結(jié)構(gòu)化圖形在幾何單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)中的應(yīng)用探索

馬學(xué)三

一、 研究的緣起

(一)中考幾何復(fù)習(xí)教學(xué)現(xiàn)狀

縱觀目前幾何單元復(fù)習(xí)教學(xué)現(xiàn)狀，教師普遍采用的是以下三種常態(tài)幾何復(fù)習(xí)教學(xué)模式。

模式1：完全按照《復(fù)習(xí)用書》，主要形式是“N+1+X”，先完成“N”個(gè)與本單元相關(guān)的課前測(cè)題目，再梳理“1”張知識(shí)表或知識(shí)圖，最后完成“X”種類型題。

模式2：選擇使用《復(fù)習(xí)用書》，主要形式是“1+X+1”，先回顧梳理“1”張本單元幾何概念、性質(zhì)和判斷知識(shí)圖表，再完成“X”種類型題，最后完成“1”個(gè)綜合拓展問(wèn)題。

模式3：完全自編復(fù)習(xí)教案，主要形式是“1+X”，圍繞“1”個(gè)單元基本圖形設(shè)計(jì)“1”個(gè)典型習(xí)題，通過(guò)變式拓展“X”個(gè)問(wèn)題串，稱為“一題一課”復(fù)習(xí)課型。

第一、二種常規(guī)的幾何復(fù)習(xí)教學(xué)模式，注重幾何知識(shí)和對(duì)應(yīng)問(wèn)題的歸類講解，缺少知識(shí)單元整體深度學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)構(gòu)建，因此學(xué)生忙于刷題，解題能力提升不大，而且不能激發(fā)學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣。第三種幾何復(fù)習(xí)教學(xué)模式，是目前比較認(rèn)可的效率較高的方法，通過(guò)以典型題(圖)促發(fā)單元重點(diǎn)知識(shí)回顧，并通過(guò)變式形成研究的基本結(jié)構(gòu)，這種方式比前面兩種方式效果好，但是也存在典型題(圖)選擇不精準(zhǔn)情況，需要教師課前精心設(shè)計(jì)。

(二)中考幾何答題情況現(xiàn)狀

近幾年的杭州市中考?jí)狠S題都以圓為背景、考查圓內(nèi)直線的基本結(jié)構(gòu)圖形，從學(xué)生的答題情況分析，對(duì)基本結(jié)構(gòu)圖形的認(rèn)識(shí)和分析能力較弱，知識(shí)存儲(chǔ)都是以單一線性為主，特別像2021年的第23題第③小題，有19%左右的學(xué)生不會(huì)做。

(2020年)如圖1，已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF。連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE=PF。②若DF=EF，求∠BAC的度數(shù)。

圖1

(2021年)如圖2，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點(diǎn)G，交BC邊于點(diǎn)F，連接BG。

圖2

①②略。③已知點(diǎn)E在線段AF上(不與點(diǎn)A，點(diǎn)F重合)，點(diǎn)D在線段AE上(不與點(diǎn)A，點(diǎn)E重合)，∠ABD=∠CBE，求證：BG2=GE·GD。

(三)教研室?guī)缀螁卧獜?fù)習(xí)指導(dǎo)建議

1.要重視幾何復(fù)習(xí)素材來(lái)源于教材和真題。

2.要重視幾何知識(shí)單元整體在建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)過(guò)程中，梳理知識(shí)框架體系，通過(guò)典型圖形的主題學(xué)習(xí)，掌握單元核心內(nèi)容并形成較為熟練的學(xué)習(xí)和思維結(jié)構(gòu)。

基于以上背景，以幾何知識(shí)單元典型結(jié)構(gòu)性圖形為復(fù)習(xí)素材和載體，設(shè)計(jì)好鏈?zhǔn)胶铜h(huán)式問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，再對(duì)結(jié)構(gòu)性圖形進(jìn)行變式，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知和思維結(jié)構(gòu)，從而提升幾何復(fù)習(xí)的效果，這是解決當(dāng)前初中幾何單元復(fù)習(xí)效率低的有效途徑，本課題進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)和具體操作實(shí)施的研究。

二、 研究的設(shè)計(jì)

(一)概念的界定

結(jié)構(gòu)化圖形：在幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)中，一種是基于知識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化基本圖形，另一種是基于典型綜合問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化組合圖形。

在幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)中，依托單元結(jié)構(gòu)化基本圖形，整體分層設(shè)計(jì)具有鏈?zhǔn)?環(huán)式的結(jié)構(gòu)化問(wèn)題。

在幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生利用單元結(jié)構(gòu)化基本圖形和問(wèn)題重構(gòu)研究?jī)?nèi)容，建立學(xué)習(xí)路徑。

在幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生用系統(tǒng)思維的方法完整、深刻地研究圖形和問(wèn)題，從而使學(xué)生形成相對(duì)固定的結(jié)構(gòu)化思維。

(二)研究的思路

幾何知識(shí)單元的復(fù)習(xí)，必須在單元教學(xué)觀下進(jìn)行，復(fù)習(xí)課是對(duì)知識(shí)單元的總結(jié)、反思和提升，不僅僅是經(jīng)典題的再回顧，不只是梳理知識(shí)點(diǎn)，而是要讓學(xué)生有新的收獲，幾何單元復(fù)習(xí)課的功能與目標(biāo)應(yīng)是多元的：數(shù)學(xué)知識(shí)的整合與理解、方法策略的建構(gòu)與內(nèi)化、思維能力的形成與提升，不局限于本章節(jié)，而應(yīng)在整個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中，讓學(xué)生感知本章節(jié)的地位與作用，體會(huì)本章節(jié)與前面章節(jié)和后面章節(jié)的聯(lián)系。

(三)研究的路徑

本課題的研究從“一路徑·兩結(jié)構(gòu)”研究幾何知識(shí)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。

一路徑：幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)路徑。

兩結(jié)構(gòu)：結(jié)構(gòu)化圖形和結(jié)構(gòu)化問(wèn)題串。

研究程序如下框圖。

通過(guò)設(shè)計(jì)—實(shí)施—改進(jìn)—再實(shí)施，基本形成幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)教學(xué)模式的研究。

(四)研究的目標(biāo)

1.總體目標(biāo)

通過(guò)本課題的研究，有效提高了幾何單元復(fù)習(xí)的教學(xué)效率，提高了學(xué)生幾何結(jié)構(gòu)化深度學(xué)習(xí)能力，很好地發(fā)展了學(xué)生幾何結(jié)構(gòu)化系統(tǒng)思維。

2.細(xì)化目標(biāo)

(1)通過(guò)本課題研究掌握了幾何知識(shí)單元?jiǎng)澐值幕驹瓌t；(2)通過(guò)本課題研究掌握了幾何知識(shí)單元結(jié)構(gòu)化圖形和問(wèn)題的設(shè)計(jì)能力；(3)通過(guò)本課題研究，學(xué)生基本學(xué)會(huì)了幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)的結(jié)構(gòu)性學(xué)習(xí)路徑；(4)通過(guò)本課題研究，基本形成了幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)及操作模式。

三、 研究的內(nèi)容

(一)幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)課的結(jié)構(gòu)化知識(shí)內(nèi)容設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)性知識(shí)單元的劃分原則：聚焦同一類研究對(duì)象，包含對(duì)象概念、要素、性質(zhì)、判定和運(yùn)用等自成一個(gè)閉環(huán)邏輯體系。本課題劃分原則按照1課時(shí)的知識(shí)單元內(nèi)容。

(二)結(jié)構(gòu)化作圖或問(wèn)題串：幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)課引入階段的設(shè)計(jì)

1.通過(guò)結(jié)構(gòu)化作圖串，重構(gòu)知識(shí)單元結(jié)構(gòu)

根據(jù)劃定知識(shí)單元的內(nèi)容特征，及學(xué)生獲取幾何新知識(shí)的方法，部分幾何單元可以通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化作圖串重構(gòu)知識(shí)單元結(jié)構(gòu)，并形成結(jié)構(gòu)化的基本核心圖形。

在復(fù)習(xí)《直線與圓的位置關(guān)系》單元時(shí)，設(shè)計(jì)如下作圖任務(wù)串。已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4。

①以C為圓心，4為半徑的⊙C與直線AB的位置關(guān)系。

②若直線AB與半徑為r的⊙C相切，求r的值。

③求作圓心在BC邊上的⊙O。

④求作過(guò)點(diǎn)C的⊙O。

⑤求作與直線AB相切的⊙O。

2.通過(guò)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題串，重構(gòu)知識(shí)單元結(jié)構(gòu)

根據(jù)劃定知識(shí)單元的內(nèi)容特征，及學(xué)生獲取幾何新知識(shí)的方法，部分幾何單元可以通過(guò)一個(gè)基本圖形設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題串，重構(gòu)知識(shí)單元結(jié)構(gòu)，并形成結(jié)構(gòu)化的基本核心圖形。

在復(fù)習(xí)《特殊三角形》單元時(shí)，設(shè)計(jì)如下問(wèn)題串。已知，在△ABC中，AB=AC，請(qǐng)回答以下問(wèn)題。

①若兩邊長(zhǎng)分別為2和3，則△ABC的周長(zhǎng)為。

②若∠B=75°，則∠BAC=；若∠BAC=30°，則∠C=。

③若點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，AB=10，BC=12，則AD=；若點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，則DE=；

若CF⊥AB，則CF=；若AP平方∠DAB，則DP=。

④如果AB=13，BD=5，AD=12，則△ABD為三角形。

⑤若點(diǎn)D是BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，DF=BF，則△ADF是三角形。

(三)結(jié)構(gòu)化基本核心圖形：幾何知識(shí)單元復(fù)習(xí)的圖形歸納

羅增儒教授指出，教材是中考命題的基本依據(jù)，教材內(nèi)容是中考復(fù)習(xí)資源的基本來(lái)源。因此根據(jù)劃定的知識(shí)單元，歸納出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)化基本核心圖形是學(xué)生重構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要載體。

1.通過(guò)教材中蘊(yùn)含的概念、性質(zhì)和判定圖形，歸納出結(jié)構(gòu)化基本核心圖形

學(xué)習(xí)九上3.3垂徑定理和3.4圓心角定理時(shí)，總結(jié)出基本圖形，加深直觀理解。(如圖3)

圖3

通過(guò)總結(jié)基本圖形，不僅能夠使學(xué)生知道切線長(zhǎng)定理的內(nèi)容，更能使學(xué)生知道和理解該定理的證明過(guò)程，以及由此基本圖形推導(dǎo)得出的其他結(jié)論。

學(xué)習(xí)九下2.2切線長(zhǎng)定理時(shí)，總結(jié)出基本圖形。(如圖4)

圖4

通過(guò)總結(jié)基本圖形，不僅能夠使學(xué)生知道垂徑定理和圓心角定理的內(nèi)容，同時(shí)也能使學(xué)生對(duì)該定理的推理過(guò)程有直觀顯性的理解載體，由基本圖形構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高學(xué)習(xí)的效率，鍛煉學(xué)生的幾何思維能力。

2.通過(guò)教材例題和習(xí)題中的圖形，歸納出結(jié)構(gòu)化基本核心圖形

在復(fù)習(xí)九上相似三角形單元時(shí)，歸納六種基本圖形。(如圖5)

圖5

通過(guò)總結(jié)歸納六種相似三角形的結(jié)構(gòu)化基本圖形，可以加深學(xué)生對(duì)圖形中邊和角對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解，學(xué)生可以在一些復(fù)雜的相似三角形圖形中快速準(zhǔn)確地找到相似三角形。

利用九上4.5相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用(3)作業(yè)題5：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高線AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上。求加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)。(如圖6)

圖6

這個(gè)基本圖形用到相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高之比等于相似比的性質(zhì)，作為性質(zhì)應(yīng)用的結(jié)構(gòu)化基本核心圖形，涉及的知識(shí)也是相似三角形的重要性質(zhì)，學(xué)生熟練掌握這個(gè)圖形與性質(zhì)，能夠簡(jiǎn)化解決類似幾何問(wèn)題的思考過(guò)程。

利用九下1.3解直角三角形(3)作業(yè)題3：

如圖7，廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A，地面上點(diǎn)B，C，D在一條直線上，BC=20m。點(diǎn)B，C分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°。求氣球A離面的高度AD(精確到0.1m)。

圖7

這個(gè)基本圖形用到解直角三角形和三角函數(shù)知識(shí)，圖中是兩個(gè)含有公共直角邊的直角三角形，圖形比較典型，根據(jù)條件一般不能直接解決其中任意一個(gè)三角形問(wèn)題，只能通過(guò)設(shè)未知數(shù)x的間接方法來(lái)解決問(wèn)題。因此這是一個(gè)圖形和方法都比較典型的問(wèn)題，作為本章一個(gè)重要的結(jié)構(gòu)化基本核心圖形讓學(xué)生積累。

(四)中考復(fù)習(xí)幾何知識(shí)單元的結(jié)構(gòu)化變式問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課很容易變成單純的習(xí)題課，做完一題又開始下一題，題做了不少，其中也不乏好題，但是涉及過(guò)多導(dǎo)致整節(jié)課零散，知識(shí)和技能重復(fù)，不僅效率低下，而且增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，與現(xiàn)在要求的“雙減”相悖，深層次原因是問(wèn)題沒(méi)有體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化層次性，導(dǎo)致學(xué)生沒(méi)有形成學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。本課題從以下但不局限于這幾種方法研究結(jié)構(gòu)性變式問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)。

1.分析和探究中考試題，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化問(wèn)題鏈

如杭州市2019年中考題：

23.如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥BC于點(diǎn)D，連結(jié)OA。

(1)若∠BAC=60°，

②當(dāng)OA=1時(shí)，求△ABC面積的最大值；

(2)點(diǎn)E在線段OA上，OE=OD。連接DE，設(shè)∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED(m，n是正數(shù))。若∠ABC<∠ACB，求證：m-n+2=0。

設(shè)計(jì)如下圖兩種結(jié)構(gòu)化問(wèn)題鏈：

如杭州市2017年中考題：

23.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A，B重合)，點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，射線AO與射線EB交于點(diǎn)F，與⊙O交于點(diǎn)G，設(shè)∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ。

(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù)：

α30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°

猜想：β關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，γ關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明；

(2)若γ=135°，CD=3，△ABE的面積為△ABC的面積的4倍，求⊙O半徑的長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)如下圖結(jié)構(gòu)化問(wèn)題鏈：

2.研究和拓展中考圖形，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化圖形串

如杭州市2020年中考題：

已知AC，BD為⊙O的兩條直徑，連接AB，BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連接EF。連接BF，DF，設(shè)OB與EF交于點(diǎn)P，①求證：PE=PF。②若DF=EF，求∠BAC的度數(shù)。

通過(guò)分析研究，挖掘并拓展基本圖形(圖8)，形成結(jié)構(gòu)化圖形。

圖8

(五)幾何單元復(fù)習(xí)的結(jié)構(gòu)化典型組合圖形設(shè)計(jì)

幾何綜合性問(wèn)題往往隱含不止一個(gè)結(jié)構(gòu)化基本圖形，通過(guò)變式問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，建構(gòu)成結(jié)構(gòu)化典型組合圖形，通過(guò)這方面的學(xué)習(xí)，學(xué)生在建構(gòu)過(guò)程中，不僅經(jīng)歷了組合圖形的產(chǎn)生過(guò)程，也建構(gòu)了復(fù)雜圖形的一般研究路徑，從而促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用結(jié)構(gòu)化圖形解決問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)。

四、 結(jié)語(yǔ)

幾何解題能力是數(shù)學(xué)的基本能力，是形成幾何直觀核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，通過(guò)幾何單元復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐，利用結(jié)構(gòu)化圖形和問(wèn)題，使學(xué)生在形成幾何結(jié)構(gòu)化知識(shí)體系時(shí)，能夠形成基本的結(jié)構(gòu)化研究路徑，并用圖形承載知識(shí)，有效發(fā)展學(xué)生的幾何能力。本研究對(duì)當(dāng)前學(xué)生幾何直觀、幾何解題能力普遍薄弱的現(xiàn)狀有一定的積極作用，筆者將繼續(xù)進(jìn)行后續(xù)跟幾何圖形相關(guān)的教學(xué)研究。