基于改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)小波變換的橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別

秦世強(qiáng)，唐 劍，馮嘉誠(chéng)

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070)

0 引言

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)包括頻率、阻尼比和模態(tài)振型，是結(jié)構(gòu)最基本的動(dòng)力參數(shù)。對(duì)橋梁健康監(jiān)測(cè)而言，準(zhǔn)確地獲取結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)有著重要意義[1]。結(jié)構(gòu)振動(dòng)產(chǎn)生的信號(hào)一般都是非平穩(wěn)信號(hào)，目前處理非平穩(wěn)信號(hào)的方法主要有短時(shí)傅里葉變換、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)、小波變換、經(jīng)驗(yàn)小波變換(Empirical Wavelet Transform, EWT)等。其中，短時(shí)傅里葉變換能分析非平穩(wěn)信號(hào)，但是窗函數(shù)一旦選擇就固定，這使得短時(shí)傅里葉變換時(shí)頻分辨率受海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理的限制[2]；小波變換通過(guò)設(shè)置不同的尺度因子和平移因子對(duì)小波函數(shù)進(jìn)行伸縮和平移，構(gòu)建出具有不同分辨率的小波濾波器組，從而使小波變換具有多分辨率的特性，因此小波變換可以由粗及細(xì)地逐步分析信號(hào)，然而，小波變換需要人為設(shè)置小波基，因此缺乏自適應(yīng)性[3]；經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解能夠自適應(yīng)地將信號(hào)分解為若干個(gè)單頻率成分的信號(hào)分量，結(jié)合Hilbert變換可獲得信號(hào)的時(shí)頻分布，然而，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法存在欠包絡(luò)、過(guò)包絡(luò)、模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)、沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摫尘暗葐?wèn)題[4]。經(jīng)驗(yàn)小波變換是Gilles[5]在2013年提出的一種新的自適應(yīng)信號(hào)處理方法，該方法通過(guò)對(duì)頻譜進(jìn)行自適應(yīng)地劃分，并建立一組小波濾波器組，對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，將信號(hào)分解為一系列具有特定頻帶的本征模態(tài)函數(shù)。EWT兼顧小波變換的理論背景和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的自適應(yīng)性，因此在處理平穩(wěn)和非平穩(wěn)信號(hào)方面具有巨大的優(yōu)勢(shì)。目前，EWT已經(jīng)在機(jī)械、電氣、土木等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。向玲等[6]將EWT應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障診斷，并將EWT與EMD結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明EWT分解得到的故障頻率成分多于EMD，且能避免EMD模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)、計(jì)算量大等缺點(diǎn)，為機(jī)械故障診斷提供一種新思路。Liu等[7]將經(jīng)驗(yàn)小波變換應(yīng)用于地震時(shí)頻分析，利用該方法對(duì)仿真、二維和三維實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了EWT在描述地層特征和構(gòu)造特征方面優(yōu)于傳統(tǒng)小波變換。陳浩等[8]將EWT結(jié)合能量型頻率主成分提取方法提出一種脈沖雷達(dá)實(shí)時(shí)加速度估計(jì)方法，仿真和理論數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明新的方法較之于傳統(tǒng)方法精度更高、計(jì)算速度更快。趙妙穎等[9]將EWT用于變壓器振動(dòng)信號(hào)特征提取，通過(guò)計(jì)算子分量與原始信號(hào)的相關(guān)系數(shù)，并提取相關(guān)度高的分量，該方法能在去除包含較弱特性信息分量的同時(shí)達(dá)到降低維度的目的，有效減少了計(jì)算量。夏雄等[10]利用EWT識(shí)別橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)，通過(guò)仿真信號(hào)和斜拉橋模型試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)驗(yàn)證了EWT對(duì)于信號(hào)分解的有效性和模態(tài)識(shí)別的可行性。

然而，傳統(tǒng)的EWT算法存在很多問(wèn)題，如采用局部極大值、局部極小值的方法進(jìn)行頻譜分割容易受到噪聲的干擾，從而影響信號(hào)分解結(jié)果；對(duì)于擁有共振邊頻帶的信號(hào)在高幅值邊頻帶位置這兩種方法會(huì)過(guò)多的劃分，使得同一個(gè)子分量分解到不同的分量中，而低幅值的邊頻帶得不到劃分，造成頻帶劃分不合理；而采用尺度空間法分解得到的分量過(guò)多，產(chǎn)生了許多虛假的分量，且隨著信號(hào)復(fù)雜度的增長(zhǎng)尺度空間法運(yùn)行時(shí)間將會(huì)變得很長(zhǎng)。針對(duì)EWT以上問(wèn)題，目前的改進(jìn)方法可以分為4類(lèi)；(1)更換抗噪能力強(qiáng)的頻譜代替傅里葉譜進(jìn)行頻譜分割。劉自然等[11]采用閾值修整后的傅里葉譜包絡(luò)曲線來(lái)確定邊界，與傳統(tǒng)EWT相比該改進(jìn)方法更精確地提取與故障相關(guān)的信號(hào)時(shí)頻特征，在低信噪比情況下魯棒性好。Hu Y等[12]提出采用基于順序統(tǒng)計(jì)濾波器的包絡(luò)方法尋找主要頻譜峰值，提出3個(gè)準(zhǔn)則來(lái)篩選有用平頂，以確定EWT所需的邊界。萬(wàn)熹等[13]利用burg算法估算出的自回歸功率譜代替傅里葉譜進(jìn)行頻譜分割，該頻譜對(duì)于高噪聲或低信噪比的數(shù)據(jù)有著高分辨率頻譜估計(jì)。(2)優(yōu)化邊界。Dong S等[14]提出局部窗極大值分割算法確定經(jīng)驗(yàn)小波變換所需要的頻帶邊界，結(jié)合邊界優(yōu)化算法壓縮頻帶帶寬，降低分解后子分量噪聲水平。(3)篩選感興趣的分量。Qiao Z等[15]采用尺度空間法確定EWT的邊界，利用互信息合并相鄰相關(guān)分量，故障信號(hào)分析結(jié)果表明，該方法不僅能有效地減少故障信號(hào)的分量，而且能從復(fù)雜信號(hào)中提取出故障信號(hào)成分。郭輝等[16]采用尺度空間法劃分頻譜，并對(duì)峭度值大于閾值的分量作相關(guān)性分析，合并相關(guān)性高的分量，對(duì)合并后的分量進(jìn)行包絡(luò)分析，提取故障沖擊。(4)對(duì)原始信號(hào)或者分解后的子分量去噪。李政等[17]提出最大相關(guān)峭度解卷積降噪與改進(jìn) EWT相結(jié)合的滾動(dòng)軸承早期故障識(shí)別方法，試驗(yàn)結(jié)果表明新方法能有效降噪、增強(qiáng)信號(hào)中周期性沖擊特征、實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承早期微弱故障的識(shí)別。然而對(duì)于第1類(lèi)改進(jìn)方法同樣還是存在許多的不足，例如采用AR功率譜確定邊界時(shí)AR模型的定階一直是難題，目前的定階方法計(jì)算出來(lái)的階數(shù)并不一定是最佳的模型階次；確定信號(hào)傅里葉包絡(luò)譜時(shí)往往要進(jìn)行多次包絡(luò)才能得到最佳包絡(luò)，最佳包絡(luò)次數(shù)往往是不確定的；采用順序統(tǒng)計(jì)濾波器確定的上包絡(luò)譜改進(jìn)時(shí)，窗口寬度設(shè)定是一個(gè)問(wèn)題，同時(shí)有效平頂?shù)倪x擇較為復(fù)雜；其他頻譜在計(jì)算過(guò)程中同樣存在計(jì)算困難，參數(shù)設(shè)置復(fù)雜等問(wèn)題。為解決上述問(wèn)題，本研究提出一種改進(jìn)的EWT(Improved EWT, IEWT)；IEWT采用在低信噪比的條件下比傅里葉譜更光滑的EWT趨勢(shì)譜進(jìn)行頻譜分割，相比于其他頻譜，EWT趨勢(shì)譜構(gòu)造簡(jiǎn)單，原理與經(jīng)驗(yàn)小波變換相同且不涉及其他理論；同時(shí)，為消除信號(hào)子分量中存在的噪聲，進(jìn)一步引入同步提取變換(Sychroextracting Transform, SET)對(duì)分解的信號(hào)子分量去噪，提高模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度。論文通過(guò)仿真信號(hào)驗(yàn)證IEWT的頻譜劃分效果，并以Dowlinghall橋?yàn)楣こ贪咐?，結(jié)合隨機(jī)減量技術(shù)(Random Decrement Technique, RDT)與Hilbert變換識(shí)別其模態(tài)參數(shù)，考察IEWT識(shí)別模態(tài)參數(shù)的精度及在不同噪聲水平下的魯棒性。

1 經(jīng)驗(yàn)小波變換

1.1 頻譜劃分

EWT通過(guò)對(duì)頻譜進(jìn)行分割，并建立一組小波濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，將信號(hào)分解為一系列具有特定頻帶的本征模態(tài)函數(shù)，因此，頻譜分割是經(jīng)驗(yàn)小波變換的核心步驟，頻譜分割將影響小波分解的精度。首先，對(duì)信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換；然后，將傅里葉譜的頻率范圍規(guī)范化為[0,π]，并檢測(cè)規(guī)范化頻譜中的所有極大值點(diǎn)以及對(duì)應(yīng)的頻率；最后，將所有極大值點(diǎn)進(jìn)行排序，假設(shè)極大值個(gè)數(shù)為M，經(jīng)驗(yàn)小波變換分解的模態(tài)分量數(shù)設(shè)為N，此時(shí)除了0與π兩個(gè)邊界外，還需要確定N-1個(gè)邊界，因此存在以下兩種情況：

情況1：M≥N，此時(shí)該方法搜索到足夠多的極大值，保留前N個(gè)極大值。

情況2：M

通過(guò)對(duì)規(guī)范化的頻譜進(jìn)行頻譜分割，將頻率范圍為[0,π]的頻譜分割為N個(gè)連續(xù)區(qū)間Λn=[ωn-1,ωn](其中n=1，2，…，N且ω0=0，ωN=π))，以ωn為中心，設(shè)置帶寬為2τn的過(guò)渡帶，其中τn=γωn，γ為系數(shù)。頻譜分界如圖1所示。

圖1 頻譜分界示意圖

1.2 濾波器的建立

(1)

(2)

1.3 經(jīng)驗(yàn)小波變換

(3)

(4)

(5)

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)fk(t)定義如下:

(6)

2 改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)小波變換

2.1 經(jīng)驗(yàn)小波變換的缺陷

經(jīng)驗(yàn)小波變換頻譜劃分的常用方法一般為局部極大值法、局部極小值法、尺度空間法。局部極大值法、局部極小值法進(jìn)行頻譜分割容易受到噪聲的干擾，從而影響信號(hào)分解結(jié)果。對(duì)于擁有共振邊頻帶的信號(hào)，在高幅值邊頻帶位置這兩種方法會(huì)過(guò)多地劃分，使得同一個(gè)子分量分解到不同的分量中，造成頻帶破裂；低幅值的邊頻帶得不到劃分，造成頻帶劃分不合理。ε鄰域法需要人工設(shè)置初始邊界，不具有自適應(yīng)性，且最終頻譜分割結(jié)果依賴(lài)設(shè)置的初始邊界，采用局部極大值或者局部極小值設(shè)定初始邊界時(shí)，也存在著兩種方法具有的缺陷。尺度空間法得到的邊界過(guò)多，產(chǎn)生了許多虛假的分量，隨著信號(hào)長(zhǎng)度的增加，尺度空間法運(yùn)行時(shí)間將會(huì)變得很長(zhǎng)。環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)受到環(huán)境噪聲的影響，使得振動(dòng)信號(hào)傅里葉譜存在較多的噪聲干擾。同時(shí)，快速傅里葉變換算法中補(bǔ)0和截0的措施往往會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真和頻譜泄露等問(wèn)題，使得振動(dòng)信號(hào)傅里葉譜具有邊頻帶，即除了在固有頻率處出現(xiàn)頻譜峰值外，與之接近的頻率范圍內(nèi)也具有較大的峰值。為了進(jìn)一步驗(yàn)證經(jīng)典頻譜分割存在的上述問(wèn)題，通過(guò)仿真信號(hào)進(jìn)行數(shù)值算例研究。

(1) 仿真信號(hào) 由16，20，28 Hz這3種頻率分量組成，假定采樣頻率為240 Hz，連續(xù)采樣5 s，通過(guò)在仿真信號(hào)添加高斯白噪聲以降低信噪比，使信噪比SNR達(dá)到-5.98 dB；該信號(hào)的時(shí)程曲線如圖2所示。

圖2 仿真信號(hào)s1(t)時(shí)域圖

(7)

由于仿真信號(hào)s1(t)存在3個(gè)分量，因此，采用局部極大值法進(jìn)行頻譜分割時(shí)，設(shè)置的模態(tài)分量數(shù)N=4。局部極大值法、尺度空間法頻譜分割結(jié)果分別如圖3(a)～(b)所示。從圖3(a)可以看出：當(dāng)在信號(hào)中添加了噪聲時(shí)，傅里葉頻譜圖在20 Hz左右的位置產(chǎn)生了由噪聲分量引起的峰值，其幅值比原信號(hào)中28 Hz的分量大；局部極大值法選取的頻譜峰值并非是28 Hz的分量產(chǎn)生的峰值，而是噪聲分量產(chǎn)生的峰值，因此得到的邊界并沒(méi)有將原信號(hào)的3個(gè)分量分離開(kāi)。從圖3(b)可以看出：尺度空間法成功分離了原信號(hào)的3種頻率成分，但同時(shí)得到過(guò)多的頻率邊界，后續(xù)經(jīng)驗(yàn)小波變換時(shí)，將產(chǎn)生過(guò)多的虛假分量。

圖3 s1(t)傅里葉譜分割

(2) 仿真信號(hào)s2(t)由3個(gè)調(diào)頻-調(diào)幅信號(hào)組成，其中心頻率分別為100，300，500 Hz，調(diào)制的頻率分別為10，15，20 Hz為了使仿真信號(hào)更符合實(shí)際，在信號(hào)中加入均值為0方差為1的高斯白噪聲n(t)。仿真信號(hào)s2(t)的時(shí)程曲線如圖4所示。采樣頻率為2 000 Hz，采樣時(shí)間為1 s。

圖4 仿真信號(hào)s2(t)時(shí)域圖

(8)

由于仿真信號(hào)s2(t)存在3個(gè)分量；采用局部極大值法進(jìn)行頻譜分割時(shí)設(shè)置的模態(tài)分量數(shù)N=6；局部極大值法、尺度空間法的頻譜分割結(jié)果分別如圖5(a)～(b)所示。由于分量1和分量2的頻譜幅值較大，利用局部極大值法進(jìn)行頻譜分割時(shí)，檢測(cè)的邊界都集中在分量1和2中，出現(xiàn)了過(guò)分解現(xiàn)象；分量3的幅值較小導(dǎo)致在檢測(cè)局部極值時(shí)，即使對(duì)含有3個(gè)子分量的信號(hào)設(shè)置分解分量數(shù)N=6，分量3頻譜幅值峰值點(diǎn)都無(wú)法探測(cè)到，致使分量2和分量3未得到分離。尺度空間法雖然能將3個(gè)分量分離開(kāi)且3個(gè)分量也未出現(xiàn)過(guò)分解和混疊的現(xiàn)象，但是在各個(gè)分量間劃分過(guò)多，導(dǎo)致最后分解結(jié)果出現(xiàn)虛假的分量，在分析分解后的分量時(shí)需要人工選擇有用的分量。

圖5 s2(t)傅里葉譜分割

2.2 EWT趨勢(shì)譜

針對(duì)上述問(wèn)題，本研究采用趨勢(shì)譜代替傅里葉譜進(jìn)行頻譜分割，提高頻譜分割精度。具體做法如下：(1)對(duì)信號(hào)的傅里葉譜進(jìn)行快速傅里葉變換。(2)采用局部極大值法或者局部極小值法分割，分解的分量數(shù)設(shè)置為N(N>10)。(3)去除分解后的高頻分量，用剩余的分量(0.5～0.8N)重構(gòu)頻譜。重構(gòu)產(chǎn)生的EWT趨勢(shì)譜與原傅里葉譜具有高度的相似性，與傅里葉譜相比，趨勢(shì)譜在低信噪比和具有邊頻帶的條件下更光滑，因此，采用趨勢(shì)譜代替傅里葉譜進(jìn)行頻譜分割能夠很好地分解染噪信號(hào)和具有邊頻帶的信號(hào)。

采用EWT趨勢(shì)譜s1(t)和s2(t)進(jìn)行頻譜分割，其結(jié)果如圖6(a)～(b)所示。仿真信號(hào)s1(t)的傅里葉譜在20 Hz左右由于噪聲的影響產(chǎn)生了毛刺，采用局部極大值法搜索的邊界會(huì)有偏差，而從圖6 (a)看出EWT趨勢(shì)譜在20 Hz附近很光滑，因此在頻譜分割時(shí)能很好地將3階分量分離。具有邊頻帶的信號(hào)s2(t)的EWT趨勢(shì)譜也很光滑，并且不存在邊頻帶，采用局部極大值法探測(cè)邊界時(shí)，僅設(shè)置N=4就可以將3個(gè)子分量完整分離開(kāi)來(lái)，而利用傅里葉譜結(jié)合局部極大值法確定邊界設(shè)置分量數(shù)N=6在分量2和分量3之間仍未探測(cè)到邊界。

圖6 s1(t)和s2(t) EWT趨勢(shì)譜分割

上述仿真信號(hào)的研究結(jié)果表明：相較于傅里葉譜，采用EWT趨勢(shì)譜來(lái)確定經(jīng)驗(yàn)小波變換的邊界精度更高，在低信噪比的條件下也表現(xiàn)良好，并且能避免邊頻帶對(duì)頻譜劃分的干擾。

3 基于改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)小波變換的橋梁模態(tài)識(shí)別

3.1 信號(hào)子分量去噪

使用EWT趨勢(shì)譜代替傅里葉譜進(jìn)行頻譜分割，可以減少噪聲和其他干擾對(duì)頻譜分割的影響，但是這種方法并沒(méi)有去除原始信號(hào)中的噪聲。信號(hào)分解后的各個(gè)子分量中仍然存在噪聲和部分的混疊，這影響著模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果。為此，論文引入同步提取變換[18]進(jìn)一步處理單分量信號(hào)，以降低噪聲和混疊對(duì)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的影響。同步提取變換僅保留時(shí)頻脊位置的時(shí)頻系數(shù)，其余位置時(shí)頻系數(shù)置0，以達(dá)到去除噪聲、提高信號(hào)信噪比的目的。離散的多分量信號(hào)表達(dá)式為s(t)=Ae-iω0t，式中，A為幅值；i為虛數(shù)單位；ω0為固有頻率；對(duì)該信號(hào)做短時(shí)傅里葉變換可獲得信號(hào)的時(shí)頻譜G(t,ω)，即：

(9)

T(t,ω)=Ge(t,ω)δ(ω-ω0(t,ω))，

(10)

(11)

式中，Aj(t)，φj(t)分別為第j階信號(hào)分量的幅值函數(shù)和相位函數(shù)；m為信號(hào)的分量數(shù)。通過(guò)新的時(shí)頻譜可獲得各階分量的時(shí)頻脊，進(jìn)而利用時(shí)頻脊將原始信號(hào)所包含的子分量重建出來(lái)。該信號(hào)可以重構(gòu)為：

(12)

3.2 隨機(jī)減量技術(shù)

隨機(jī)減量技術(shù)[20]是一種提取環(huán)境激勵(lì)下結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)自由衰減響應(yīng)的方法。該方法利用平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)平均值為0的特性，對(duì)原始信號(hào)中的確定性分量和隨機(jī)分量進(jìn)行辨別，將確定性分量從原始信號(hào)中分離出來(lái)，得到自由衰減響應(yīng)。

隨機(jī)減量技術(shù)主要通過(guò)選取一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)A去截取該系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)y(t)，可得到一系列不同的交點(diǎn)時(shí)刻ti，對(duì)以ti時(shí)刻后為起點(diǎn)的一系列子振動(dòng)響應(yīng)取統(tǒng)計(jì)平均值，可得到以常數(shù)A為初始振幅的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)x(t)=AD(t)，式中D(t)為幅值為1的自由振動(dòng)響應(yīng)。

3.3 基于Hilbert的模態(tài)參數(shù)識(shí)別

對(duì)由隨機(jī)減量獲得的第j階自由衰減響應(yīng)進(jìn)行Hilbert變換，可獲得幅值曲線Uj和相位曲線θj(t)，即：

(13)

式中，Uj為瞬時(shí)幅值；ξj為阻尼比；ωnj為固有頻率；ωdj為阻尼頻率；αj為初始相位。 對(duì)希爾伯特變換獲得的幅值曲線取對(duì)數(shù)，可以作出幅值對(duì)數(shù)曲線，進(jìn)而擬合幅值對(duì)數(shù)曲線和相位曲線，并且求擬合直線的斜率，可以計(jì)算出第j階頻率ωnj和阻尼比ξj，即：

(14)

對(duì)于第j階模態(tài)，結(jié)構(gòu)上任意兩點(diǎn)p，q振型分量(φjp,φjq)由式(15)決定；其符號(hào)由式(16)決定，當(dāng)相位差為±2mπ時(shí)，兩者同號(hào)；當(dāng)相位差為±(2m+1)π時(shí)，兩者異號(hào)。

|φjp|/|φjq|=e[Ljp(t)-Ljq(t)]，

(15)

(16)

式中，t0為響應(yīng)的任意時(shí)刻；θjp,q為p，q兩點(diǎn)在該時(shí)刻的相位差；Ljp(t)，Ljq(t)分別為p，q兩點(diǎn)幅值對(duì)數(shù)曲線的擬合直線；θjp(t)，θjq(t)為p，q兩點(diǎn)相位曲線的擬合直線。以同一點(diǎn)為參考點(diǎn)可以確定該模態(tài)其他點(diǎn)的振型分量大小和符號(hào)，由此可得第j振型φj。

φj=[φj1,φj2,…,φjn]T。

(17)

3.4 基于IEWT的橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別步驟

以上內(nèi)容介紹了從橋梁振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)中獲取模態(tài)參數(shù)各個(gè)步驟的原理，現(xiàn)將改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)小波變換、同步提取變換、隨機(jī)減量技術(shù)、希爾伯特變換結(jié)合起來(lái)，得到基于改進(jìn)經(jīng)驗(yàn)小波變換的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，整個(gè)操作流程總結(jié)如下：

步驟1：將振動(dòng)信號(hào)x(t)進(jìn)行快速傅里葉變換獲得傅里葉譜。

步驟2：對(duì)傅里葉譜進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)小波變換，采用局部極大值法進(jìn)行分割，分解分量數(shù)為N(N>10)，去除高頻分量，用前0.5～0.8N項(xiàng)低頻子分量進(jìn)行頻譜重構(gòu)。

步驟3：利用重構(gòu)的EWT趨勢(shì)譜，采用局部極大值法進(jìn)行頻譜劃分，并建立濾波器組，對(duì)振動(dòng)信號(hào)x(t)進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)小波變換。

步驟4：對(duì)各個(gè)信號(hào)子分量進(jìn)行同步提取變換去噪。

步驟5：通過(guò)隨機(jī)減量技術(shù)對(duì)去噪后的分量進(jìn)行處理，獲得自由衰減響應(yīng)。

步驟6：將自由衰減響應(yīng)進(jìn)行希爾伯特變換，得到幅值曲線、相位曲線。

步驟7：采用最小二乘法擬合幅值曲線、相位曲線，得到擬合斜率，利用式(14)～(17)，可求得頻率、阻尼比、振型。

基于改進(jìn)EWT的橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別流程如圖7所示。

圖7 基于改進(jìn)EWT的橋梁模態(tài)參數(shù)識(shí)別流程圖

4 工程案例

Dowling Hall橋[21]是兩跨連續(xù)鋼桁架梁橋，橋面板為鋼筋混凝土板。該橋位于美國(guó)Tufts大學(xué)，全長(zhǎng)44 m，寬3.9 m。在2009年4月和6月進(jìn)行了兩組預(yù)試驗(yàn)，結(jié)果表明環(huán)境振動(dòng)條件下水平振動(dòng)比垂直測(cè)試的振動(dòng)幅度小得多，且前6階模態(tài)主要集中于2～20 Hz之間，因此在正式試驗(yàn)只收集各測(cè)點(diǎn)豎向加速度響應(yīng)。自2010年1月5日至2010年5月2日，該橋進(jìn)行了為期17周的持續(xù)監(jiān)測(cè)。Dowling Hall橋上共布置了8個(gè)加速度傳感器，分別為S1,S2, …,S8，各個(gè)傳感器布置如圖8所示。各加速度傳感器只測(cè)試豎向加速度響應(yīng)，在本次監(jiān)測(cè)中，采樣頻率為2 048 Hz，每小時(shí)自動(dòng)采集300 s的數(shù)據(jù)樣本。為了提升計(jì)算效率將測(cè)量數(shù)據(jù)從2 048 Hz重采樣到128 Hz，選擇2010年4月29日15:00時(shí)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)分析。

圖8 加速度傳感器布置(單位：m)

4.1 改進(jìn)方法模態(tài)識(shí)別精度

對(duì)各個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行[4 Hz,15 Hz]帶通濾波去除其中存在的噪聲的干擾。然后對(duì)濾波后的加速度時(shí)程進(jìn)行分析，以1#測(cè)試點(diǎn)為例，濾波后其加速度時(shí)程如圖9所示。

圖9 1#點(diǎn)加速度時(shí)程

首先，對(duì)獲取的EWT趨勢(shì)譜采用局部極大值法檢測(cè)邊界，并建立小波濾波器組，對(duì)加速度響應(yīng)進(jìn)行濾波，得到6階模態(tài)對(duì)應(yīng)的加速度分量；其次，采用隨機(jī)減量技術(shù)處理加速度分量，得到各階模態(tài)的自由衰減響應(yīng)，關(guān)于隨機(jī)減量技術(shù)的參數(shù)設(shè)置，截取的閾值設(shè)為信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差的1.4倍，衰減長(zhǎng)度為5 s。然后，利用希爾伯特變換可以得到各階自由衰減響應(yīng)曲線幅值和相位隨時(shí)間的變化，即瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率；最后，分別對(duì)幅值對(duì)數(shù)曲線和相位曲線進(jìn)行線性擬合，通過(guò)式(14)～(17)計(jì)算頻率、阻尼比和模態(tài)振型。EWT趨勢(shì)譜確定的邊界如圖10所示。原信號(hào)采用尺度空間法頻譜分割如圖11所示。圖12為EWT趨勢(shì)譜經(jīng)驗(yàn)小波變換前2階模態(tài)的自由衰減響應(yīng)、幅值對(duì)數(shù)、相位圖。

圖10 趨勢(shì)譜分割

圖11 尺度空間法頻譜分割

圖12 前兩階模態(tài)自由衰減響應(yīng)、幅值曲線、相位曲線

根據(jù)式(14)～(15)可求得頻率、阻尼比，其結(jié)果如表1所示。各階振型向量由式(16)～(17)計(jì)算得到，用MATLAB擬合各點(diǎn)畫(huà)出的振型圖如圖13所示。對(duì)比圖10和圖11可知：EWT趨勢(shì)譜能夠很好地反映出原傅里葉頻譜的變化趨勢(shì)，兩者的形狀也基本一致，對(duì)EWT趨勢(shì)譜進(jìn)行N=7的局部極大值法頻譜分割，6階分量很好地分離開(kāi)來(lái)；采用尺度空間法確定原傅里葉譜的邊界，雖然也能分離前6階模態(tài)，但是產(chǎn)生了多余的分量，進(jìn)行模態(tài)識(shí)別時(shí)要事先判斷各階分量是否為有效模態(tài)，同時(shí)尺度空間法運(yùn)行的時(shí)間太長(zhǎng)，在很大程度上降低模態(tài)識(shí)別的效率。由表1兩種方法模態(tài)識(shí)別結(jié)果對(duì)比來(lái)看，采用IEWT，IEWT-SET(表示用SET對(duì)IEWT獲得的信號(hào)分量進(jìn)行去噪)、尺度空間法識(shí)別出來(lái)的模態(tài)差別較小，說(shuō)明了改進(jìn)方法在高信噪比的條件下有著良好的模態(tài)識(shí)別能力，識(shí)別出來(lái)的模態(tài)精度較高。在識(shí)別過(guò)程中改進(jìn)算法程序運(yùn)行所需時(shí)間也比尺度空間法少且不需要對(duì)EWT分解的分量進(jìn)行人工篩選。

表1 DowlingHall橋模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖13 Dowling Hall橋前6階振型

4.2 改進(jìn)方法在低信噪比條件下的魯棒性

對(duì)各個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)添加幅值為振動(dòng)信號(hào)最大幅值5%，10%，15%，20%的噪聲以驗(yàn)證改進(jìn)方法在低信噪比條件下的魯棒性。對(duì)加噪后的加速度響應(yīng)頻譜分割，進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)小波變換，對(duì)子分量作用同步提取變換去噪，結(jié)合隨機(jī)減量技術(shù)和Hilbert變換，可識(shí)別不同程度噪聲條件下的模態(tài)參數(shù)，其結(jié)果如表2所示。

表2 Dowling Hall橋加噪后模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果

圖14為1#測(cè)試點(diǎn)在10%的噪聲條件下第6階模態(tài)SET去噪前后自由衰減、幅值對(duì)數(shù)擬合、相位擬合，很顯然去噪前自由衰減響應(yīng)存在著大量噪聲，導(dǎo)致幅值對(duì)數(shù)圖和相位圖產(chǎn)生很大的偏差，而將第6階信號(hào)子分量SET去噪后的自由衰減響應(yīng)曲線線型較為理想，幅值對(duì)數(shù)圖和相位圖擬合效果好。由表2可以看出，采用IEWT和IEWT-SET均能準(zhǔn)確識(shí)別各個(gè)噪聲條件下前4階頻率，誤差較小。主要是因?yàn)樵贓WT分解后前4階分量雖然存在噪聲，但是噪聲強(qiáng)度并不大，采用隨機(jī)減量技術(shù)可以消除部分噪聲對(duì)模態(tài)識(shí)別的影響，因此前4階模態(tài)識(shí)別誤差不大。而噪聲主要分布在高頻區(qū)域，隨著噪聲強(qiáng)度的增加，第5階模態(tài)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)信號(hào)分量噪聲水平增加，而隨機(jī)減量技術(shù)抵消噪聲干擾的能力有限，因此采用IEWT識(shí)別的頻率誤差也逐漸增大。第6階模態(tài)由于頻帶過(guò)寬導(dǎo)致原始信號(hào)加入噪聲對(duì)該模態(tài)對(duì)應(yīng)的信號(hào)子分量信噪比影響很大，使得在加入5%的噪音時(shí)頻率的識(shí)別結(jié)果就產(chǎn)生了較大的偏差，而且隨著噪聲水平的增加這種偏差也越來(lái)越大。而采用IEWT-SET在各種噪聲條件下仍然能準(zhǔn)確識(shí)別第5，6階模態(tài)，即使加入了20%的噪聲，頻率的識(shí)別結(jié)果精度仍能保持較高的精度。

圖14 第6階模態(tài)去噪前后自由衰減、幅值曲線、相位曲線

5 結(jié)論

本研究針對(duì)經(jīng)驗(yàn)小波變換對(duì)于低信噪比和具有邊頻帶信號(hào)分解效果較差的缺陷，提出了一種基于EWT趨勢(shì)譜頻譜分割的改進(jìn)的EWT方法，并結(jié)合SET去噪、RDT和Hilbert變換進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。以?xún)蓚€(gè)典型的仿真信號(hào)驗(yàn)證采用EWT趨勢(shì)譜確定EWT邊界的可行性和有效性，并將該方法應(yīng)用于Dowlinghall橋的模態(tài)參數(shù)識(shí)別驗(yàn)證使用所提方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別的準(zhǔn)確性和魯棒性?？梢缘贸鲆韵陆Y(jié)論：

(1)EWT趨勢(shì)譜能準(zhǔn)確地確定經(jīng)驗(yàn)小波變換所需要的邊界，即使對(duì)于低信噪比和具有邊頻帶的信號(hào)也表現(xiàn)良好。

(2)基于該改進(jìn)方法識(shí)別環(huán)境振動(dòng)條件下的結(jié)構(gòu)頻率、阻尼比、振型是準(zhǔn)確可靠的。該方法能有效地在低信噪比的條件下識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，是一種精度高、魯棒性好的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)。