關(guān)于G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下隨機(jī)卷積的一些結(jié)論

張 晶,王珠冉

江蘇第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇南京,210000

經(jīng)濟(jì)學(xué)中普遍存在的不確定現(xiàn)象使得線性概率和線性期望等常用數(shù)學(xué)模型失去用武之地,給不確定性分析帶來困難。經(jīng)過長時(shí)間的探索,Peng[1]提出新的次線性G-期望能夠較好地解決這個(gè)基礎(chǔ)性問題,彌補(bǔ)了線性概率空間的期望理論在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用的不足。所謂的G-期望需要滿足次可加性,即E(X+Y)≤E(X)+E(Y)。Peng根據(jù)G-期望構(gòu)造出G-期望空間,隨后構(gòu)造出G-正態(tài)分布的理論,以及一種新的布朗運(yùn)動{Bt}t∈[0,T],稱為G-布朗運(yùn)動。G-布朗運(yùn)動和相應(yīng)的 G-隨機(jī)分析理論是分析金融市場中風(fēng)險(xiǎn)度量、遞歸效用理論和最優(yōu)投資等更廣泛的不確定性決策理論的基本工具,詳見參考文獻(xiàn)[2]。

此后，Ibragiomv[3]首次將G-期望從有限維空間引入無窮維空間,詳細(xì)介紹了無窮維空間中G-正態(tài)分布隨機(jī)變量的協(xié)方差集以及G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下的隨機(jī)積分,并證明It等距不等式、B-D-G不等式、Fubini定理及隨機(jī)卷積積分的連續(xù)性,借助隨機(jī)卷積積分的性質(zhì)給出完全非線性拋物型偏微分方程唯一粘性解的概率表示。值得關(guān)注的是 Ibragiomv沒有給出隨機(jī)卷積積分的H?lder連續(xù)性、有界性和極大值不等式,而這些性質(zhì)在微分方程的應(yīng)用中是非常重要的,本文將針對這方面問題做出補(bǔ)充。

目前，關(guān)于隨機(jī)卷積積分的研究有大量成果,如Van等[4]系統(tǒng)地研究了隨機(jī)卷積算子的R-有界性,建立L1-值有界性和X-值極大函數(shù)有界性之間的密切聯(lián)系;Coupek等[5]專注于探究偏微分方程的時(shí)空正則性,通過有限域上巴納赫空間隨機(jī)變量的超壓縮性結(jié)果,得到沃爾泰拉過程驅(qū)動下Lp-值隨機(jī)卷積積分的H?lder連續(xù)性,以及偏微分方程解的相關(guān)正則性;Lv等[6]討論了勒維過程驅(qū)動下隨機(jī)分?jǐn)?shù)階熱方程的隨機(jī)卷積積分的 BMO估計(jì)、Morrey-Campanato估計(jì)以及方程解的p階矩Schauder估計(jì);Ondreját等[7]主要研究2-光滑巴納赫空間中隨機(jī)卷積積分的時(shí)間正則性,并以此為基礎(chǔ)得到拋物型隨機(jī)微分方程解的路徑方程在時(shí)間上具有與維納過程相同的正則性。近期隨機(jī)卷積積分的極大值不等式也受到諸多學(xué)者的關(guān)注。在希爾伯特空間中,Salavati等[8]利用It-type不等式和B-G-D不等式得到鞅過程驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分的極大值不等式,該不等式滿足p次冪的軌道有界,并給出不等式在非利普希茲條件下半線性隨機(jī)演化方程方面的應(yīng)用。在巴納赫空間中,Zhu等[9-10]證明了補(bǔ)償泊松過程驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分的極大值不等式，隨后又研究在勒維過程驅(qū)動下B-D-G不等式和極大值不等式,得到隨機(jī)卷積積分的指數(shù)估計(jì),基于所得到的極大不等式,證明了勒維噪聲驅(qū)動的隨機(jī)偏微分方程溫和解的存在唯一性。

在前人研究的基礎(chǔ)上,文本結(jié)合無窮維空間中經(jīng)典布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)卷積積分和G-布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)卷積積分的結(jié)果進(jìn)行研究，使隨機(jī)卷積積分的性質(zhì)在無窮維G-布朗運(yùn)動中更加完善。同時(shí)，采用因子分解法、B-D-G 不等式和酉擴(kuò)張的方法,研究無窮維空間中G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分的H?lder連續(xù)性、有界性以及弱極大值不等式，以期能為相關(guān)領(lǐng)域研究提供一定的參考。

1 預(yù)備知識

本節(jié)簡要介紹文章中使用到的一些概念和性質(zhì),包括次線性空間、G-布朗運(yùn)動及常用的不等式。想要更深入了解關(guān)于次線性空間和G-期望的更多相關(guān)知識請參閱文獻(xiàn)[1]和[3]。

定義1[3]設(shè)Ω是給定的非空集,?是定義在Ω上實(shí)值向量集的函數(shù),泛函E :?→R。如果對任意的X,Y∈?滿足以下條件:

(a)單調(diào)性:若X≤Y, 則E(X)≤(Y);

(b)保常性:若c∈R,則E(c)=c;

(c)次可加性:E(X+Y)≤E(X)+E(Y);

(d)正齊次性:若λ> 0,則E(λX)=λE(X);

則泛函E稱為次線性期望,稱(Ω，?,E)是次線性空間,如果只滿足(c)，(d)，則稱E為次線性泛函。

定義2[3]對于任意時(shí)刻t≥ 0,若X是次線性期望空間(Ω，?,E)上的隨機(jī)變量,則稱Xt:Ω×R+→X為隨機(jī)過程。

定義3[3]若隨機(jī)過程{Bt}t∈[0,T]滿足以下條件：

(1)B0=0;

(2)平穩(wěn)增量性：對任意的t,s≥0,增量(Bt+s-Bt)與Bs同分布,即(Bt+s-Bt)～NG(0,sΣ);

(3)獨(dú)立增量性：對任意的t,s≥0,增量(Bt+s-Bt)關(guān)于(Bt1,Bt2,…,Btn)獨(dú)立,其中n∈N,0≤t1≤t2≤…≤tn≤t。

則稱{Bt}t∈[0,T]為G-布朗運(yùn)動。

為了能夠讓讀者更加順暢了解本文的研究內(nèi)容,接下來介紹一些關(guān)于無窮維空間中G-期望的基礎(chǔ)知識。

假定U,H是希爾伯特空間,算子Φ在H上且domΦ=UΣ?U,定義范數(shù)

為了便于讀者閱讀,下面給出本文中需要用到的空間符號表示。

(1)L(U,H):={Φ：U→H|Φ是線性且連續(xù)的};

引理1[3]若隨機(jī)變量X服從均值為0,方差為Σ的G-正態(tài)分布,Σ是協(xié)方差集,記為X～NG(0,Σ),我們有如下估計(jì),對任意的m≥1,

引理2[3](It等距不等式)令Φ∈HM2,0G(0,T),則有

以上三個(gè)定理主要應(yīng)用于第二部分隨機(jī)卷積積分性質(zhì)的證明過程中,引理1說明服從G-正態(tài)分布的隨機(jī)變量X有限階矩估計(jì)值有界,此結(jié)論是研究的基礎(chǔ);引理2It等距不等式表明次線性空間中隨機(jī)積分二階矩的運(yùn)算性質(zhì),這與線性空間的It等距公式是不同的,在線性空間中等號恒成立,主要是因?yàn)榇尉€性空間的次可加性(d)造成的;顯然,It等距不等式是B-D-G不等式的特殊形式(p=2)。

關(guān)于更多G-期望、G-正態(tài)分布和G-布朗運(yùn)動的研究內(nèi)容請看Peng[1]的相關(guān)文章。為了更好研究G-布朗驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分的性質(zhì),下面將會介紹關(guān)于隨機(jī)卷積積分的基礎(chǔ)知識,具體請參考文獻(xiàn)[11]和[12]。

無窮維空間比較復(fù)雜,其性質(zhì)的研究需要借助算子來研究,算子A:D(A)→ H 是C0-半群(etA)的無窮維生成元,假設(shè)算子A生成一個(gè)正則半群,此外-A的預(yù)解集包含所有常數(shù)λ且Reλ> 0。我們可以定義算子-A的分?jǐn)?shù)冪為(-A)γ,詳見文獻(xiàn)[13]。

設(shè)Hγ是(-A)γ的定義域,范數(shù)|·|γ定義為|x|γ=|(-A)γx|H,x∈Hγ,為了書寫方便,記|·|H=|·|。

為了得到更實(shí)用的性質(zhì),下面介紹正則半群S(t-s):=e(t-s)A,0≤s

對于任意的γ> 0,存在常數(shù)Cγ> 0使得

|(-A)γS(t-s)|≤Cγ(t-s)-γ,0≤s

(1)

若γ∈(0,1]且x∈Hγ=D(-A)γ,則

S(t-s)x-x≤Cγ(t-s)γ(-A)γx

(2)

另外,假設(shè)y 是從[0,T]到Hγ的函數(shù),定義‖y‖γ,p如下:

2 H?lder連續(xù)性

本小節(jié)結(jié)合無窮維空間傳統(tǒng)布朗運(yùn)動驅(qū)動的隨機(jī)卷積積分和G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分,在合適的條件下,利用因子公式分解法證明無窮維G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下隨機(jī)卷積積分的H?lder連續(xù)性。因子分解法的具體內(nèi)容和應(yīng)用,詳見參考文獻(xiàn)[3]和[14]。

下面給出半群S(t-s)的拋物型條件:

隨后,考慮

(3)

其中,對任意的β∈(0,1],ys是從[0,T]到Hβ的函數(shù)。

(4)

其中p>2無限大。

根據(jù)定義，可以將z(t)進(jìn)行分解：

=Z1+Z2。

先來證明第一部分,由(1)可得:

(5)

-s))ys]ds|,顯然有Z2≤Z2,1+Z2,2,下面對于這兩部分分別進(jìn)行推導(dǎo),關(guān)于Z2,1可以得到

(6)

|(-A)γ(S(v-s)-S(u-s))y(s)|

≤|(S(v-s)-I)(-A)γS(u-s)y(s)|

≤Cλ(-A)γ+λ-βS(u-s)|y(s)|β

因此

(7)

根據(jù)(5),(6)和(7)式,得到(4)式成立。

3 有界性和弱極大值不等式

本節(jié)將給出無窮維空間中G-布朗驅(qū)動的隨機(jī)卷積積分的有界性。此外,基于參考文獻(xiàn)[15]中希爾伯特空間下Sz.-Nagy意義的酉擴(kuò)張的方法,給出弱極大值不等式。

下面的定理給出了隨機(jī)卷積積分It的有界性。

證明由H?lder不等式和(3)式的關(guān)系,對任意的T≥0,有

根據(jù)定理8的證明和Y(s)∈L2m(0,T;H),若m>1 ,有

其中常數(shù)Cp>0。

對于任意t≥0,存在μ≥0使得壓縮半群(etA)滿足‖etA‖L(H)≤etμ,通過考慮壓縮半群(e-tμetA)t≥0,很容易能夠得到以下極大值不等式。

定理3設(shè)(etA)是H上的C0-半群,對任意的t≥0且存在μ≥0,滿足‖etA‖L(H)≤etμ,則當(dāng)p∈(0,+∞)時(shí),存在常數(shù)0

4 結(jié) 語

無窮維空間中的隨機(jī)卷積積分來自數(shù)學(xué)和金融學(xué),其中較為有名的遠(yuǎn)期利率曲線就是Heath-Jarrow-Morton-Musiela方程的解[16]。隨機(jī)卷積積分被作為重要的工具應(yīng)用于隨機(jī)偏微分方程中相關(guān)解的性質(zhì)的研究,關(guān)于它的一些不等式,例如極大值不等式和指數(shù)擴(kuò)張定理等,對隨機(jī)方程的理論證明起到有力的推動作用。G-期望理論是概率論中一個(gè)方興未艾的方向,目前國際上已經(jīng)有越來越多的概率論統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的學(xué)者開始專注這一領(lǐng)域的研究,而對于無窮維G-布朗運(yùn)動的研究少之又少,對于其隨機(jī)卷積積分性質(zhì)的研究也是極少的。本文主要是在前人研究的基礎(chǔ)上,在適當(dāng)條件下,利用合適的方法對G-布朗運(yùn)動及隨機(jī)卷積積分的性質(zhì)做出更多的推廣和改進(jìn)。本文通過傳統(tǒng)的因子分解法得到拋物型假設(shè)下無窮維空間中G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下的隨機(jī)卷積積分的H?lder連續(xù)性,隨后利用H?lder不等式和簡單的推導(dǎo),證明出隨機(jī)卷積積分是有界的,有界性質(zhì)為卷積的研究奠定了基礎(chǔ)。最后基于Sz.-Nagy定理的酉擴(kuò)張方法得到G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下的隨機(jī)卷積積分的弱極大值不等式,相關(guān)更強(qiáng)的結(jié)果以及指數(shù)擴(kuò)張定理也值得繼續(xù)關(guān)注。G-布朗運(yùn)動驅(qū)動下的隨機(jī)卷積性質(zhì)是隨機(jī)方程分析的基礎(chǔ)和重要的工具,對偏微分方程粘性解的性質(zhì)的研究具有實(shí)用價(jià)值,但是文章得到的最終結(jié)論還有待進(jìn)一步深入推進(jìn),后續(xù)工作將會繼續(xù)跟進(jìn)。