一次函數(shù)圖象的應(yīng)用——行程問題

馮長(zhǎng)征

本課選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教研核心團(tuán)隊(duì)名師公益學(xué)堂”，旨在引領(lǐng)教師專業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

真題呈現(xiàn)

在某自行車隊(duì)的一次訓(xùn)練中，1號(hào)隊(duì)員以高于其他隊(duì)員10 km/h的速度獨(dú)自前行，勻速行進(jìn)一段時(shí)間后，又返回隊(duì)伍，在往返過程中速度保持不變. 設(shè)分開后行進(jìn)的時(shí)間為x（h），1號(hào)隊(duì)員和其他隊(duì)員距分開時(shí)地點(diǎn)的路程分別為y1，y2（km），并且y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系如圖1所示. （1）1號(hào)隊(duì)員折返點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ? ? ? ;（2）求1號(hào)隊(duì)員與其他隊(duì)員經(jīng)過幾小時(shí)相遇.

解析：根據(jù)題意及圖象可知1號(hào)隊(duì)員折返時(shí)距出發(fā)點(diǎn)10 km，由關(guān)鍵點(diǎn)[19 ，5]可知[19] h行進(jìn)5 km，則1號(hào)隊(duì)員的速度為45 km/h，行進(jìn)10 km用[29] h，則A [29 ，10]. 其他隊(duì)員的速度為45 - 10 = 35（km/h）. 設(shè)經(jīng)過x小時(shí)相遇，由“1號(hào)隊(duì)員與其他隊(duì)員的速度之和 × 時(shí)間 = 總路程”，則（35 + 45）x = 10 × 2，解得x = [14]. 故應(yīng)填[29 ，10]，[14].

思考：①該試題與教材中例題、習(xí)題有何聯(lián)系？②解決此類問題的方法與策略？

真題溯源

一個(gè)自行車隊(duì)進(jìn)行訓(xùn)練，訓(xùn)練時(shí)所有隊(duì)員都以35 km/h的速度前進(jìn). 突然1號(hào)隊(duì)員以45 km/h的速度獨(dú)自行進(jìn)，行進(jìn)10 km后掉轉(zhuǎn)車頭，仍以45 km/h的速度往回騎，直到與其他隊(duì)員會(huì)合. 1號(hào)隊(duì)員從離隊(duì)到與隊(duì)員重新會(huì)合，經(jīng)過了多長(zhǎng)時(shí)間？（七年級(jí)上冊(cè)第151頁習(xí)題）

該題信息可用函數(shù)形式呈現(xiàn). 設(shè)分開時(shí)的地點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，1號(hào)隊(duì)員和其他隊(duì)員分開后行進(jìn)的時(shí)間為x（h），距離出發(fā)點(diǎn)的路程分別為y1，y2（km）. 你能在同一坐標(biāo)系中畫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)圖象嗎？

解析：如圖2，兩組隊(duì)員同時(shí)同地出發(fā)，由1號(hào)隊(duì)員的速度快可知其圖象位于上方. 1號(hào)隊(duì)員在10 km處掉頭后，其圖象向下與其他隊(duì)員的圖象交于一點(diǎn)，且圖象折點(diǎn)的縱坐標(biāo)是10 km. 由1號(hào)隊(duì)員的速度為45 km/h，可知其折返時(shí)行進(jìn)了[29] h，列方程為35x + 45x = 10 × 2，可得[14] h與其他隊(duì)員會(huì)合. 此時(shí)其他隊(duì)員行進(jìn)的路程為8.75 km.

顯然，前面呈現(xiàn)的中考真題源自這道課后習(xí)題. 命題者變換條件，將部分信息以函數(shù)圖象形式給出，教材中的方程問題就化為中考試卷中的一次函數(shù)圖象問題.

方法歸納

此類問題的具體解法：1. 確定橫、縱坐標(biāo)分別表示的實(shí)際意義;2. 根據(jù)圖象形狀與趨勢(shì)還原行進(jìn)過程;3. 從圖象中的橫坐標(biāo)觀察各時(shí)間點(diǎn)的實(shí)際意義;4. 從圖象的縱坐標(biāo)觀察相應(yīng)因變量的實(shí)際意義;5. 理解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)的意義，如圖象的折點(diǎn)、圖象之間的交點(diǎn)、已知坐標(biāo)的點(diǎn)、圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等. 只有全面準(zhǔn)確地從圖象中獲取有用信息，方能結(jié)合線段圖與方程解決實(shí)際問題.

變式延伸

甲、乙兩人沿筆直公路勻速由A地到B地，甲先出發(fā)30 min，到達(dá)B地后沿原路原速返回，與乙在C地相遇. 甲的速度比乙的速度快35 km/h，甲、乙兩人與A地的距離y（km）和乙行進(jìn)的時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖3所示，則B，C兩地的距離為_______km （結(jié)果精確到1 km）.

解析：縱軸表示兩人與A地的距離，橫軸表示乙出發(fā)后的時(shí)間. 觀察圖象可知：甲先用30 min行進(jìn)25 km，則甲的速度為50 km/h，乙的速度為15 km/h;甲行2 h后沿原路返回，說明甲共行2.5 h，則A，B兩地的距離為125 km.

如圖4，三段路程之和等于A，B兩地距離的2倍，列方程為50x + 15x + 25 = 125 × 2，則相遇時(shí)間為[4513] h. B，C兩地距離為A，B兩地距離減去乙的路程，約為73 km. 故填73.

拓展提升

育紅學(xué)校七年級(jí)學(xué)生步行到郊外旅行. 七（1）班出發(fā)1 h后，七（2）班才出發(fā)，同時(shí)七（2）班派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩班隊(duì)伍間聯(lián)絡(luò)，聯(lián)絡(luò)員和七（1）班的距離s（km）與七（2）班行進(jìn)時(shí)間t（h）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖5所示. 若已知聯(lián)絡(luò)員用了[23] h第一次返回自己班級(jí)，則七（2）班需要_______h才能追上七（1）班. （答案見第33頁）

（作者單位：遼寧省阜新市第十一中學(xué)）