基于屈曲模態(tài)的彈性壓彎構(gòu)件平面內(nèi)二階彎矩計算

范 浩，王 新，董衛(wèi)國，溫四清

(中信建筑設(shè)計研究總院有限公司，湖北，武漢 430014)

壓彎構(gòu)件在軸力和彎矩的共同作用下，其平面內(nèi)彎矩由兩部分組成[1]：一階彎矩，它由外加荷載作用在結(jié)構(gòu)變形前的空間坐標(biāo)產(chǎn)生；二階效應(yīng)彎矩，它由軸力作用于桿件的側(cè)向位移上產(chǎn)生，該側(cè)向位移包含初彎曲和所有荷載(彎矩、剪力、軸力自身)產(chǎn)生的所有側(cè)向變形(彎曲變形、剪切變形)。人們習(xí)慣將軸力作用于側(cè)向位移產(chǎn)生的二階效應(yīng)彎矩分成兩大類：構(gòu)件兩端無相對側(cè)移時的P-δ 效應(yīng)彎矩；構(gòu)件兩端有相對側(cè)移時的P-Δ效應(yīng)彎矩。

對于無側(cè)移構(gòu)件，諸多研究[1-8]都給出了精度很高的計算公式來估計P-δ 效應(yīng)彎矩MII，其基本形式為：

式中：P為構(gòu)件中的軸壓力；Pcr,1為構(gòu)件發(fā)生第一階彈性屈曲時的軸壓力(稱為歐拉荷載)；βmx為各類荷載和邊界條件下的等效彎矩系數(shù)(構(gòu)件的實(shí)際最大二階彎矩與均勻受彎構(gòu)件的最大二階彎矩的比值[1])；MI為構(gòu)件中一階彎矩最大值，這些研究成果也被我國新版鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)采納[9]。

對于規(guī)則框架結(jié)構(gòu)中的有側(cè)移構(gòu)件(特指除框架本身外沒有任何側(cè)向支撐的構(gòu)件)，一般引入一個二階效應(yīng)系數(shù)來計算同一層框架柱的P-Δ效應(yīng)彎矩[3,10-11]，該系數(shù)實(shí)質(zhì)就是軸力在一階側(cè)向變形上產(chǎn)生的二階效應(yīng)彎矩與水平力產(chǎn)生的一階彎矩的比值。若要很好的估計有側(cè)移框架柱在豎向荷載和水平力共同作用下的二階效應(yīng)彎矩MII，需要對無側(cè)移變形彎矩和有側(cè)移變形彎矩乘以不同的放大系數(shù)[12]：

式中：MInt為假定框架沒有側(cè)移時按一階彈性分析所得桿內(nèi)彎矩；MIlt為按一階彈性分析僅由框架側(cè)移引起的桿內(nèi)彎矩；B1為P-δ 彎矩放大系數(shù)(按無側(cè)移情況對應(yīng)的有效長度系數(shù)計算)；B2為P-Δ彎矩放大系數(shù)。由于B1會顯著小于B2，倘若不加區(qū)分MInt和MIlt而將一階分析得到的彎矩MI按照式(1)的形式采用統(tǒng)一放大系數(shù)B2計算有側(cè)移框架壓彎構(gòu)件的二階彎矩，則會得到過于保守的結(jié)果[13]。

對于弱支撐框架結(jié)構(gòu)、空間結(jié)構(gòu)、或者變截面構(gòu)件或(和)變軸力構(gòu)件，這些體系中的壓彎構(gòu)件均超出了傳統(tǒng)構(gòu)件設(shè)計方法——構(gòu)件計算長度結(jié)合等效彎矩系數(shù)、彎矩放大系數(shù)設(shè)計方法的適用范圍，結(jié)構(gòu)工程師只能針對這類結(jié)構(gòu)采用復(fù)雜的直接二階分析方法[14]或是針對某類構(gòu)件進(jìn)行研究并引入諸多修正系數(shù)[15-16]以得到與傳統(tǒng)方法形式(3)和式(4)一致的穩(wěn)定設(shè)計公式[9]。

設(shè)計式(3)和式(4)中的系數(shù)φx(即柱子曲線)則經(jīng)過了理論分析、構(gòu)件試驗(yàn)和數(shù)值分析等各類研究方法的大規(guī)模驗(yàn)證，它全面考慮了構(gòu)件初始缺陷和材料彈塑性的影響，該參數(shù)應(yīng)該作為工程師設(shè)計一般壓彎構(gòu)件在平面內(nèi)的穩(wěn)定性的最基本最重要的依據(jù)。針對一般情形的壓彎構(gòu)件，如果能夠找到簡便、準(zhǔn)確的方法計算出其二階彎矩，則可以將設(shè)計式(3)和式(4)的適用范圍推廣至所有鋼結(jié)構(gòu)體系的壓彎構(gòu)件，從而避免了采用直接二階分析方法時需要直接模擬真實(shí)初始缺陷或等效初始缺陷的繁瑣和錯漏[9,12,17]。

本文將針對一般鋼結(jié)構(gòu)體系中的壓彎構(gòu)件，不論其是否為規(guī)則框架、是否為有/無側(cè)移構(gòu)件，在不進(jìn)行直接二階分析的情況下，基于屈曲模態(tài)分析的方法，獲取壓彎構(gòu)件的平面內(nèi)二階彎矩，然后可借助壓彎構(gòu)件穩(wěn)定設(shè)計式(3)和式(4)進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計。

1 基本方程

考察一個兩端帶有彈簧約束的等截面等軸力作用壓彎構(gòu)件[6,8,18]，如圖1(a)所示，圖1(b)為變形后的構(gòu)件及其支座反力情況，圖1(c)為構(gòu)件的微元段隔離體。本文采用的如圖1(c)下側(cè)所示的空間直角坐標(biāo)系x、y、z，相應(yīng)方向的平動位移分別用u、v、w表示，基于右手法則，如圖1(b)所示，轉(zhuǎn)角、彎矩以逆時針為正，水平力、平動位移以坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎?，軸力則以受壓為正。對圖1(c)上側(cè)的微元段隔離體進(jìn)行平面內(nèi)受力分析，建立x向和繞z軸的平衡方程(因等軸力假定故y向自動滿足平衡條件)：

忽略高階小量可得：

一般情況下，當(dāng)圖1 所示體系在跨內(nèi)有集中水平力或集中彎矩作用時，可在集中荷載作用處分段，對每一段分別給出平衡方程式(7)和式(8)，在分段處應(yīng)滿足位移連續(xù)和力的平衡條件，最后聯(lián)立各分段的平衡方程進(jìn)行求解；本文為了保持形式上的簡單和統(tǒng)一，使得后續(xù)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)簡單有效，采用均布荷載對集中荷載進(jìn)行等效，等效方法如下：當(dāng)跨中y處作用有集中水平力F0(或集中彎矩M0)時，用分布在極小區(qū)間[y-ε/2,y+ε/2]的均布線荷載q=F0/ε(或均布彎矩m=M0/ε 來替代。顯然當(dāng)區(qū)間寬度ε 趨近于0，上述等效方法分析得到的結(jié)果將收斂到集中荷載作用情形，因此，認(rèn)為平衡方程式(7)～式(8)可用來描述等截面等軸力作用的壓彎構(gòu)件在平面內(nèi)的任意受力狀態(tài)。

圖1 端部為彈性約束的壓彎構(gòu)件受力簡圖Fig.1 Force diagram of typical member under combined axial force and bending

2 屈曲模態(tài)求解

對式(8)再進(jìn)行一次微分且令q=0和m=0(表示體系無橫向外荷載作用)，根據(jù)小撓度假定且忽略剪切變形有My=-EIu′′，引入?yún)?shù)k2=P/EI，即可得到該體系的屈曲模態(tài)控制方程[6,8,18]：

當(dāng)式(10)中的常數(shù)均取為0 時，就是體系的零解，對應(yīng)于原始直立的平衡狀態(tài)。結(jié)合式(8)及式(10)～式(13)，可以得到水平力-PC3，求解式(10)中的k 及相應(yīng)4 個常數(shù)C1～C4時，需要用到上、下端共4 個邊界條件：

a)下端水平力，Hy(0)=-PC3=kAu(0)，若kA=+∞(下端無側(cè)移)，u(0)=0；若kA=0(下端無側(cè)向約束)，C3=0；

b)下端彎矩，My(0)=-EIu′′(0)=-rAu′(0)，若rA=+∞(下端無轉(zhuǎn)動)，u′(0)=0；若rA=0(下端無轉(zhuǎn)動約束)，u′′(0)=0；

c)上端水平力，Hy(l)=-PC3=-kBu(l)，若kB=+∞(上端無側(cè)移)，u(l)=0；若kB=0(上端無側(cè)向約束)，C3=0；

d)上端彎矩，My(l)=-EIu′′(l)=rBu′(l)，若rB=+∞(上端無轉(zhuǎn)動)，u′(l)=0；若rB=0(下端無轉(zhuǎn)動約束)，u′′(l)=0。

根據(jù)上述4 類邊界條件可以組合出任意實(shí)際端部邊界條件：鉸接、固定、自由、彈性平動約束、彈性轉(zhuǎn)動約束等。當(dāng)構(gòu)件是作為隔離體取自整體結(jié)構(gòu)時，其邊界約束的等效剛度值kA、kB、rA、rB是可以取負(fù)值的。由構(gòu)件兩端的邊界條件可建立4 個線性方程，方程組存在非零解(即系數(shù)C1～C4不全為0)的條件就是其系數(shù)組成的4 階行列式為0。由式(10)～式(13)可知，該4 階行列式的唯一變量為k，展開后將得到一個包含三角函數(shù)的超越方程，由于三角函數(shù)的周期性質(zhì)，k的解將有無窮多個。將其解按照由小到大依次排列，即可獲得各階模態(tài)的屈曲荷載然后代入原4 階線性方程組，此時實(shí)際獨(dú)立的方程只有3 個，因此，僅可確定第i階屈曲模態(tài)的系數(shù)Ci1～Ci4之間的比值：Ci2/Ci1、Ci3/Ci1、Ci4/Ci1(此處假定Ci1為任意非零實(shí)數(shù))，從而式(10)屈曲模態(tài)可以寫成：

設(shè)ui、uj為體系的任意兩個屈曲模態(tài)，其對應(yīng)的屈曲荷載為ki和kj，滿足0＜ki＜kj，可以證明體系的屈曲模態(tài)滿足如下形式的正交性：

對式(16)左端第一項(xiàng)進(jìn)行兩次分部積分，并對左端第二項(xiàng)進(jìn)行一次分部積分，整理得到：

令式(17)乘以截面的抗彎剛度EI，根據(jù)屈曲模態(tài)的通解表達(dá)式(10)～式(13)并利用水平力等式Hy=-PC3可得：

將式(16)中的屈曲模態(tài)ui、uj交換順序，進(jìn)行同樣的處理可以得到：

由于ki＜kj，可證式(14)成立，從而式(15)也成立。

若體系受到的約束均為理想約束[19]，此時約束力在虛位移上所做的功恒等于零，也即約束既不儲能也不耗能，如鉸接、剛接、自由等，則有成立，此時式(15)可以簡化寫成：

在均勻軸壓力P作用下的等截面理想直桿體系，如圖1 所示，若其各階屈曲模態(tài)已知，則體系的任意位移(豎向位移和側(cè)向位移，不包含平動剛體位移)可以表示為：

相應(yīng)的整個體系的勢能Π 由外力勢能V和內(nèi)力勢能U組成：

將式(23)代入式(24)～式(26)，并利用式(14)～式(15)的正交性，可得：

令總勢能Π 的一階偏導(dǎo)數(shù)均為0，即可得到圖1 所示體系的平衡方程：

式(32)給出的是沿桿軸向的平衡關(guān)系式，式(33)給出的是保持原始理想直立狀態(tài)的平凡解，式(34)給出的是屈曲模態(tài)的非平凡解，對比式(29)可知，取P=Pi即可。

3 構(gòu)件的二階效應(yīng)求解

3.1 理論部分

第2 節(jié)針對圖1 所示體系的屈曲模態(tài)控制方程、模態(tài)解的形式、邊界條件、方程求解、模態(tài)的正交性以及屈曲模態(tài)的穩(wěn)定性進(jìn)行了較為全面的討論，下面將對構(gòu)件平面內(nèi)二階效應(yīng)進(jìn)行探討，與已有文獻(xiàn)方法[1,6,8]不同，本節(jié)將系統(tǒng)介紹采用屈曲模態(tài)分解的求解方法。

將式(8)進(jìn)行整理可得：

令u=u0+uI+Δu，其中u0、uI、u、Δu分別為初始缺陷、外荷載引發(fā)的一階分析位移、二階分析位移和二階效應(yīng)產(chǎn)生的位移增量，代入式(37)整理可得：

式(38)中水平力Hy來源包括橫向外荷載和二階傾覆效應(yīng)產(chǎn)生的水平力ΔHy，令P=0，即得到相應(yīng)的一階分析平衡方程：

式(40)建立起了Δu與u0和uI的關(guān)系，可見u0與uI對于體系的作用幾乎是一致的(不同點(diǎn)在于，初始缺陷u0在一階分析時不會產(chǎn)生內(nèi)力)，二階效應(yīng)均與它們的一階導(dǎo)數(shù)相關(guān)。

對式(40)再進(jìn)行一次微分，則可得到：

式(41)與相應(yīng)的屈曲模態(tài)控制方程式(9)的等號左端形式完全相同，顯然，對于同一體系而言，式(41)的解與式(9)的解都應(yīng)滿足相同的邊界條件。

利用屈曲模態(tài)一階導(dǎo)數(shù)的正交性，可將一階分析位移uI(或初始缺陷u0)的一階導(dǎo)數(shù)唯一的分解成體系屈曲模態(tài)相應(yīng)導(dǎo)數(shù)的形式：

當(dāng)體系的約束滿足理想約束的條件時，屈曲模態(tài)的二階導(dǎo)數(shù)也滿足式(22)的正交關(guān)系，因此，一階分析位移uI(或初始缺陷u0)的二階導(dǎo)數(shù)也可唯一的分解成體系屈曲模態(tài)二階導(dǎo)數(shù)的形式：

求解式(41)時，u0與uI在數(shù)學(xué)上完全等價，為方便描述問題，現(xiàn)令u0≡0，將式(42)代入式(41)：

對式(53)進(jìn)行兩次積分，得到二階效應(yīng)側(cè)移增量的原函數(shù)表達(dá)式：

將體系上、下端共4 個邊界條件代入式(54)即可確定未知系數(shù)A、B、C、D，顯然體系各階屈曲模態(tài)及其線性組合均能滿足體系的邊界條件，因此，式(54)滿足體系邊界條件等價下式滿足邊界條件：

式(55)與體系的屈曲模態(tài)解式(10)的形式完全一致，若式(55)存在非零解，由于k的任意性，則意味著任意軸力值P都是體系的屈曲荷載，這顯然是不可能的。因此，必然有Δug≡0。從而式(50)的全解為：

若令式(41)中uI≡0，且將式(42)和式(43)中的uI替換成u0，則式(56)和式(57)也是有任意初始缺陷u0的二階效應(yīng)級數(shù)解，所不同的是，由于初始缺陷u0本身對應(yīng)的一階彎矩為0，故由初始幾何缺陷u0導(dǎo)致的二階彎矩可以表示為：

3.2 常見體系二階效應(yīng)求解

本節(jié)采用屈曲模態(tài)方法對兩種典型體系的常見荷載工況求解其平面內(nèi)二階彎矩。

3.2.1 兩端鉸接無側(cè)移體系

圖2 給出了一定軸壓力作用下體系的一階彎矩、二階彎矩的精確解[6]以及二階彎矩的級數(shù)解。結(jié)果對比表明：對于均布荷載和跨中集中荷載作用情況，級數(shù)解與精確解高度重合，但對于桿端存在彎矩情況，級數(shù)解的收斂速度明顯變慢，且在端部位置存在震蕩與突變，這是因?yàn)閷τ趦啥算q接體系來說，各階屈曲模態(tài)對應(yīng)的端部彎矩為0，而相應(yīng)的一階彎矩在端部非0，導(dǎo)致級數(shù)解在該端部無法收斂。

圖2 兩端鉸接無側(cè)移體系的二階彎矩計算結(jié)果Fig.2 Second-order in-plane moment of pinned end system by buckling model method

3.2.2 兩端無轉(zhuǎn)動有側(cè)移體系

該類情形的二階位移和二階彎矩的精確理論解為：

上述兩個算例表明：盡管其一階彎矩結(jié)果完全相同，但是屈曲模態(tài)分解法給出的二階彎矩放大系數(shù)完全不一樣。事實(shí)上從式(8)來看，二階效應(yīng)來源于構(gòu)件軸力與其側(cè)移一階導(dǎo)數(shù)的乘積，而與一階彎矩本身并無直接關(guān)系。用一個極端的例子來說明：任意等截面理想直桿，在均勻軸力、相同端彎矩和沿構(gòu)件截面高度的梯度溫度作用下，當(dāng)端彎矩產(chǎn)生的構(gòu)件曲率與梯度溫度產(chǎn)生的構(gòu)件曲率大小相等符號相反時，其一階分析結(jié)果是該構(gòu)件處于均勻受彎狀態(tài)但無任何變形，此理想構(gòu)件的二階效應(yīng)為0，即其二階分析結(jié)果與一階分析結(jié)果完全一致。

針對上述兩種情況，圖3 給出了一定軸壓力作用下體系的一階彎矩、二階彎矩的精確解以及二階彎矩的級數(shù)解。結(jié)果對比表明：對于支座無轉(zhuǎn)動變形的有側(cè)移情況，級數(shù)解與精確解高度吻合，但對于桿端存在初始轉(zhuǎn)角而無側(cè)移的情況，級數(shù)解一直在精確解附近震蕩，并且越靠近構(gòu)件端部震蕩越劇烈，最終在端部發(fā)散，這是由于后者出現(xiàn)了支座轉(zhuǎn)動位移，而體系的各階屈曲模態(tài)端部則嚴(yán)格保持零轉(zhuǎn)角。

圖3 兩端固接有側(cè)移體系的二階彎矩計算結(jié)果Fig.3 Second-order in-plane moment of fixed end with lateral displacement system by buckling model method

從前述算例和級數(shù)解的疊加原理可知，當(dāng)無約束的自由度作用外荷載時，或是完全約束的自由度出現(xiàn)支座位移時，與精確理論解相比，級數(shù)解均存在不小的瑕疵，在極端情況下無法得到具有足夠精度的解甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況；而其余情況下，級數(shù)解的精度雖然足夠，但計算量極大。上述情況嚴(yán)重限制了級數(shù)解在實(shí)際工程中的應(yīng)用，下文試圖尋找一種可兼顧精度和效率的處理方法。

4 屈曲荷載的分布規(guī)律

式(58)表明：各階模態(tài)的二階效應(yīng)放大系數(shù)為1/(1-P/Pcr,i)，它會隨著階數(shù)增加而減小，并逐漸趨近于1.0。如果僅對第一階屈曲模態(tài)的二階效應(yīng)進(jìn)行精確計算，而對高階屈曲模態(tài)采用統(tǒng)一的放大系數(shù)來估計，如若不帶來較大的誤差，則可得到效率和精度兼顧的級數(shù)解的近似解。

為了解高階模態(tài)二階效應(yīng)放大系數(shù)的分布規(guī)律，本節(jié)將對圖1 所示體系進(jìn)行參數(shù)分析?？紤]的參數(shù)包含無側(cè)移情況(kA=kB=+∞)、有側(cè)移情況(kA=+∞且kB=0)、上端轉(zhuǎn)動約束情況(rA=αEI/l)、下端轉(zhuǎn)動約束情況(rB=βEI/l)，α、β 的取值包含0.0、0.1、1.0、10.0、+∞五種情況(上述參數(shù)涵蓋了所有的等效計算長度情形)，分別用α1～α5和β1～β5表示。

采用Midas Gen 2016 對圖1 進(jìn)行有限元建模，不考慮構(gòu)件的剪切變形，進(jìn)行特征值屈曲分析，得到的結(jié)果如圖4～圖5 所示。圖4 給出的是各階屈曲荷載與前一階屈曲荷載比值，隨著端部約束剛度的增加，該比值逐漸減小，端部約束對Pcr,2/Pcr,1的影響巨大，但是隨著階數(shù)增加，端部約束對高階屈曲模態(tài)的Pcr,i+1/Pcr,i的影響越來越小，其比值逐漸均勻的趨近于(i+1)2/i2。圖5 給出的是各階屈曲荷載與第一階屈曲荷載的比值，顯然Pcr,2/Pcr,1最小，隨著階數(shù)的增加，Pcr,i+1/Pcr,1均迅速增加，端部約束剛度越大，該比值增加越慢；兩端固定無側(cè)移體系的Pcr,i+1/Pcr,1取最小值，依次為2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···、+∞。

圖4 軸心受壓構(gòu)件各階屈曲荷載與前一階屈曲荷載比值(Pcr,i+1/Pcr,i)的分布規(guī)律Fig.4 Pcr,i+1/Pcr,i distribution of axial compression member

圖5 軸心受壓構(gòu)件各階屈曲荷載與第一階荷載比值(Pcr,i+1/Pcr,1)的分布規(guī)律Fig.5 Pcr,i+1/Pcr,1 distribution of axial compression member

5 平面內(nèi)二階彎矩估計

第4 節(jié)的參數(shù)分析表明：Pcr,i/Pcr,1會隨著模態(tài)階數(shù)迅速增加，且不小于2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···、+∞，因而當(dāng)2≤i＜j時，有：

式(61)和式(62)僅對第一階屈曲模態(tài)彎矩的二階效應(yīng)進(jìn)行了準(zhǔn)確的計算，而對高階模態(tài)彎矩部分則采用了統(tǒng)一的放大系數(shù)進(jìn)行估算，因此誤差來源于高階模態(tài)彎矩的二階效應(yīng)。采用式(61)和式(62)對3.2 節(jié)中討論的6 種情況進(jìn)行驗(yàn)證，得到的計算結(jié)果如圖6 和圖7 所示。當(dāng)?shù)谝浑A屈曲模態(tài)彎矩占據(jù)主導(dǎo)地位時，如圖6 (a)～圖6(c)和圖7(a)所示，式(62)的結(jié)果與精確解幾乎完全重合；當(dāng)?shù)谝浑A屈曲模態(tài)彎矩為0(如圖6(d))或第一階屈曲模態(tài)彎矩沒有占據(jù)主導(dǎo)地位時(如圖7 (b))，精確解落在式(61)和式(62)之間或附近，在估計二階彎矩的最大值方面，式(62)仍然給出了非常精確的結(jié)果，而式(61)則給出了相對偏大的估計結(jié)果。

圖6 兩端鉸接無側(cè)移體系的二階彎矩估計結(jié)果Fig.6 Etismation of Second-order in-plane moment of pinned end system

圖7 兩端固接有側(cè)移體系的二階彎矩估計結(jié)果Fig.7 Etismation of Second-order in-plane moment of fixed end with lateral displacement system

式(61)和式(62)僅需利用構(gòu)件的第一階屈曲軸力、第一階屈曲模態(tài)和一階分析的彎矩結(jié)果，就可以對其二階彎矩(由外荷載產(chǎn)生，不含初彎曲、初始偏心的影響)進(jìn)行估計，完全克服了式(58)彎矩求解的計算繁復(fù)和結(jié)果發(fā)散的問題。而與傳統(tǒng)方法相比，求解過程不再需要知道構(gòu)件是否有無側(cè)移、不再需要區(qū)分豎向荷載產(chǎn)生的彎矩和水平力產(chǎn)生的彎矩。

盡管前述少數(shù)典型算例表明式(62)具有足夠的估值精度，然而其對高階模態(tài)彎矩會存在偏小估值誤差，如若體系僅作用第二階模態(tài)彎矩時，最大低估誤差為：

式(63)表明：體系承受的軸力越大，式(62)的估值誤差越大，右側(cè)不等式的等號對應(yīng)于兩端固接無側(cè)移體系，當(dāng)P/Pcr,1=0.3時，式(62)會存在15%的估值誤差。

相應(yīng)地，式(61)則對高階模態(tài)彎矩可能會存在偏大估值誤差，若某體系的第k階屈曲荷載滿足Pcr,k/Pcr,1=γ≥2.0，當(dāng)該體系僅作用第k階模態(tài)彎矩時，相應(yīng)地高估誤差達(dá)為：

式(64)表明：體系承受的軸力越大，式(61)的估值誤差越大，右側(cè)不等式的等號對應(yīng)于γ 趨近于無窮大的情形，當(dāng)P/Pcr,1=0.3時，式(61)會存在17.6%的估值誤差。

上述極端情形的誤差分析表明：僅采用式(62)進(jìn)行估值會出現(xiàn)偏不安全的情況，而式(61)也會有估值過高的情形，綜合考慮，本文建議采用如下公式計算構(gòu)件的二階彎矩：

式(66)實(shí)際上接近于式(61)和式(62)兩個界限值的中間值。當(dāng)式(65)和式(66)給出兩個估算值同號或構(gòu)件截面對稱，則取二者的較大絕對值；當(dāng)構(gòu)件截面不對稱且二者異號時，應(yīng)將兩個計算結(jié)果分別進(jìn)行承載力驗(yàn)算。

采用式(65)和式(66)式進(jìn)行二階彎矩估計時，與式(63)和式(64)式相應(yīng)的估值誤差可以改寫為：

利用式(65)和式(66)估計二階彎矩進(jìn)行構(gòu)件設(shè)計時，由于彎矩計算存在誤差ΔMy，相應(yīng)的設(shè)計應(yīng)力比：

式(70)和式(71)表明：利用式(65)和式(66)進(jìn)行構(gòu)件穩(wěn)定承載力驗(yàn)算時，其最大應(yīng)力比誤差可以用P/Pcr,1和ρ 來估計。圖8 給出了式(70)和式(71)不等號最右側(cè)部分的圖像，可見應(yīng)力比誤差為構(gòu)件真實(shí)應(yīng)力比ρ≤1.0 的增函數(shù)，對于任意給定的ρ，應(yīng)力比誤差曲線接近于關(guān)于P/Pcr,1的拋物線，其兩個零點(diǎn)分別為P/Pcr,1=ρ(軸心受壓狀態(tài))和P/Pcr,1=0(純受彎狀態(tài))，且最大高估誤差與最大低估誤差是對稱的。采用式(65)和式(66)計算構(gòu)件的二階彎矩并對其平面內(nèi)穩(wěn)定進(jìn)行驗(yàn)算時，當(dāng)應(yīng)力比按0.9 控制時，應(yīng)力比誤差不會超過0.06；當(dāng)P/Pcr,1不超過0.3 時，應(yīng)力比誤差也不會超過0.05。

圖8 應(yīng)力比誤差ρd-ρ 與P/Pcr,1和ρ 的關(guān)系Fig.8 Error ρd-ρ affected byP/Pcr,1 and ρ

6 第一階模態(tài)系數(shù)最大值

7 與有限元法結(jié)合

接下來討論基于前述方法并借助有限元單元法的一階分析結(jié)果和屈曲模態(tài)分析結(jié)果計算構(gòu)件的平面內(nèi)二階彎矩。以三階純彎梁單元為例，其單元的彎曲變形曲線用三次拋物線來描述：

由單元兩端的幾何邊界條件u(0)=δ1，u′(0)=-δ2，u(l)=δ3，u′(l)=-δ4，得到u=A{δ}，u′=C{δ}，式中{δ}=[ δ1δ2δ3δ4]T，對于同一單元的兩個側(cè)向變形的一階導(dǎo)數(shù)的積求定積分，有：

式(76)即為單元的幾何剛度矩陣[6]，結(jié)合式(75)和式(76)可知，采用有限元方法計算式(43)中的a1僅需對節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行標(biāo)量計算即可：

由a1M1,i=-a1EI(A)′′{δ}1,i計算第i個單元的第1 階屈曲模態(tài)彎矩，其中：

在有限元分析程序中，可以直接利用單元剛度矩陣得到節(jié)點(diǎn)彎矩，然后線性插值得到單元內(nèi)部的第一階模態(tài)彎矩，再利用式(65)和式(66)即可求得相應(yīng)的平面內(nèi)二階彎矩。

如圖9(a)所示，采用Midas Gen 對第3.2.1 節(jié)的兩端鉸接無側(cè)移體系建立有限元模型，柱截面H400×250×10×12，強(qiáng)軸定義為平面內(nèi)，平面內(nèi)抗彎剛度EI=5.57×107N·m2，約束弱軸方向平動自由度，柱高l=10 m，分成10 個單元，柱頂施加軸壓力進(jìn)行屈曲分析得到第一階屈曲模態(tài)為圖9(b)所示(左為平動位移，右為轉(zhuǎn)角位移，余同；需要指出的是，Midas Gen 軟件的轉(zhuǎn)角位移為順時針為正，與本文定義相反)，施加全跨作用均布荷載q=1 kN/m、跨中作用集中荷載Q=10 kN、兩端作用同號相等彎矩MI=1 kN·m、兩端作用異號相等彎矩MI=1 kN·m 進(jìn)行一階分析，得到的位移結(jié)果如圖9(c)～圖9(f)所示。

圖9 有限元分析算例Fig.9 A calculation example by finite element analysis

采用本節(jié)方法分析得到二階彎矩與相應(yīng)的精確解詳圖10，與圖6 相比，本節(jié)方法可以得到精度較高的構(gòu)件平面內(nèi)二階彎矩，由于需要對分段插值函數(shù)求二階導(dǎo)，本節(jié)方法得到的結(jié)果并不連續(xù)(提取結(jié)果時相鄰節(jié)點(diǎn)的結(jié)果取較大值)和光滑。

圖10 兩端鉸接無側(cè)移體系基于有限元方法的二階彎矩估計結(jié)果Fig.10 Estimation of Second-order in-plane moment of pinned end system by finite element method

8 結(jié)論

本文對一般約束條件下的等截面等軸力線彈性壓彎構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)的屈曲模態(tài)和二階彎矩的屈曲模態(tài)級數(shù)解進(jìn)行了深入探討，可以得到以下結(jié)論：

(1)構(gòu)件屈曲模態(tài)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)滿足正交關(guān)系，構(gòu)件的任意平動位移的一階導(dǎo)數(shù)可以唯一的分解成用其屈曲模態(tài)一階導(dǎo)數(shù)的級數(shù)和形式；

(2)基于小撓度假設(shè)和體系的勢能極值和駐值情況，嚴(yán)格論證了體系各類平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性：當(dāng)P＜P1時，體系的直立平衡態(tài)是穩(wěn)定平衡的；當(dāng)P＞P1時，體系的直立平衡態(tài)和高階屈曲模態(tài)均為不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；當(dāng)P=P1時，體系的第一階屈曲模態(tài)是一種隨遇平衡狀態(tài)；

(3)采用屈曲模態(tài)分解的方法，將體系的二階彎矩表示成其屈曲模態(tài)的級數(shù)和形式，各階屈曲模態(tài)對應(yīng)的彎矩放大系數(shù)是其相應(yīng)屈曲荷載的函數(shù)，對幾種常見的情形進(jìn)行了算例分析；

(4)不同約束條件下，各階屈曲荷載與第一階屈服荷載的比值，隨著階數(shù)的增加，Pcr,i/Pcr,1均迅速增加，端部轉(zhuǎn)動約束剛度越大，該比值增加越慢；當(dāng)兩端完全固定時，Pcr,i/Pcr,1取最小值，依次為2.0、4.0、6.0、9.0、12.0、16.0、···；

(5)結(jié)合二階彎矩的屈曲模態(tài)級數(shù)解形式和屈曲荷載的分布規(guī)律，給出了二階彎矩估算方法，該方法僅需已知構(gòu)件的第一階屈曲軸力、第一階屈曲模態(tài)和一階分析的彎矩(由外荷載產(chǎn)生，不含初彎曲、初始偏心的影響)，對幾種常見情形進(jìn)行了算例計算與誤差對比，并對極端情形下的誤差進(jìn)行了分析；

(6)對第一階模態(tài)彎矩系數(shù)和第一階模態(tài)位移系數(shù)的最大值進(jìn)行了推導(dǎo)，明確了二者取極值的條件，算例表明，該值最大為4/π；

(7)基于有限元分析結(jié)果，給出了采用屈曲模態(tài)分解法計算二階彎矩的方法。