作業(yè)育人：實踐與理論的對話

■劉曉萍，陳六一

一、現(xiàn)實之困

（一）內(nèi)涵界定含糊

作業(yè)反映著教的有效性與學(xué)的水平層次，影響著育人目標的達成，所以從世界范圍來看，作業(yè)都是各國課程改革的關(guān)鍵詞之一。但如何恰當(dāng)?shù)囟ㄎ蛔鳂I(yè)，國內(nèi)外表述不一（見表1），國內(nèi)的界定也多為經(jīng)驗性表達（見表2）。國內(nèi)的關(guān)注點多是課本內(nèi)容學(xué)習(xí)的延伸，需要個人付出努力；國外的關(guān)注點多是生活性作業(yè)，有個人的獨立思考，不少時候需要團隊一起成長。

表1 國內(nèi)外對作業(yè)的表述

表2 國內(nèi)對作業(yè)的經(jīng)驗性表達

（二）觀念二元對立

接受課外作業(yè)對于一線老師、教育研究者都是一個難題，他們的觀點非常明確，卻又涇渭分明。

基金項目：蘇州市姑蘇教育人才基金資助項目“詩意數(shù)學(xué)課堂實踐與研究”（項目編號：RCZZ202116）階段性成果

反對的觀點：

（1）課堂上邊講邊練，不布置家庭作業(yè)更有利于成績提升[5]。

（2）重復(fù)的操練讓學(xué)習(xí)者身心疲憊，對學(xué)科失去興趣。

（3）雖然作業(yè)可以提升家長、學(xué)校、教師的參與度，但也是他們之間的沖突所在。

（4）干擾了其他興趣愛好。

（5）不受監(jiān)控的作業(yè)容易形成表層學(xué)習(xí)。

支持的理由：

（1）數(shù)學(xué)作業(yè)促進了學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法豐富性的理解。

（2）培養(yǎng)了學(xué)生自律性與時間管理能力。

（3）滿足了家長、政府、公眾對學(xué)校的期望。

（4）能提高學(xué)生的學(xué)業(yè)成績。

盡管雙方都拿不出權(quán)威的、普遍接受的論證數(shù)據(jù)，但以上所有對立的觀念都值得認真對待，因為被反對可以讓我們反思作業(yè)設(shè)計的策略是否得當(dāng)、作業(yè)的實施與評估是否因時因人；更重要的是作業(yè)承載著育人的拓展價值：對學(xué)科的持久熱愛與學(xué)科核心素養(yǎng)的積淀。為此，我們研究的著力方向是小學(xué)數(shù)學(xué)課后作業(yè)， 試圖平衡以上二元對立的觀念，讓數(shù)學(xué)課后作業(yè)成為小學(xué)生發(fā)現(xiàn)自我、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的載體，進而學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言思考并表達現(xiàn)實世界。

二、實踐重塑

（一）作業(yè)即或同化或順應(yīng)

按照皮亞杰“結(jié)構(gòu)與智力發(fā)生理論”，兒童的智力結(jié)構(gòu)是在“平衡—不平衡—平衡”的過程中，獲得了最終發(fā)展；而平衡是指同化與順應(yīng)兩者的平衡[6]。所謂同化，就是把外界元素整合于一個具體的已經(jīng)形成的結(jié)構(gòu)當(dāng)中；所謂順應(yīng)，就是同化的圖示或結(jié)構(gòu)受到同化元素的影響而發(fā)生的改變。進一步來說， 同化在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上其主要標志就是把新的、未知的，想辦法納入或聯(lián)結(jié)到舊的、已知的結(jié)構(gòu)中去；而順應(yīng)則是同化的對立面，新的、未知的與已有的結(jié)構(gòu)發(fā)生了沖突，需要改變原來的結(jié)構(gòu)，讓新的、舊的融于一個新的可以解釋的結(jié)構(gòu)中。于是在課后作業(yè)中，我們嘗試讓學(xué)生將數(shù)學(xué)問題不斷往兩個方向深入，一方面，在同化中往后退，退到越基礎(chǔ)越好，以此領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；一方面，在順應(yīng)中往前走，走到利用數(shù)學(xué)的一致性，不斷產(chǎn)生新方法、新思想，以此感悟數(shù)學(xué)的自由。

1.在同化中往后退

作業(yè)樣例1：（常熟市報慈小學(xué)六年級）測量學(xué)校百年紅豆樹有多高？

設(shè)計思考：人們經(jīng)常需要知道一棵大樹、一根旗桿、一個高大建筑物有多高，但又無法直接測量，其原因或是不能登上物體的最高點，或是測量工具太短。如果通過間接測量，發(fā)現(xiàn)桿長與影長成正比例關(guān)系，則可算出物體的高度。而這，需要學(xué)生將正比例的知識退到以下圖示當(dāng)中:解比例、比、倍數(shù)、比較、測量。在退的過程中，學(xué)生能逐漸懂得現(xiàn)實測量工具不好完成的測量任務(wù)， 需要借助思想測量，即數(shù)學(xué)運算；而算出所求高度其實依靠的是比與倍數(shù)關(guān)系，即先算出參照物實際高度是其影子長的倍數(shù)（或者比值），這樣利用測出的所求物的影子長反推出所求物的高度；但不管怎樣退，其起點是長短的比較，及利用工具測量線段的長短。經(jīng)過這樣的實際探索與思考，學(xué)生能認識到今天測量紅豆樹的高度，只不過是更智慧地利用昨天的測量工具，而且讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)是解釋未知更為理想的手段。

設(shè)計啟示：顯然，解決“測量紅豆樹有多高”這類的課后作業(yè)，可以幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)，但布魯納也說：“習(xí)得結(jié)構(gòu)，就是學(xué)習(xí)事物是怎樣互相關(guān)聯(lián)的。”所以，如果有一類知識，能將更多的數(shù)學(xué)概念關(guān)聯(lián)起來，那就能極大地促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)的整體觀。不妨將這樣的知識稱為核心知識，一旦以核心知識作為作業(yè)設(shè)計的基點，無疑利于學(xué)生將所學(xué)經(jīng)驗遷移到新的事例（見圖1），而且這也符合格式塔學(xué)習(xí)理論中的頓悟觀點：若要幫助孩子領(lǐng)悟?qū)W習(xí)內(nèi)容，教育者就應(yīng)為他們創(chuàng)設(shè)一些必要的環(huán)境，讓孩子在環(huán)境中分析問題、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系、重組事件。

圖1 依據(jù)同化理論設(shè)計作業(yè)的思考

2.在順應(yīng)中向前走

課后作業(yè)樣例2：（張家港市沙洲小學(xué)二年級）征集與分享學(xué)生、家長、老師感興趣的關(guān)于時間的話題后，讓學(xué)生自主設(shè)計不同形式的“認識時、分、秒”。

設(shè)計思考：常見的人民幣單位元、角、分是十進制，長度單位米、分米、厘米也是十進，而時分秒則是六十進制， 打破了學(xué)生關(guān)于單位進率的既定圖示，就需要擴充學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，但是學(xué)習(xí)的過程如果充滿著無理由的規(guī)定，學(xué)生就會漸漸失去對數(shù)學(xué)的興趣；如果能讓學(xué)生持有對數(shù)學(xué)不同的長久好奇，則能激發(fā)學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)，并在數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神的營養(yǎng)中，幫助學(xué)生于順應(yīng)中改變數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，保持數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的彈性，也能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)發(fā)展進程。

設(shè)計啟示：學(xué)生完成“制作鐘面”“體驗時間”和“時分秒知識梳理”，在解鐘面的結(jié)構(gòu)，感受鐘面計時的原理、方法中夯實了基礎(chǔ)知識與基本技能；在完成“只有北京時間嗎？ ”“計時工具發(fā)展史”“動手測時間”“一天的作息計劃”“其他時間單位”中，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于實際生活的需要，數(shù)學(xué)為工具的制作提供了方法，同時解決工具的局限性在于大腦（如圖2）。為此，人們要不斷改變時間單位的定義：從1 秒是平均太陽日的1/86,400， 終止于1 秒是銫-133 原子基態(tài)的兩個超精細能級間躍遷對應(yīng)輻射的9,192,631,770 個周期， 人類開始進入原子時間時代。由此可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)計一些認知失衡的作業(yè)，不強調(diào)數(shù)學(xué)概念的強制規(guī)定性， 而是從失衡處起步，讓學(xué)生不斷走遠，學(xué)生將欣賞到數(shù)學(xué)思維冒險帶來的意料之中與預(yù)料之外。

圖2 學(xué)生對時、分、秒的研究

（二）作業(yè)即數(shù)學(xué)再創(chuàng)造

弗賴登塔爾認為數(shù)學(xué)教育的核心是“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”，即學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中通過自己的實踐與思考，發(fā)現(xiàn)或者發(fā)明出已有的數(shù)學(xué)原理[6]。當(dāng)“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”貫穿于數(shù)學(xué)教育的全過程，學(xué)生便能通過組合先前已知的概念來建構(gòu)有意義的新概念，或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)事實之間不曾知曉的關(guān)系，也就實現(xiàn)了大數(shù)學(xué)家龐加萊的“創(chuàng)造是選擇”的隱喻[6]，與波利亞所說的“換一種方式去看它”[6]。

1.誕生精彩觀念

課后作業(yè)樣例3：（常熟市常欣小學(xué)五年級）體驗100 平方米（如圖3）、1 公頃（如圖4）、1 平方千米（如圖5）有多大。

圖3 體驗100 平方米

圖4 體驗1 公頃

圖5 體驗1 平方千米

設(shè)計思考：首先，平方厘米、平方分米、平方米的進率是以100 倍的方式擴大，而平方米的教學(xué)之后，教材讓學(xué)生認識的是公頃，公頃與平方米的進率是10000，這樣一來打破了進率的一致性，學(xué)生必然在平方米與公頃間失衡，所以務(wù)必要通過建構(gòu)100 平方米（其實100 平方米是用公畝命名的），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不但講道理，而且道理始終如一。其次，和認識平方厘米、平方分米、平方米的“看一看”“摸一摸”“找一找”“比一比” 等直接的具身體驗不同，“100 平方米（公畝）”“公頃”和“平方千米”很難在課堂上直接體驗，而且生活中大多數(shù)學(xué)生缺少相關(guān)的經(jīng)驗積累，需要借助“長度”“時間”作為抓手進行間接體驗。這也符合格式塔心理學(xué)家的觀察：真正的學(xué)習(xí)常常會伴隨著一種興奮感，學(xué)習(xí)者了解到數(shù)學(xué)概念之間有意義的關(guān)系、內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，會誕生精彩的觀念。

設(shè)計啟示：學(xué)生通過完成作業(yè)，發(fā)現(xiàn)了面積單位的真相，創(chuàng)造了屬于自己的觀點：其一，1 平方厘米就是邊長1 厘米的正方形，1 平方分米就是邊長1 分米的正方形，1 平方米就是邊長1 米為單位的正方形，自然推理出它們之間的進率，照這樣，也能自然創(chuàng)造出新的更大的面積單位，其方式就是在頭腦中構(gòu)造以邊長為10 米的正方形（公畝）、為100米的正方形（公頃）、為1000 米的正方形（平方千米）；其二，邊長為10 米的正方形其面積自然是100 平方米， 但是100 平方米不只是正方形， 還可以探索出100 平方米的其他形狀……當(dāng)把細節(jié)放在整體之中，學(xué)生也會通過放大細節(jié)，考量細節(jié)與整體的聯(lián)系，從而真正理解數(shù)學(xué)的上位概念與下位概念。

2.看見自己的成長

課后作業(yè)樣例4：（姑蘇區(qū)滄浪新城第二實驗小學(xué)四年級）根據(jù)給定條件制作年歷（如圖6）、制作平年與閏年的游戲器具（如圖7）、制作普通計時法與24 時計時法的轉(zhuǎn)化學(xué)具（如圖8）。

圖6 學(xué)生制作年歷

圖7 學(xué)生制作平年與閏年的游戲器具

圖8 學(xué)生制作平計時法轉(zhuǎn)換器具

設(shè)計思考：老師依次給出年份的1月1日是星期幾，一年的最后一天是星期幾，某個季度的第幾天是星期幾，讓學(xué)生根據(jù)所給條件制作年歷，學(xué)生不僅要熟練掌握年月日的知識與聯(lián)系，更鍛煉了學(xué)生的推理素養(yǎng)。平年和閏年的判斷對于有些學(xué)生是很難的，但學(xué)生在制作小卡片與scratch 游戲，將陳述性的判斷方法轉(zhuǎn)化成程序性理解。制作普通計時法和24 時計時法的互相轉(zhuǎn)化學(xué)具， 學(xué)生有的在原有的鐘面上做簡單的加工，有的制成時間尺，都更好地領(lǐng)會了轉(zhuǎn)換原理。制作年歷、學(xué)具等，學(xué)生能顯性地看見自己的動手成果，更重要的是學(xué)生通過推理演算、理解轉(zhuǎn)化原理，會發(fā)現(xiàn)這一切都需要數(shù)學(xué)思考，從而在數(shù)學(xué)思考幫助動手達成的認識中，洞察作業(yè)即作品。

設(shè)計啟示：數(shù)學(xué)離不開計算，小學(xué)生甚至將數(shù)學(xué)窄化到數(shù)學(xué)就是計算，但他們大多對計算又沒有好感，因為一般計算就是反復(fù)練、練反復(fù)，從而連帶著他們對數(shù)學(xué)也沒有好感。而如果學(xué)生感受到計算不停留于書面操練， 數(shù)學(xué)計算是為了生成作品，進而解釋現(xiàn)象、服務(wù)生活，學(xué)生會明白算不僅是“技術(shù)”，還是“運籌”。這樣，學(xué)生便在計算的需要中切實掌握計算的方法，便在計算闡釋真相中發(fā)現(xiàn)了自己實實在在的成長，實現(xiàn)了計算創(chuàng)造新生活。

（三）作業(yè)即完整的發(fā)展

數(shù)學(xué)教學(xué)追求“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”[7]，但這不是直接將學(xué)生分成三六九層，然后根據(jù)相應(yīng)的層級進行教學(xué)行為，而是要通過數(shù)學(xué)任務(wù)，觀察其思維水平就某一個具體的問題解決處在哪個水平等級， 進而引導(dǎo)學(xué)生尋找努力的方向，逐級而上。而且在向上的努力中，學(xué)生不但調(diào)動著智力，也發(fā)展著情緒、態(tài)度、價值觀，使得學(xué)生在完成作業(yè)的過程中，實現(xiàn)全面的、完整的進步。

課后作業(yè)樣例5：（工業(yè)園區(qū)第二實驗小學(xué)一至六年級）節(jié)水、惜水、愛水，從我做起。（如表3）

表3 一至六年級節(jié)水惜水愛水的作業(yè)任務(wù)

設(shè)計思考：孩子們在日常生活中發(fā)現(xiàn)水龍頭沒有擰緊，水就會一滴一滴往下流，不禁思考：一個沒有擰緊的水龍頭一分鐘會浪費多少滴水呢？一天會浪費多少？ 一年會浪費多少？ 一年浪費的水要支付多少錢？ 全國14 億人呢？ 帶著這樣的疑問，孩子們在家長的幫助下用數(shù)學(xué)實驗的方法解開謎團，通過互聯(lián)網(wǎng)，參觀自來水廠取水口、清水池、濾池，再設(shè)計3D 模型、組裝過濾式凈水器……作業(yè)的逐步完成，同學(xué)們不僅可以收獲數(shù)學(xué)知識，也初步體驗數(shù)學(xué)的嚴謹性與廣泛的應(yīng)用性，真實地理解水資源的寶貴和珍惜、保護水資源的必要。作業(yè)的最終完成，既發(fā)展了大腦，用智力挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)困難；也發(fā)展了心靈，用善與真挑戰(zhàn)不端舉止。

設(shè)計啟示： 樣例5 以主題為載體進行超級鏈接，將相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容串成鏈、織成網(wǎng)，由線到面再到體地編織學(xué)生自己的數(shù)學(xué)系統(tǒng)和經(jīng)驗系統(tǒng)，不斷地促使學(xué)生對生活現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)思考，而且這一思考就是六年，伴隨著學(xué)生整個小學(xué)階段，學(xué)生每年都會研究同一主題，每年又都超越往年，思考的廣度、深度都在增加。的確，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要“快思”，需要快速得出正確答案，也反映著思維的敏捷性；但數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也需要“慢想”，學(xué)生經(jīng)歷了困頓、失敗，有時還伴隨著放棄、不甘心、從頭再來，會幫助學(xué)生在迎接新的陌生數(shù)學(xué)任務(wù)的時候，有從容的心態(tài)，有多種嘗試的可能性。

三、價值追問

數(shù)學(xué)課后作業(yè)到底能給學(xué)生帶來什么？在反思皮亞杰、弗賴登塔爾的觀點，以至與他們關(guān)系密切的建構(gòu)主義、再創(chuàng)造、格式塔等學(xué)習(xí)理論，對課后作業(yè)的指導(dǎo)性、預(yù)見性外，也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)作業(yè)恰好注釋著這些理論。換句話說，我們的作業(yè)實踐檢驗著理論的真?zhèn)?，我們的實踐作業(yè)豐富著理論的內(nèi)涵。為此，可以消弭二元對立的聲音，因為作業(yè)讓學(xué)生真實發(fā)展著，作業(yè)開拓了育人的路徑。

（一）理性的典范

為什么結(jié)論是正確的？ 為什么得到這樣的結(jié)果？ 為什么數(shù)學(xué)家按照這種方法思考？ 能否進一步抽象概括？還有其他性質(zhì)嗎？在數(shù)學(xué)課堂之外，學(xué)生心中始終存在這些問題，而這些問題，非理性無以回答。更何況，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個連續(xù)的過程，它涉及知識的重組，甚至要與以前的經(jīng)驗和思考方式?jīng)Q裂，而這些也只有通過理性反思才能解決。

如同以上樣例中的問題解決，學(xué)生解題是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)地思考，其經(jīng)歷的頭腦風(fēng)暴和討論，是對建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的回應(yīng)：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是對已有知識的簡單被動接受，而是依據(jù)其已有的知識和思維經(jīng)驗所做的主動建構(gòu)。學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系、空間觀念，更進一步理解了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、階段性、整體性、抽象性，更進一步在數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中積淀理性精神。

（二）文化的力量

完成數(shù)學(xué)作業(yè)是浸潤文化的過程。學(xué)生在真實活動中使用數(shù)學(xué)知識，通過數(shù)學(xué)思考解決各個領(lǐng)域的問題， 這些活動可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)家看待世界的方式。這一過程也許是非形式的，但卻是生動的、逼真的，它既使用課本的范例，也包含了豐富多彩的現(xiàn)實世界問題。

完成數(shù)學(xué)作業(yè)是享受文化的過程。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的或發(fā)明的定理、公式、模型，推理的形式，已然是學(xué)生解決問題的工具，而且在問題解決中，學(xué)生可以再創(chuàng)造出前人的定理、公式、模型，或者對數(shù)學(xué)家共同體提出的概念做另一種解讀，發(fā)出屬于學(xué)生自己的精彩見解。

盡管以上我們用實踐與理論對話的方式談?wù)摿俗鳂I(yè)的優(yōu)點，但并不意味著作業(yè)沒有缺點，我們設(shè)計作業(yè)時要充分認識到這兩點。為了保證對這兩點有足夠的認識，表4 可以作為數(shù)學(xué)課后作業(yè)設(shè)計的量規(guī)對照。

表4 高質(zhì)量數(shù)學(xué)課后作業(yè)設(shè)計的量規(guī)