基于交叉熵的1位DAC大規(guī)模MIMO預(yù)編碼方案

張航宇，張 銳，廖方圓，2，李勇朝

(1.西安電子科技大學(xué) 綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)理論及關(guān)鍵技術(shù)國家重點實驗室，陜西 西安 710071；2.中國電子科技網(wǎng)絡(luò)信息安全有限公司，四川 成都 610093)

作為未來移動通信關(guān)鍵技術(shù)之一的大規(guī)模多進多出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)，通過在基站端配備幾十甚至上百個天線單元，可大幅度地提升系統(tǒng)的空間分辨率，顯著地提升頻譜效率、能量效率和可靠性，并擴展網(wǎng)絡(luò)覆蓋范圍[1-2]。然而每根天線需通過射頻鏈路與基帶相連，大量的射頻鏈路導(dǎo)致系統(tǒng)的功率消耗和硬件成本急劇增加[3]，對大規(guī)模多進多出系統(tǒng)的實際部署與應(yīng)用帶來了巨大的挑戰(zhàn)。

針對射頻鏈數(shù)多導(dǎo)致能耗和成本過高這一問題，可采用模擬數(shù)字混合處理的系統(tǒng)架構(gòu)以大量減少射頻鏈路的數(shù)目[4]。但該系統(tǒng)下，能夠同時服務(wù)的用戶數(shù)量與射頻鏈路數(shù)目相同，使系統(tǒng)的服務(wù)能力降低；而且在寬帶的情況下，所有子帶的信號都要經(jīng)過相同的模擬端處理，自由度低，無法充分發(fā)揮寬帶信號的優(yōu)勢[5]。同時，大規(guī)模多進多出系統(tǒng)的功耗主要來源于高精度的模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter，ADC)、數(shù)模轉(zhuǎn)換器(Digital-to-Analog Converter，DAC)及基帶數(shù)字處理部分[6]。一方面，模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器的功耗與其量化位數(shù)呈指數(shù)關(guān)系[7]；另一方面，基帶數(shù)字處理的功耗近似與模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化位數(shù)的平方呈線性關(guān)系[8]。由此可見，模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器的量化位數(shù)在很大程度上決定了系統(tǒng)的功率消耗。而大規(guī)模多進多出系統(tǒng)每個射頻鏈路的上下行分別都要裝配一對量化器，如果都采用高精度的模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器(典型值為10位或更高)，將會極大地增加系統(tǒng)的功耗。因此，裝配低精度的模數(shù)轉(zhuǎn)換器與數(shù)模轉(zhuǎn)換器可以大幅度地降低大規(guī)模多進多出系統(tǒng)的功耗和硬件成本，尤其是采用1位量化的模數(shù)轉(zhuǎn)換器、數(shù)模轉(zhuǎn)換器[9-10]。

對于裝配低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器的大規(guī)模多進多出系統(tǒng)下行傳輸，低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器的量化誤差大，導(dǎo)致預(yù)編碼后符號失真嚴(yán)重，降低了系統(tǒng)的性能。為了保證下行傳輸?shù)男阅芡瑫r降低能耗，研究低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器對系統(tǒng)的性能影響及相應(yīng)的預(yù)編碼方案設(shè)計至關(guān)重要?？紤]裝配低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器的多進多出系統(tǒng)，文獻[11]中基于最小均方誤差準(zhǔn)則設(shè)計了線性預(yù)編碼方案，仿真結(jié)果表明，在高信噪比、小到中規(guī)模的多進多出系統(tǒng)、4到6位的數(shù)模轉(zhuǎn)換器精度下，該方案優(yōu)于傳統(tǒng)的線性預(yù)編碼方案。采用1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的大規(guī)模多進多出多用戶場景下，文獻[12]指出采用最大比值傳輸預(yù)編碼時，當(dāng)發(fā)送天線數(shù)目遠大于數(shù)據(jù)流數(shù)時，能夠?qū)崿F(xiàn)以較低的失真水平進行信號檢測；文獻[13]分析了采用迫零預(yù)編碼時系統(tǒng)的性能，結(jié)果表明，當(dāng)天線數(shù)量和用戶數(shù)量的比值比較大時，由1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器引起的每根天線上符號的失真將會被平均化；文獻[14]表明，在基站端裝配大約2.5倍的天線數(shù)目可以達到與裝配理想數(shù)模轉(zhuǎn)換器相同的和速率。文獻[15]推導(dǎo)出了低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器下迫零、最小均方誤差及最大比值傳輸3種線性預(yù)編碼的可達速率與數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化位數(shù)的近似表達式，在1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的情況下，所得結(jié)論與文獻[13]相同，即1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器所能達到的性能取決于天線和用戶設(shè)備數(shù)量的比值。上述文獻分析了大規(guī)模多進多出系統(tǒng)裝配1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的可行性，并給出線性預(yù)編碼下系統(tǒng)性能的理論分析結(jié)果，為系統(tǒng)的參數(shù)選取提供了理論依據(jù)。線性預(yù)編碼算法的復(fù)雜度低，但由于沒有考慮低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化的影響，導(dǎo)致量化后符號失真嚴(yán)重，誤比特率極度下降，且誤比特率隨著信噪比增加而過早地達到飽和。

非線性預(yù)編碼將低精度數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化的影響考慮到預(yù)編碼的設(shè)計中，結(jié)合信道信息和發(fā)送符號對量化后的結(jié)果直接進行設(shè)計，可實現(xiàn)誤比特率性能的大幅度提升。文獻[15]提出了基于半正定松弛、均方無窮范數(shù)松弛以及球形解碼的非線性預(yù)編碼求解算法，這3種方法的性能都優(yōu)于線性預(yù)編碼，但這些算法的復(fù)雜度高。文獻[16]中考慮公平性，以最小化所有用戶中最大的符號均方誤差為求解目標(biāo)，并采用了半正定松弛法進行求解。文獻[17-18]中均采用了基于交替最小化框架進行預(yù)編碼向量的求解方法，其中文獻[18]中為非線性預(yù)編碼后的符號加了可以為零功率的約束，從而最終使用小于天線數(shù)目的射頻鏈進行數(shù)據(jù)發(fā)送，以實現(xiàn)能耗的進一步降低。

考慮到1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下預(yù)編碼向量中的各個元素經(jīng)過量化后屬于固定的集合，且集合元素數(shù)目少，為了降低非線性預(yù)編碼算法的復(fù)雜度，筆者從組合優(yōu)化的角度將1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下的非線性預(yù)編碼問題重新建模，提出了基于交叉熵的求解算法。首先，基于概率分布函數(shù)產(chǎn)生初始樣本；然后，通過選取精英樣本并提取其參數(shù)特征進行概率分布的更新；最后，逐步迭代直至收斂得到預(yù)編碼向量。這種方案的誤比特率性能在高信噪比下優(yōu)于現(xiàn)有方案，且對信道估計錯誤具有魯棒性。所提算法與文獻[17]中基于交替最小化框架的算法具有相同數(shù)量級的復(fù)雜度，但易擴展至裝配多位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的大規(guī)模多進多出系統(tǒng)。此外，對于中小規(guī)模多進多出系統(tǒng)，所提方案的誤比特率性能增益明顯，尤其適用于由多個分布式部署的低成本、低功耗接入點所組成的無蜂窩大規(guī)模多進多出系統(tǒng)[19]。

1 系統(tǒng)模型

圖1所示的是單小區(qū)多用戶大規(guī)模多進多出系統(tǒng)，基站用M個天線在相同的時頻資源為U個單天線用戶服務(wù)，每個射頻鏈路均裝配一對1位量化的數(shù)模轉(zhuǎn)換器?？紤]瑞利衰落信道，即信道狀態(tài)信息H∈CU×M中的各元素獨立且每個元素均為服從零均值、單位方差的循環(huán)對稱復(fù)高斯變量。

圖1 1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器大規(guī)模多進多出系統(tǒng)模型

假設(shè)發(fā)送給用戶的符號給定，表示為s∈CU×1且滿足E(ssH)=IM。基站利用下行信道狀態(tài)信息H將發(fā)送符號s預(yù)編碼為M維的復(fù)向量z=[z1，…，zM]T∈CM×1：

z=F(H，s) ，

(1)

其中，E(·)表示求期望運算；F表示預(yù)編碼映射，具體指預(yù)編碼后的符號z與發(fā)送符號s和下行信道H間的映射關(guān)系。預(yù)編碼后的符號z需滿足平均功率約束：

E(zHz)≤P，

(2)

其中，P表示預(yù)編碼后符號z的最大平均功率。

預(yù)編碼后符號z經(jīng)過1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化的處理，可被表示為

x=Q(z)=Q(Re{z})+jQ(Im{z})=(P/(2M))1/2(sgn(Re{z})+j sgn(Im{z})) ，

(3)

其中，經(jīng)過1位量化后的符號x=[x1，…，xM]T，Q(·)表示1位量化操作，Re{·}表示取實部，Im{·}表示取虛部，sgn(·)表示符號函數(shù)?？梢钥闯觯瑉中的任一元素zm的實部和虛部分別被量化，因此1位量化對應(yīng)輸出xm的集合可被定義為

(4)

用戶接收的信號y=[y1，…，yU]T可被表示為

y=Hx+n，

(5)

文中關(guān)于矩陣及其運算采用如下符號定義：IM表示維度為M的單位矩陣；CU×M表示U行M列的復(fù)矩陣域；(·)T表示向量或者矩陣的轉(zhuǎn)置；(·)H表示向量或者矩陣的共軛轉(zhuǎn)置。

2 非線性預(yù)編碼設(shè)計

裝配1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器可以大幅度地降低大規(guī)模多進多出系統(tǒng)基站的功率消耗，簡化發(fā)射端的硬件配置。然而，由于沒有考慮量化影響，線性預(yù)編碼后的符號經(jīng)過1位量化數(shù)模轉(zhuǎn)換器后會嚴(yán)重失真，導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降。由上節(jié)描述的系統(tǒng)模型中可知，經(jīng)過1位量化后的輸出屬于固定集合，因此可以直接對1位量化后的符號進行選擇設(shè)計，將量化影響考慮在內(nèi)，提升系統(tǒng)的性能。這個結(jié)果可通過非線性預(yù)編碼算法來實現(xiàn)，其主要思想是建立并求解最小化接收信號和1位量化后信號的均方誤差問題。但是，現(xiàn)有的基于凸松弛和交替框架的非線性預(yù)編碼算法的復(fù)雜度高。筆者從組合優(yōu)化的角度對該問題重新建模，提出了基于交叉熵的非線性預(yù)編碼算法，可快速地收斂。

2.1 基于交叉熵算法的非線性預(yù)編碼方案

(6)

其中，‖·‖2表示二范數(shù)。此時，非線性預(yù)編碼問題可以被表示為

(7)

其中，L(x，β)表示要求解的目標(biāo)函數(shù)，R表示實數(shù)域。當(dāng)預(yù)編碼后的符號向量x給定時，式(7)為關(guān)于β的二次函數(shù)，經(jīng)過求導(dǎo)求解，得到β的最優(yōu)解為

(8)

將式(8)帶入式(7)，得

(9)

由于x中元素取自集合χ1，該問題可以看成是一個離散組合優(yōu)化問題，共有4M種可能的組合，屬于NP(Non-deterministic Polynomial)難問題。這意味著對于天線數(shù)目比較多的情況，沒有有效的算法求解。交叉熵算法針對組合優(yōu)化問題可以快速求解[20]。筆者采用交叉熵算法來求解預(yù)編碼向量，為了方便表示，將該復(fù)值問題轉(zhuǎn)化為一個等效的實值問題，并進行如下定義：

(10)

此時式(9)的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

(11)

交叉熵算法求解預(yù)編碼向量的具體流程如方案1所示。

方案1基于交叉熵算法的非線性預(yù)編碼方案。

輸入：發(fā)送信號s，實數(shù)化的信道矩陣HR，候選的數(shù)量K，精英的數(shù)量Kelite。

(12)

第5步更新概率分布p(i+1)，其是交叉熵算法的關(guān)鍵步驟，更新方法如下所示。

在交叉熵算法中，其主要思想是利用得到的精英樣本最小化交叉熵的值去更新下一次迭代的概率分布p(i+1)，以使算法達到收斂。該過程可以被表示為[21]

(13)

(14)

(15)

令式(15)為零，得第5步更新概率分布的計算式為

(16)

對于裝配多位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的系統(tǒng)，由于量化后的標(biāo)簽屬于有限集合，根據(jù)文獻[20]可將量化輸出進行編碼，將預(yù)編碼問題建模為組合優(yōu)化問題。與1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器類似，可首先根據(jù)量化的輸出集合建立與交叉熵算法迭代所需概率向量的映射關(guān)系，然后采用交叉熵算法進行求解。針對裝配a位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的系統(tǒng)，第i個預(yù)編碼后的符號經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換器量化的輸出可以表示為

xi=lRe+jlIm，

(17)

(18)

其中，Δa表示a位量化時的量化間隔，應(yīng)滿足式(2)中的功率約束。量化后的標(biāo)簽li可通過式(19)線性組合：

li=[2-1Δa，…，2a-2Δa][λ1，…，λa]T，

(19)

其中，λ1，…λa∈{1，1}。此時，可以看出[λ1，…，λa]為交叉熵算法迭代所需的概率向量，求解非線性預(yù)編碼問題便轉(zhuǎn)化為求解向量[λ1，…，λa]的組合優(yōu)化問題。與1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下的情況相同，可采用交叉熵算法進行求解。

2.2 收斂性及復(fù)雜度分析

(20)

對于所提方案的復(fù)雜度，由方案1的迭代過程可以看出其復(fù)雜度主要來源于步驟(2)、步驟(4)和步驟(5)。其中，步驟(2)計算均方誤差的復(fù)雜度主要是矩陣向量的乘法復(fù)雜度，為O(KM2)；步驟(4)計算權(quán)重的復(fù)雜度為O(Kelite)；步驟(5)進行概率更新的復(fù)雜度為O(2MKelite)。假設(shè)總共進行了I次迭代，則總的復(fù)雜度為O(I(KM2+Kelite+2MKelite))，一般交叉熵算法中K不需要很大且快速收斂[22]。

而文獻[15]中的半正定松弛法的復(fù)雜度為O((2M+1)4.5)，均方無窮范數(shù)松弛的復(fù)雜度為O(2(k1M3+k2M2))，其中k1，k2分別為其算法兩步迭代的次數(shù)。文獻[17]交替方向乘子法的復(fù)雜度為O(IADMMM2)，其中IADMM表示迭代次數(shù)?？梢钥闯鏊岱桨傅膹?fù)雜度低于半正定松弛法和均方無窮范數(shù)松弛，與交替方向乘子法的算法相當(dāng)。

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)先分別在中規(guī)模和大規(guī)模多進多出場景下，仿真比較所提出的基于交叉熵的預(yù)編碼算法、最大比合并量化預(yù)編碼算法、最小均方誤差量化預(yù)編碼算法、迫零量化預(yù)編碼算法、文獻[15]中提出的基于半正定松弛預(yù)編碼算法和均方無窮范數(shù)松弛預(yù)編碼算法、文獻[17]提出的交替方向乘子法的預(yù)編碼算法在裝配1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器時系統(tǒng)的誤比特率性能，并以無限精度迫零預(yù)編碼算法作為性能上界；接下來同樣在1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下仿真比較了各預(yù)編碼方案對信道估計錯誤的魯棒性；最后仿真了所提交叉熵算法在1位、2位和3位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下系統(tǒng)的誤比特率性能。

在基站端16根天線、4個用戶及QPSK調(diào)制下，當(dāng)K=200，Kelite=40時，誤比特率曲線如圖2所示?？梢钥闯觯?位量化的影響下，線性量化預(yù)編碼的誤比特率隨著信噪比的增加逐漸趨于飽和。由于針對1位量化后的符號進行設(shè)計，非線性預(yù)編碼的性能優(yōu)于線性預(yù)編碼。在中規(guī)模多進多出場景下，所提預(yù)編碼方案的性能在高信噪比時優(yōu)于現(xiàn)有方案，而復(fù)雜度與交替方向乘子法相當(dāng)。

圖2 16根天線4個用戶下誤比特率曲線

在基站端128根天線、20個用戶及QPSK調(diào)制下，當(dāng)K=500，Kelite=200時，誤比特率曲線如圖3所示。可以看出，與中小規(guī)模多進多出系統(tǒng)相似，當(dāng)信噪比增大時，線性量化預(yù)編碼性能也逐漸趨于飽和。隨著信噪比的增加，非線性預(yù)編碼有顯著的性能提升，且各非線性預(yù)編碼方案性能一致。這是由于隨著天線數(shù)目的增加，1位量化的影響變?nèi)跚铱赏ㄟ^非線性預(yù)編碼算法有效地補償。所提方案的迭代次數(shù)較少，且隨著天線數(shù)目的增加，所提出算法所需的樣本數(shù)K不會大幅度增加，一般取值為200～500。

圖3 128根天線20個用戶下誤比特率曲線

在基站端128根天線、20個用戶信噪比為5 dB及QPSK調(diào)制下，誤比特率隨信道估計錯誤曲線如圖4所示?？梢钥闯?，非線性預(yù)編碼優(yōu)于線性預(yù)編碼，在非完美信道狀態(tài)信息下非線性量化預(yù)編碼也適用，且所提方案對信道估計錯誤的魯棒性與現(xiàn)有非線性預(yù)編碼方案相當(dāng)，具有穩(wěn)定性。

圖4 128根天線20個用戶下魯棒性曲線

在基站端16根天線、4個用戶QPSK調(diào)制下，系統(tǒng)分別裝配1位、2位、3位數(shù)模轉(zhuǎn)換器時，誤比特率曲線如圖5所示。可以看出，隨著量化位數(shù)增加誤比特率逐步降低，所提方案可擴展至裝配多位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的系統(tǒng)。

圖5 不同量化精度DAC下誤比特率曲線

4 結(jié)束語

針對1位數(shù)模轉(zhuǎn)換器下大規(guī)模多進多出系統(tǒng)非線性預(yù)編碼問題，筆者提出了基于交叉熵的預(yù)編碼方案。該方案在每次迭代中，通過更新預(yù)編碼向量各元素的概率分布，快速收斂得到預(yù)編碼結(jié)果。該方案在高信噪比下具有性能優(yōu)勢，性能穩(wěn)定，且易擴展至采用多位數(shù)模轉(zhuǎn)換器的系統(tǒng)。