由兩個同型部件和一個修理設備組成的系統(tǒng)的主算子的譜?

艾尼·吾甫爾

(新疆大學 數學與系統(tǒng)科學學院，新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

由兩個同型部件和一個修理設備組成的系統(tǒng)是我們常見的系統(tǒng)之一,例如兩臺功率一樣的發(fā)電機連接構成的發(fā)電系統(tǒng),兩臺功率一樣的水泵連接構成的抽水系統(tǒng),兩臺功率一樣的計算機連接的計算系統(tǒng)等.2006年,曹晉華與程侃[1]給出了描述由兩個同型部件和一個修理設備組成的系統(tǒng)的數學模型,并指出該系統(tǒng)是幾個典型系統(tǒng)如兩個同型部件并聯(lián)的系統(tǒng)、兩個同型部件的冷儲備系統(tǒng)、兩個同型部件的溫儲備系統(tǒng)、兩個同型部件的表決系統(tǒng)等的推廣,然后用Laplace 變換和Tauber 定理討論了該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度.2020年,艾尼·吾甫爾[2]討論了文獻[1]中的由兩個同型部件和一個修理設備組成的系統(tǒng).首先以修理時間作為補充變量并用Markov 過程推導了描述該系統(tǒng)的數學模型,然后在一定的條件下證明了該系統(tǒng)蘊含兩個同型部件并聯(lián)的系統(tǒng)、兩個同型部件的冷儲備系統(tǒng)、兩個同型部件的溫儲備系統(tǒng)、兩個同型部件的表決系統(tǒng).第三步通過選擇狀態(tài)空間,主算子及其定義域將該系統(tǒng)的數學模型轉化成了Banach 空間中的抽象Cauchy 問題.第四步當修復率μ(x) 為有界函數,即supx∈[0,∞)μ(x)<+∞時,證明了該抽象Cauchy 問題的主算子生成一個正壓縮C0?半群,且該半群對包含該系統(tǒng)初值的一個集合是等距算子,由此推出了該系統(tǒng)存在唯一的概率瞬態(tài)解.第五步,當兩個部件都故障的概率λ1和修復率μ(x) 滿足時,0 是該系統(tǒng)的主算子的幾何重數為1 的特征值.當μ(x) 是Lipschitz 連續(xù)并且存在正常數時,證明了該系統(tǒng)的主算子生成的C0?半群是擬緊算子.從而當μ(x) 是Lipschitz 連續(xù)并且存在正常數與使得時,該系統(tǒng)的時間依賴解指數(一致) 收斂于其穩(wěn)態(tài)解.此外,給出了該模型的主算子的共軛算子的表達式并證明了0 是該共軛算子的幾何重數為1 的特征值.最后,討論了該系統(tǒng)的動態(tài)可用度并得到了:當μ(x) 是Lipschitz連續(xù)并且存在正常數時,該系統(tǒng)的動態(tài)可用度收斂于其穩(wěn)態(tài)可用度.從而推廣了文獻[1]的結果.至今還沒有發(fā)現該系統(tǒng)的時間依賴解的結構方面的研究.如果我們研究清楚該系統(tǒng)的時間依賴解的結構,那么我們能得到該系統(tǒng)的時間依賴解的漸近展開,數值分析等,從而給工程技術人員提供理論工具.而該系統(tǒng)時間依賴解的結構由該系統(tǒng)的主算子的譜分布決定.因此,該系統(tǒng)主算子的譜分布研究不僅理論上而且實際中具有重要的意義.因為文獻[2]研究清楚了該系統(tǒng)的主算子在右半復平面和虛軸上的譜分布:右半復平面和虛軸上除了0 點外其他所有點都屬于該主算子的豫解集,0 是該主算子及其共軛算子的幾何重數為1的特征值,所以需要研究該系統(tǒng)的主算子在左半復平面中的譜.本文研究該系統(tǒng)的主算子在左半復平面中的譜分布.2002年,李學志等[3]在Hilbert 空間中研究了有界閉區(qū)間上建立的胎次遞進人口方程的主算子的譜及其代數重數.在一定的條件下他們發(fā)現了該模型的主算子的特征值滿足一個解析函數的零點,再用解析函數的零點定理證明了在左半復平面中的任何帶形區(qū)域中該主算子至多有有限多個特征值,然后討論了共軛算子的特征值并發(fā)現共軛算子的特征值也滿足同樣的公式,從而得到了共軛算子的特征值至多有有限多個,其次討論了特征值的代數重數并得到了除了有限多個特征值外其他特征值的代數重數為1,由此給出了該方程的時間依賴解的漸近展開.由兩個同型部件和一個修理設備組成的系統(tǒng)是在無界區(qū)間上建立的、有有限多個一階偏微分方程構成的方程組[2].此外,根據該系統(tǒng)的物理背景發(fā)現該系統(tǒng)只能在非自反的Banach 空間中討論[2].因此,文獻[3]中的方法不適合本文研究的系統(tǒng).

本文運用無界區(qū)間上的Riemann-Lebesgue 引理證明:在一定的條件下該系統(tǒng)的主算子在左半復平面中的任何帶形區(qū)域至多有有限多個特征值,且這些特征值的幾何重數為1.該系統(tǒng)的主算子的共軛算子在左半復平面中的任何帶形區(qū)域至多有有限多個特征值,且這些特征值的幾何重數為1.此外,結合本文的結果與文獻[2]中的結果得到:0 是該系統(tǒng)的主算子及其共軛算子的嚴格占優(yōu)特征值.

根據文獻[1]和文獻[2],由兩個同型部件和一個修理設備構成的系統(tǒng)由以下方程組描述:

其中:(x,t)∈[0,+∞)×[0,+∞);λ0表示一個部件故障的概率;λ1表示兩個部件都故障的概率;μ(x) 表示修復率,滿足μ(x)≥0,表示兩個部件都完好的概率;p1(x,t) 表示在時刻t 系統(tǒng)中一個部件故障并且正在修理的部件已消耗的修理時間為x 的概率;p2(x,t) 表示在時刻t 系統(tǒng)中兩個部件都故障并且正在修理的部件已消耗的修理時間為x 的概率.

本文沿用文獻[2]中的記號.記

選取狀態(tài)空間為

用Banach 空間的定義不難驗證X 是一個Banach 空間.以下定義算子及其定義域.

若對p ∈D(A) 定義

且對p ∈X 定義

則方程組(1)～(6) 可以改寫為Banach 空間X 中的一個抽象Cauchy 問題[2]:

1 主要結果

引理1 使函數解析的任何帶形區(qū)域中A+U+E至多有有限多個特征值,并且這些特征值的幾何重數為1,其中表示γ 的實部.

證明考慮特征方程(A+U+E)p=γp,即

解(9) 與(10) 得到

合并(12) 與(14) 并用(13) 推出

將(13) 代入(8) 有

結合(13) 與(11),(15) 并用(16) 可得

若p0=0,則由(16) 知道a1=0,從而由(15) 與(13) 容易看出p(x)=(p0,p1(x),p2(x))=(0,0,0),即γ 不是特征值.

(16) 與(17) 蘊含

(16)×γ+(17)×(γ+λ0) 給出

則由(19) 易知

由(13) 與(15) 估計出

由此式與(18),(20)知道:滿足F(γ)=0 的γ 都是A+U+E 的特征值.因為F(0)=0,所以γ=0 是A+U+E的特征值.這是文獻[2]中的結果.我們發(fā)現文獻[2]中的條件可以去掉,因為

由引理1的條件知道F(γ) 在帶形區(qū)域Ω={γ ∈C|γ=b+ic,b1≤b ≤b2≤0} 中解析,所以由解析函數的零點定理得到F(γ) 至多有可數個零點.

以下用反證法證明引理1的結果.假設A+U+E 在帶形區(qū)域Ω={γ ∈C|γ=b+ic,b1≤b ≤b2≤0} 中有無窮多個特征值,那么F(γ) 在Ω 中有無窮多個根,設這些根γk=bk+ick,k ≥1,i2=?1.由Bolzano-Weierstrass 定理知道存在子列γn=bn+icn使得limn→∞bn=b0,limn→∞cn=∞,F(γn)=F(bn+icn)=0,即

(23) 的兩邊取n →∞的極限,由Riemann-Lebesgue 引理得到∞=0,矛盾.這說明cn是有限數,即γn=bn+icn是有限多個.由(13) 與(15) 容易看出這些特征值的幾何重數等于1.

文獻[2]中給出了X 的共軛空間

它是一個Banach 空間.A+U+E 的共軛算子(A+U+E)?為

引理2使函數解析的任何帶形區(qū)域中(A+U+E)?至多有有限多個特征值并且這些特征值的幾何重數為1.

證明考慮特征方程(A+U+E)?q?=γq?.這等價于

解(26) 得到

將此式代入(28) 并用積分的區(qū)間可加性求出

解(25) 我們有

將(32) 代入(31) 并用(30) 和Fubini 定理計算出

此式蘊含

由(30) 與(33) 估計出

由(36),(37),(35) 與(24) 知道:滿足F(γ)=0 的所有γ 都是(A+U+E)?的特征值.用引理1 的方法得到F(γ) 在帶形區(qū)域{γ ∈C| ?∞

綜合以上兩個引理與文獻[2]得到本文的主要結果:

定理1(1)使函數解析的任何帶形區(qū)域{γ ∈C|?∞

(3) 0 是A+U+E 的嚴格占優(yōu)特征值.

(4) 0 是(A+U+E)?的嚴格占優(yōu)特征值.

注解1如果存在正常數<+∞,那么F(γ) 在內解析.從而,由定理1 知道A+U+E 與(A+U+E)?在帶形區(qū)域中至多有有限多個特征值并且這些特征值的幾何重數為1.

定理1 的思想和方法對有限多個偏微分方程描述的可靠性模型[4?6]適用,對無窮多個偏微分方程描述的可靠性模型[7?8]和排隊模型[9]不適用.