利用同構(gòu)法巧解指對共存函數(shù)問題

南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué) (210048) 程 偉

在解決等式或者不等式恒成立、能成立問題時，如果能把等式或者不等式等價變形使其兩側(cè)結(jié)構(gòu)一致，并能夠找到一個函數(shù)模型，使兩邊對應(yīng)同一個函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性來處理問題.此方法叫做同構(gòu)法.在遇見指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)共存的等式或者不等式時，如求方程解或者恒成立問題求參數(shù)范圍以及證明不等式成立時，若采用隱零點(diǎn)代換、參變分離或者直接求導(dǎo)，由于本身結(jié)構(gòu)特征，求導(dǎo)時可能需要多次求導(dǎo)，對學(xué)生能力要求很高且難以避免繁瑣計算，有時甚至很難進(jìn)行下去，若考慮采用同構(gòu)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則能化繁為簡，加快解題速度.同構(gòu)法無疑就是解決指對函數(shù)共存問題的利器.

1、同構(gòu)法在指對共存函數(shù)中應(yīng)用

應(yīng)用一：同構(gòu)法在恒成立或能成立問題中應(yīng)用

總結(jié)：對于aea≥blnb型指對共存，同構(gòu)方式有三種：

(1)同左：aea≥blnb?aea≥lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex；

(2)同右：aea≥blnb?ealnea≥blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx；

(3)取以e為底對數(shù)：aea≥blnb?lna+a≥ln(lnb)+lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

綜合比較三種同構(gòu)方式，取以e為底對數(shù)法構(gòu)造的函數(shù)，單調(diào)性判斷最簡單.但解法二、解法三需要注意定義域.

應(yīng)用二：同構(gòu)法在證明不等式中的應(yīng)用

應(yīng)用三：同構(gòu)法在隱零點(diǎn)中的應(yīng)用

總結(jié)：在隱零點(diǎn)問題中，由于方程不可解，可以考慮等價化成aea=blnb型指對共存，采用同左同構(gòu)方式：aea=blnb?aea=lnbelnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex，從而得出a=lnb，便于代入最終式處理.

應(yīng)用四：同構(gòu)法與切線不等式結(jié)合在求最值中的應(yīng)用

A．a(chǎn)=bB．a(chǎn)

C．a(chǎn)>bD．a(chǎn)，b的大小關(guān)系不確定

總結(jié)：例3、例4給出了對比解法，同構(gòu)和切線不等式放縮結(jié)合具有很強(qiáng)的威力，明顯提升了解題速度.解決此類問題首先運(yùn)用兩個恒等式：a=elna和a=lnea進(jìn)行局部同構(gòu)變形，然后利用兩個常見的切線放縮不等式ex≥x+1和lnx≤x-1.常見模型有：

(1)xnex=ex+nlnx≥x+nlnx+1；

(2)x+nlnx=ln(xnex)≤xnex-1.

2、同構(gòu)法在高考中應(yīng)用

例5 (2020年新高考全國Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

(2)f(x)=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等價于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx.

令g(x)=ex+x,上述不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx),顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

總結(jié)：對于ea±a≥b±lnb型指對共存，同構(gòu)方式有兩種：

(1)同左：ea±a≥b±lnb?ea±a≥elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；

(2)同右：ea±a≥b±lnb?ea±lnea≥b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.