準最小最大優(yōu)化動態(tài)輸出反饋魯棒MPC

平續(xù)斌，劉思偉，吳宗原，劉 鼎，李志武

(西安電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

模型預(yù)測控制(Model Predictive Control，MPC)為一種基于滾動時域優(yōu)化的最優(yōu)控制方法，其在每個采樣時刻利用系統(tǒng)模型和量測信息對系統(tǒng)未來動態(tài)進行預(yù)測，并且在考慮物理約束以及滿足性能指標情況下優(yōu)化求解控制輸入序列。但在當前采樣時刻，MPC僅實施優(yōu)化控制輸入序列的第一個；在下一采樣時刻，系統(tǒng)模型參數(shù)和量測信息得到更新且控制時域前移一步，然后重復(fù)上一時刻同樣形式的優(yōu)化控制問題[1]。因MPC能夠處理包含物理約束系統(tǒng)的優(yōu)化控制問題，從而得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[2-6]。然而在實際過程中，精確的模型參數(shù)往往難以獲得且系統(tǒng)的真實狀態(tài)或部分真實狀態(tài)難以測量。對于實際過程中存在的未知系統(tǒng)狀態(tài)、物理約束和建模不確定性情況，輸出反饋魯棒MPC不僅能確保標稱系統(tǒng)性能，而且能夠確保在模型參數(shù)以及干擾等不確定性情況下滿足系統(tǒng)魯棒性的穩(wěn)定性要求[7]。

線性參數(shù)變化(Linear Parameter Varying，LPV)系統(tǒng)的動態(tài)特性依賴于時變的調(diào)度參數(shù)(Scheduling Parameter)，并且處于線性子系統(tǒng)所構(gòu)建的凸包集合之內(nèi)，因此可以描述不確定性或者非線性系統(tǒng)，并且可借助線性系統(tǒng)中已有的成熟優(yōu)化控制技術(shù)[8]。此外，當Takagi-Sugeno (T-S)模糊系統(tǒng)的前件變量(Premise Variable)等同于線性參數(shù)變化系統(tǒng)的調(diào)度參數(shù)時，兩類系統(tǒng)等價[9]。針對線性參數(shù)變化系統(tǒng)的輸出反饋魯棒，MPC通常采取觀測器和控制器綜合設(shè)計方法，因為涉及到綜合魯棒狀態(tài)估計和控制的問題，所以往往造成優(yōu)化中雙線性矩陣不等式(Bilinear Matrix Inequality，BMI) 形式非凸約束，從而難以在多項式時間內(nèi)求解困難[10]。針對線性參數(shù)變化系統(tǒng)加有界干擾，以及T-S模糊系統(tǒng)加有界干擾形式描述的不確定性系統(tǒng)，文獻[11-15]借助魯棒正不變(Robust Positively Invariant，RPI)集合理論和線性矩陣不等式[16](Linear Matrix Inequality，LMI)技術(shù)研究了多種動態(tài)輸出反饋魯棒MPC方法。在文獻[11-15]中，針對線性參數(shù)變化系統(tǒng)的調(diào)度參數(shù)或T-S模糊系統(tǒng)的前件變量精確已知情況，動態(tài)輸出反饋魯棒MPC控制器采用參數(shù)依賴形式，利用線性矩陣不等式技術(shù)，將在線非凸優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化求解。

針對輸出反饋魯棒MPC問題，通?？紤]閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定進而確保被控系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，因此常涉及到閉環(huán)系統(tǒng)魯棒正不變集合的構(gòu)建和優(yōu)化。文獻[11-15]中在線輸出反饋魯棒MPC在每個采樣時間采用常見的最小最大(Min-Max)優(yōu)化的魯棒優(yōu)化控制形式，從而考慮到當前以及未來時刻所有可能不確定模型參數(shù)以及干擾情況，并且將當前和未來時刻的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)約束在共同的魯棒正不變集合之內(nèi)，因此往往造成優(yōu)化控制問題保守性。在文獻[11-15]中，動態(tài)輸出反饋魯棒MPC優(yōu)化問題未考慮當前時刻模型參數(shù)精確已知情況，而且參數(shù)依賴形式控制器造成優(yōu)化問題中雙凸組合[17](Double Convex Combination)約束，從而因引入了大量的線性矩陣不等式?jīng)Q策變量和約束，造成在線計算量大的問題。此外，針對包含模型參數(shù)不確定以及有界干擾，輸出反饋魯棒MPC通常會涉及到動態(tài)變化的估計誤差集合界的問題，也會影響系統(tǒng)的控制性能、魯棒穩(wěn)定性和物理約束處理等。在文獻[11-15]中，通過輔助優(yōu)化，對估計誤差集合的界進行更新，其中文獻[11，14]中輔助優(yōu)化可決定下一采樣時刻主優(yōu)化是否需要求解；文獻[12-13，15]中輔助優(yōu)化更新誤差集合方法可確保主優(yōu)化問題的遞歸可行性。文獻[12-13，15]中估計誤差更新可以基于閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)在魯棒正不變集合內(nèi)的不變性進行，但為了更進一步地降低估計誤差集合保守性，在輔助優(yōu)化中將通過閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)不變性獲得的估計誤差集合與估計誤差系統(tǒng)獲得的估計誤差集合進行比較。然而在誤差集合運算和比較過程中，往往因為集合運算操作而造成估計誤差集合界更新保守性問題，從而降低系統(tǒng)控制性能以及影響系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性和物理約束處理。

不同于文獻[11-15]中動態(tài)輸出反饋魯棒MPC方法，文中動態(tài)輸出反饋魯棒MPC采用了準最小最大(Quasi-Min-Max)優(yōu)化，不僅可提升系統(tǒng)控制性能和確保優(yōu)化問題遞歸可行性，而且可以降低算法的在線計算量。具體方法為當前時刻動態(tài)輸出反饋控制器驅(qū)使閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)約束在魯棒正不變集合之內(nèi)，而通過未來時刻動態(tài)輸出反饋控制器使得預(yù)測的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)約束在非增的魯棒正不變集合之內(nèi)。此外，在優(yōu)化當前時刻動態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)時，考慮到當前時刻精確已知系統(tǒng)模型參數(shù)，從而降低了優(yōu)化控制問題的保守性。在主優(yōu)化問題求解中，通過考慮干擾以及系統(tǒng)輸出量測相關(guān)的模型參數(shù)為恒定矩陣情況，從而避免了雙凸組合約束引入所造成的在線計算量大問題。此外，估計誤差集合更新采用了預(yù)測的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)的在魯棒正不變集合內(nèi)的不變特性，從而不僅降低了估計誤差集合更新保守性，同時避免了輔助優(yōu)化問題求解。

1 線性參數(shù)變化系統(tǒng)和物理約束

考慮如下具有有界干擾的離散時間線性參數(shù)變化系統(tǒng)：

x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)+Dw(k)，y(k)=Cx(k)+Ew(k) ，

(1)

(2)

2 準最小最大優(yōu)化動態(tài)輸出反饋魯棒MPC

2.1 動態(tài)輸出反饋控制器和擴展閉環(huán)系統(tǒng)

對于式(1)，設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器為

(3)

u(i|k)=Cc(i|k)xc(i|k)+Dc(i|k)y(i|k) ，

(4)

(5)

其中，xc(i|k)∈Rnx，i≥0，表示控制器狀態(tài)；{Ac(k)，Bc(k)}和{Ac(i|k)，Bc(i|k)}，i≥1，分別表示當前和未來時刻的控制器增益矩陣；{Cc(k)，Dc(k)}和{Cc(i|k)，Dc(i|k)}，i≥1，分別表示當前和未來時刻的反饋增益矩陣。考慮到式(1)中調(diào)度參數(shù)在當前時刻可獲得，但在未來采樣時刻不確定情況，設(shè)計上述動態(tài)輸出反饋控制器式(3)～式(5)，其中式(5)中動態(tài)輸出反饋控制器參數(shù){Ac(i|k)，Bc(i|k)}，i≥1，為參數(shù)依賴形式。利用式(1)和式(3)～式(5)獲得如下擴展閉環(huán)系統(tǒng)：

(6a)

其中，

(6b)

在文獻[11-14]中，針對當前和預(yù)測的擴展系統(tǒng)狀態(tài)采用了相同參數(shù)依賴形式的動態(tài)輸出反饋控制器。文中分別針對當前和預(yù)測的擴展系統(tǒng)狀態(tài)，設(shè)計不同動態(tài)輸出反饋控制器式(3)和式(4)，而僅式(4)中動態(tài)輸出反饋控制器采用參數(shù)依賴形式。

2.2 擴展狀態(tài)約束

假定式(7)中M∈R2nx×2nx和Q∈R2nx×2nx為互逆矩陣，且M1∈Rnx×nx和Q1∈Rnx×nx為對稱正定矩陣。令M2=-M1，則可得到式(8)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

ρ(k)Me(k)≥M1。

(13)

(14)

如果存在ρ(k)∈(0，1)，使得式(15)和式(16)中控制器狀態(tài)和估計誤差約束同時滿足，則式(14)中約束成立。

(15)

eT(k)M1e(k)≤ρ(k)eT(k)Me(k)e(k) 。

(16)

利用式(8)和Schur補引理，知式(12)保證式(15)成立，并且式(13)保證式(16)成立。

2.3 擴展閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件

(17)

(18)

1-α1-α2≥0，1≥α1≥0，1≥α2≥0 ，

(19)

(20)

(21)

式(21)的充分條件是式(19)和式(22)同時成立：

(22)

對于式(6)，式(22)的充分必要條件為

利用Schur補引理，式(23)等價于

(24)

定義如下矩陣：

(25)

(26)

式(26)滿足的充分條件是式(19)和式(27)同時成立。

(27)

通過考慮式(6)并利用Schur補引理，式(27)滿足的充分必要條件為

(28)

2.4 輸入和狀態(tài)約束條件

引理2如果式(11)、式(12)、式(13)以及式(17)～式(20)滿足，并且式(29)和式(30)成立，則式(2)中輸入和狀態(tài)約束得到保證。

(29)

(30)

(31)

利用Schur補引理，式(31)等價于如下線性矩陣不等式：

(32)

(33)

通過利用Schur補引理，式(33)等價于：

(34)

為了離線確定標量η1s，s∈Z[1，nu]和η2t，t∈Z[1，nx]，采用文獻[15]中的類似方法。首先，求解離線優(yōu)化問題式(35)～(36)：

(35)

s.t.式(18)～(19) ，

(36)

2.5 準最小最大優(yōu)化動態(tài)輸出反饋魯棒MPC算法(無輔助優(yōu)化)

算法1預(yù)先給定標量α1∈(0，1)，η1s，s∈Z[1，nu]和η2t，t∈Z[1，nx]。在采樣k=0時刻，給定初始估計誤差集合ε(Me(0))和控制器狀態(tài)xc(0)。在每個采樣時刻k≥0，執(zhí)行以下步驟：

(1) 求解如下優(yōu)化問題：

(37)

s.t.式(11)，(12)，(13)，(17)～(20)，(29)，(30) 。

(38)

(2) 根據(jù)式(20)，按照式(39)計算動態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)：

(39)

(3) 根據(jù)式(3)先計算xc(k+1)和u(k)，然后施加控制輸入u(k)于式(1)。

文獻[11-15]中最小最大魯棒優(yōu)化控制考慮到當前和預(yù)測的擴展狀態(tài)約束在共同的魯棒正不變集合之內(nèi)，且在預(yù)測未來的擴展狀態(tài)時考慮到當前和未來所有的模型參數(shù)以及干擾的不確定性。最小化性能指標上界(即γ(k))的過程和約束當前和未來時刻的擴展狀態(tài)的魯棒正不變集合的相關(guān)。因此，在優(yōu)化約束當前以及未來預(yù)測的擴展狀態(tài)的魯棒正不變集合時，最小最大性能指標中“最大化”會考慮到當前以及未來時刻所有的模型參數(shù)以及干擾不確定性。

2.6 遞歸可行性與魯棒穩(wěn)定性證明

定理2對于算法1，如果優(yōu)化問題式(37)～式(38)在k≥0時刻可行，則其遞歸可行性滿足。當系統(tǒng)式(6)收斂到平衡點附近時，系統(tǒng)式(1)穩(wěn)定在平衡點附近的有界區(qū)域內(nèi)，并且式(2)中輸入和狀態(tài)約束在k≥0時刻總是滿足。

(40)

(41)

(42)

在k+1時刻，通過進一步令

則優(yōu)化問題式(37)～式(38)中約束在k+1時可滿足。因此，在k時刻優(yōu)化問題式(37)～式(38)的最優(yōu)解能夠構(gòu)造其在k+1時刻的可行解，從而使得算法1中優(yōu)化問題式(37)～式(38)的遞歸可行性得到保證。

為了證明被控系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，考慮如下標稱擴展閉環(huán)系統(tǒng) (即系統(tǒng)式(6)不存在有界干擾)：

(43)

(44)

約束式(17)和式(18)分別確保式(24)和式(28)滿足。根據(jù)Schur補引理和考慮標量α1∈(0，1)，式(24)和式(28)分別保證式(45)和式(46)成立：

(45)

(46)

上述式(45)和式(46)分別保證條件式(47)和式(48)成立。

(47)

(48)

通過對式(48)從i=1到i=∞進行加和，并且綜合式(47)，可得到代價函數(shù)J∞(k)的上界如下：

(49)

3 相關(guān)輸出反饋魯棒MPC算法對比

3.1 準最小最大優(yōu)化動態(tài)輸出反饋魯棒MPC算法(帶輔助優(yōu)化)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

此外，約束eT(k)Me(k)e(k)≤1和wT(k)Pww(k)≤1可分別表示為式和式(56)中不等式。

ξ(k)Tdiag{1，-Me(k)，0}ξ(k)≥0 ，

(55)

ξ(k)Tdiag{1，0，-Pw}ξ(k)≥0 。

(56)

通過利用S-procedure，知“式(55)和式(56)?式(54)”成立的充分條件為存在非負標量β1和β2使得下式成立：

β2ξ(k)T(k)diag{1，0，-Pw}ξ(k)≥0 。

(57)

式(57)的充分必要條件為

(58)

算法2在k=0時刻，標量α1∈(0，1)，η1s，s∈Z[1，nu]，η2t，t∈Z[1，nx]，初始估計誤差集合ε(Me(0))和xc(0)的選取同算法1。在每個k≥0時刻，執(zhí)行以下步驟：

(1) 執(zhí)行算法1中的步驟(1)～步驟(4)。

3.2 文獻[15]中輸出反饋魯棒MPC算法對比

文獻[15]中的算法4所提出的動態(tài)輸出反饋魯棒MPC的主優(yōu)化問題雖然采用多步閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)測，并且預(yù)測的擴展狀態(tài)在不同的魯棒正不變集合之內(nèi)，但是未考慮當前采樣時刻的精確已知模型參數(shù)，因此造成了主優(yōu)化問題保守性。此外，文獻[15]中算法4的主優(yōu)化問題中當前和未來時刻的動態(tài)輸出反饋控制器參數(shù)采用了參數(shù)依賴形式，并且考慮到干擾以及量測相關(guān)的矩陣為多胞不確定性形式，因此引入大量的雙凸組合形式約束，從而造成主優(yōu)化問題在線計算量隨著閉環(huán)預(yù)測時域的增加而顯著地增加。在輔助優(yōu)化更新估計誤差集合方面，文獻[15]中的“輔助優(yōu)化問題式(77)～式(79)”同樣可以實現(xiàn)通過誤差系統(tǒng)進行估計誤差集合計算以及與擴展狀態(tài)不變性得到的估計誤差集合進行比較。然而文獻[15]中“輔助優(yōu)化問題式(77)～式(79)”所涉及到多參數(shù)選取以及多約束存在情況，往往造成輔助優(yōu)化難以可行及計算量大的問題。因此文獻[15]中“輔助優(yōu)化問題式(77)～式(79)”可以改進為引理3中的優(yōu)化問題式(50)～式(52)。為體現(xiàn)文中算法1的優(yōu)勢，針對算法3進行對比，其綜合文獻[15]中算法4的“主優(yōu)化問題(73)”以及文中輔助優(yōu)化式(50)～式(52)。

算法3在k=0時，標量α1∈(0，1)，η1s，s∈Z[1，nu]，η2t，t∈Z[1，nx]，集合ε(Me(0))，以及xc(0)選取同算法 1。設(shè)定閉環(huán)系統(tǒng)預(yù)測時域nc，并且固定U(k)=I。在每個k≥0時刻，算法步驟如下：

(1) 求解文獻[15]中算法4的“主優(yōu)化問題(73)”并計算矩陣Me(k+1)。

在算法1中，主優(yōu)化問題式(37)～式(38)中考慮到了當前時刻模型參數(shù)精確已知情況，并且考慮到當前和未來時刻預(yù)測閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)在不同的魯棒正不變集合之內(nèi)，因此算法1中利用預(yù)測的擴展狀態(tài)不變性可以得到下一時刻精確的估計誤差集合的界，并且不需要更進一步地通過輔助優(yōu)化式(50)～式(52)。在算法2中，雖然在步驟(2)中考慮了輔助優(yōu)化式(50)～式(52)，但考慮到預(yù)先計算的ε(Me(k+1))保守性已經(jīng)顯著降低，則輔助優(yōu)化式(50)～式(52)往往難以可行，因此失去了輔助優(yōu)化進一步降低估計誤差集合保守性的意義。在算法3中，雖然文獻[15]中算法4的“主優(yōu)化問題式(73)”考慮了多步閉環(huán)預(yù)測模型預(yù)測控制優(yōu)化，但是當前時刻精確已知模型參數(shù)未在主優(yōu)化問題中考慮，從而造成計算的估計誤差集合ε(Me(k+1))的保守性。雖然算法3中輔助優(yōu)化式(50)～式(52)更容易可行，但未必能顯著降低估計誤差集合更新保守性和提升系統(tǒng)控制性能。

4 仿真算例

選取文獻[15]中仿真算例，其中針對系統(tǒng)式(1)的模型參數(shù)為

圖1 控制器狀態(tài)、真實狀態(tài)以及估計誤差集合響應(yīng)圖(橢圓中心帶符號虛線：控制器狀態(tài)；帶符號實線：真實狀態(tài)；橢圓：估計誤差集合)

圖2 不同算法的閉環(huán)系統(tǒng)軌跡圖比較

圖3 不同算法的控制輸入比較

5 結(jié)束語

通過構(gòu)建準最小最大優(yōu)化形式的魯棒優(yōu)化問題，針對包含有模型參數(shù)和干擾不確定性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋魯棒MPC進行了研究。通過借鑒魯棒正不變集合理論和線性矩陣不等式技術(shù)，將當前和預(yù)測的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)分別約束在不同的魯棒正不變集合內(nèi)，并且考慮當前時刻精確已知模型參數(shù)，從而降低了動態(tài)輸出反饋控制器保守性。通過考慮預(yù)測閉環(huán)系統(tǒng)在魯棒正不變集合的不變性進行估計誤差集合更新，從而避免了輔助優(yōu)化問題求解。當閉環(huán)系統(tǒng)收斂到平衡點附近時，則被控系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡點附近的有界范圍內(nèi)。所設(shè)計的算法不僅提升了控制性能和確保遞歸可行性，而且降低了在線計算量。