zhì)量數(shù)和級(jí)聯(lián)長(zhǎng)度為確定變量對(duì)級(jí)聯(lián)進(jìn)行優(yōu)化，最小化相對(duì)總流量。