一致分?jǐn)?shù)階微分方程兩點邊值問題解的存在性

吳玉翠, 周文學(xué), 豆 靜

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引 言

分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題是分?jǐn)?shù)階微分方程理論中的一個重要問題,其絕大部分工作均基于Riemann-Liouville 或Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[1-9]. 2014年, Khalil 等[10]提出了一種與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相容的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義, 即一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).此分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)滿足整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì), 但與其他分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)還未完全明確. 由于其在牛頓力學(xué)[11]，量子力學(xué)[12]，任意時間尺度問題[13]，混沌系統(tǒng)[14]，隨機(jī)過程[15]，擴(kuò)散遷移[16-18]等領(lǐng)域的應(yīng)用, 一致分?jǐn)?shù)階微分方程解的定性性質(zhì)自然成為應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的重要課題.

2015年, Batarfi等[19]運用壓縮映射原理得到了一致分?jǐn)?shù)階微分方程三點邊值問題

(2)

解的存在性, 其中 0<α≤1, 0<β≤1,Dα,Dβ為一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

2 預(yù)備知識

定義2.1[10]設(shè)α∈(0,1], 函數(shù)f:[0,∞)→R.則f的α階一致分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

定理2.2[10]設(shè)α∈(0,1], 函數(shù)f和g在(0,∞)上α次可微.則

(i)Dα(af+bg)=aDα(f)+bDα(g),

?a,b∈R;

(ii)Dα(tp)=ptp-α, ?p∈R;

(iii)Dα(λ)=0, ?λ∈R;

(iv)Dα(fg)=fDα(g)+gDα(f);

定義2.3[21]設(shè)α∈(0, 1], 函數(shù)f:[0, ∞)→R.則函數(shù)f的α階一致分?jǐn)?shù)階積分定義為

定理2.4[21]設(shè)α∈(0, 1], 函數(shù)f:[0, ∞)→R連續(xù).則對任意t∈[0,∞)有

DαIα(f)(t)=f(t).

定理2.5[21]設(shè)α∈(0, 1], 函數(shù)f:[0, ∞)→R連續(xù)且α次可微.則對任意t∈[0,∞)有

IαDα(f)(t)=f(t)+c,

其中c為常數(shù).

或

(C2) 存在一個u∈?U和λ∈(0, 1), 使得u=λTu.

引理2.7設(shè)h(t)∈C(0, 1)∩L1(0, 1).則一致分?jǐn)?shù)階微分方程兩點邊值問題

存在解u(t)滿足

(5)

證明 因0<β≤1, 由定理2.5可得

則

因而

Dαu(t)+λu(t)=

類似地, 由α∈(0, 1]可得

u(t)=IαIβh(t)-λIαu(t)+

其中c1∈R. 利用邊值條件u(0)=0可得c1=0.

因此，u(t)滿足

u(t)=IαIβh(t)-λIαu(t)+

即

其中

3 主要結(jié)果

(6)

眾所周知,u是邊值問題 (3) 式的一個解當(dāng)且僅當(dāng)它是算子T的一個不動點.

為了方便, 我們記

定理3.1假設(shè)以下條件成立:

(H1)f:[0, 1]×R→R是給定的連續(xù)函數(shù),λ為正實數(shù);

(H2) 存在正函數(shù)ω(t)∈C[0, 1]和非減函數(shù)φ:[0,∞)→[0, ∞), 使得對任意(t,u)∈[0, 1]×R, 有

|f(t,u)|≤ω(t)φ(‖u‖);

(H3) 存在常數(shù)M>0, 使得

則邊值問題(3) 式在[0,1]上至少有一個解.

證明 由算子T的定義和f(t,u(t))的連續(xù)性容易證明T是連續(xù)的.

首先,T把E中的有界集映為有界集. 對于任意數(shù)h>0, 設(shè)Bh={u∈E:‖u‖≤h}是E中的有界閉球. 則對任意t∈[0, 1], 有

‖ω‖φ(h)(Λ1+Λ3)+λhΛ2.

因此,

‖Tu‖≤‖ω‖φ(h)Λ1+λhΛ2+hΛ3

(7)

下面證明T是等度連續(xù)的.對任意的u∈Bh,t1,t2∈[0, 1],t1

|Tu(t2)-Tu(t1)|≤

即當(dāng)t1→t2時|Tu(t2)-Tu(t1)|→0.由Arzela-Ascoli定理可知,T是相對緊的, 從而T:E→E是一個全連續(xù)算子.

設(shè)u是邊值問題 (3) 式的一個解.則對t∈[0,1], 類似于前面的方法可得

|u(t)|≤‖ω‖φ(h)Λ1+λhΛ2+hΛ3,

即

下面我們利用Leray-Schauder度理論討論邊值問題 (3) 式的解的存在性.

定理3.2假設(shè)條件 (H1) 成立, 并且以下條件也成立:

|f(t,u)|≤η‖u‖+L

(8)

則邊值問題(3) 式在[0,1]上至少有一個解.

Br={u∈E:‖u‖

其中常數(shù)半徑r>0. 由定理3.1的證明知T是全連續(xù)的.則我們可以定義一個連續(xù)映射hγ，

hγ(u)=u-γTu.

由拓?fù)涠鹊耐瑐惒蛔冃钥芍?

deg(hγ,Br,θ)=deg(I-γT,Br,θ)=

deg(h1,Br,θ)=deg(hθ,Br,θ) =

deg(I,Br,θ)=1≠θ,

其中θ∈Br為零元素,I為單位算子. 根據(jù)Leray-Schauder度的可解性, 至少存在一個u∈Br, 使得h1(u)=u-Tu=θ.假設(shè)存在γ∈[0,1], 對 任意t∈[0,1], 有u=γTu.則

|u(t)|=|γ(Tu)(t)|≤

(η‖u‖+L)(Λ1+Λ3)+λ‖u‖Λ2.

所以

‖u‖≤(η‖u‖+L)(Λ1+Λ3)+λ‖u‖Λ2.

因此

(9)

4 例

由題知

‖f(t,u(t))‖=

η‖u‖+L.

故函數(shù)f(t,u)滿足條件 (H1) 和 (H4).由定理3.2知邊值問題在[0, 1]上至少有一個解.