損耗電阻對(duì)RLC串聯(lián)諧振電路品質(zhì)因數(shù)的修正

錢浩媛 王 楠 閆 夙 王 麗

(吉林師范大學(xué)物理學(xué)院 吉林 四平 136000)

RLC串聯(lián)諧振是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)的一個(gè)重要內(nèi)容[1]，其電路由電感L，電容C和電阻R串聯(lián)組成，如圖1所示.諧振時(shí)，容抗和感抗電位相等，電路中的電壓和電流相位相同，電路呈現(xiàn)出電阻性.諧振電路性能的好壞可以用品質(zhì)因數(shù)Q來表示.對(duì)于串聯(lián)諧振，諧振時(shí)L或C的電壓可以被放大為電源電壓的Q倍，所以串聯(lián)諧振也稱為電壓諧振.

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路圖

實(shí)驗(yàn)過程中，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)Q的實(shí)驗(yàn)值總是小于理論值，有時(shí)相對(duì)誤差可以高達(dá)10%以上，從而給學(xué)生帶來一定的困擾，甚至懷疑實(shí)驗(yàn)的正確性.通過對(duì)RLC串聯(lián)諧振電路進(jìn)行分析，這應(yīng)該是由工作在交流狀態(tài)下L和C存在一定的損耗電阻Rs造成的.文獻(xiàn)[2]通過具體的實(shí)驗(yàn)對(duì)電路中的總損耗電阻進(jìn)行了測量，從而對(duì)Q的理論值進(jìn)行了修正，使得相對(duì)誤差降低到4.4%以下.但測量總損耗電阻的實(shí)驗(yàn)相對(duì)復(fù)雜，并且新添加的電阻箱可能帶來新的系統(tǒng)誤差.本論文在沒有改變RLC串聯(lián)電路的基礎(chǔ)上，測量出不同R下Q的實(shí)驗(yàn)值，通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合得到電路中的Rs，從而對(duì)Q的理論值進(jìn)行修正，以此達(dá)到降低實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差的目的.

1 理論

設(shè)電路中L的直流電阻為RL，則Q的理論值為

(1)

考慮電路中Rs的存在后，對(duì)上式進(jìn)行修正，得

(2)

對(duì)式(2)取平方，得

(3)

令y=Q2，x=R+RL，A=Rs和B=C，則有

(4)

2 實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)使用的實(shí)驗(yàn)儀器為交流電路綜合實(shí)驗(yàn)儀DH4505，其中電感L=100 mH時(shí)的直流電阻RL=20 Ω，交流毫伏表的型號(hào)為AS2173D.連接圖1，固定輸出電壓U=1 V，L=100 mH，C= 0.03，0.05，0.10，0.15和0.20 μF，R在50 Ω～400 Ω之間取不同值時(shí)，分別測量出L和C在諧振狀態(tài)下兩端的電壓，即UL和UC，則Q的實(shí)驗(yàn)值為

(5)

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 L=100 mH時(shí)，不同電路的諧振頻率f0和Q實(shí)驗(yàn)

3 結(jié)果和討論

圖2 L=100 mH，C=0.1 μF時(shí)，Q2與R+RL的實(shí)驗(yàn)關(guān)系曲線圖

圖3出了L=100 mH時(shí)，Rs,C和f0的三維立體關(guān)系曲線圖.從圖中可以看到，當(dāng)C從0.03 μF增加到0.2 μF時(shí)，f0從2 907.2 Hz減小到1 126.0 Hz，同時(shí)Rs從19.25 Ω減小到5.36 Ω.在頻率較高的情況下，L中的銅導(dǎo)線由于趨膚效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生較大的附加損耗電阻，所以Rs隨著f0的增大而增大.

圖3 L=100 mH時(shí)，Rs,C和f0的三維立體關(guān)系曲線圖

圖4給出了L=100 mH，C取不同值時(shí)，實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差與R的關(guān)系曲線圖.修正前和修正后的實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差Δ分別為

其中Q修正前和Q修正后分別由式(1)和(2)計(jì)算而得.圖4(a)為C取不同值時(shí)，Δ修正前隨著R的變化曲線.可以看到C=0.03，0.05，0.10和0.15 μF時(shí)，Δ修正前隨著R的增大而減小，R值較小時(shí)實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差較大應(yīng)該是由于Rs不可忽略造成的.例如，當(dāng)C=0.03 μF，R=50 Ω時(shí)，Δ修正前最大，達(dá)到20.5%.而當(dāng)C=0.20 μF時(shí)，Δ修正前隨著R的增大而增大，R值較大時(shí)實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差大應(yīng)該是由于Q值太小，實(shí)驗(yàn)測量不準(zhǔn)確造成的.例如，當(dāng)C=0.20 μF，R=400 Ω時(shí)，Q僅有1.4，說明此時(shí)電路的諧振特性曲線I-f鈍化得非常明顯，造成f0測量的不準(zhǔn)確性，從而使得Δ修正前達(dá)到15.8%.此外，即使按照教材[3]的實(shí)驗(yàn)條件取C=0.05 μF，R=100 Ω，Δ修正前也有10.6%.由此可見，較大的誤差必然給學(xué)生造成困擾.圖4(b)～(f)分別為C=0.03，0.05，0.10，0.15 和0.20 μF時(shí)，Δ修正前和Δ修正后隨著R的變化曲線.可以看到，Δ修正后明顯小于Δ修正前，說明該修正方法是可行的.此外，比較圖4(b)～(f)，在RLC串聯(lián)諧振電路中，C和R的取值對(duì)實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性有很大的影響.綜合考慮，當(dāng)L=100 mH，C取0.05 μF，R在150 Ω～300 Ω之間時(shí)，電路不僅有較高的Q值，而且實(shí)驗(yàn)的相對(duì)誤差較小.

圖4 L=100 mH，C取不同值時(shí)，實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差與R的關(guān)系曲線圖

4 結(jié)論

在測量RLC串聯(lián)諧振電路品質(zhì)因數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，通過數(shù)據(jù)擬合的方法，估算出電路中的損耗電阻，從而對(duì)理論值進(jìn)行修正，有效地減小了實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差.該方法原理簡單，易于操作.此外，通過Origin軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理不僅準(zhǔn)確方便，還會(huì)極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的科研創(chuàng)新能力.