《平方差公式》微課設(shè)計

何書坤

● 特色與亮點

①在生活中學數(shù)學。本微課從學生喜愛的動畫片入手創(chuàng)設(shè)情境，讓學生在問題情境下進行學習，以激發(fā)學生學習的興趣。

②學法思路清晰。在微課設(shè)計時，筆者以新課標理念為指導思想，突出對平方差公式的推導和應(yīng)用，讓學生在參與平方差公式的探究推導、歸納證明、解釋應(yīng)用的過程中進一步發(fā)展代數(shù)推理能力、表達能力等各方面的能力。

③生成思維導圖。本節(jié)微課將平方差公式的學習過程用思維導圖的方式呈現(xiàn)，讓學生清晰了解并記憶知識體系。

④語言風趣幽默。在設(shè)計微課的過程中，重點強化語言的藝術(shù)性及規(guī)范性。

● 制作背景

①隨著新冠疫情的常態(tài)化，學生的學習方式發(fā)生了巨大的變化，如何設(shè)計出能夠滿足學生線上自主學習的相關(guān)配套資源顯得尤為重要。特別是在國家“雙減”工作的推進下，生活化、體驗式的學習走進了學生視野。作為學科教師，筆者所設(shè)計的學習資源也要適應(yīng)新發(fā)展與新要求，既要完成教學目標，也要落實“雙減”工作的總要求。

②從知識體系看，本節(jié)課選自人教版數(shù)學八年級上冊《平方差公式》，學生已經(jīng)學習了有理數(shù)運算、列簡單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減及整式乘法等知識，在學生已經(jīng)掌握了多項式乘法之后，自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法，這是從一般到特殊的認知規(guī)律的典型范例。對本課的學習和研究，不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法，而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數(shù)等內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)，同時也為完全平方公式的學習提供了方法。因此，平方差公式在初中階段的教學中也具有很重要的地位，它是初中階段的第一個公式。

● 設(shè)計思路及內(nèi)容結(jié)構(gòu)

1.設(shè)計思路

①讓學生經(jīng)歷“特例—觀察—猜想—驗證—歸納—用數(shù)學符號表示”這一數(shù)學活動過程，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，進一步發(fā)展學生的符號感、推理能力、歸納能力，同時體會數(shù)學的簡潔美。②讓學生了解平方差公式產(chǎn)生的背景，理解平方差公式的意義，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能靈活運用平方差公式解決問題，在數(shù)學活動中，引導學生觀察、分析公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義，并在練習中對發(fā)生的錯誤做具體分析，加深學生對公式的理解。③通過自主探究與合作交流的學習方式，讓學生經(jīng)歷探索新知、鞏固新知和拓展新知的過程，發(fā)揮學生的主體作用，在增強學生學數(shù)學、用數(shù)學的同時，讓學生在公式的運用中積累解題的經(jīng)驗，體會成功的喜悅。④通過虛擬場景讓學生從生活中學習，在生活中體驗學習數(shù)學的樂趣。

2.內(nèi)容結(jié)構(gòu)

教學目標：會推導平方差公式，并能運用公式進行簡單的運算;在探索平方差公式的過程中，發(fā)展符號感和推理能力，在計算的過程中自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表達，從而體會數(shù)學語言的簡潔美，同時培養(yǎng)分析、綜合、抽象、概括以及運算能力;激發(fā)學習數(shù)學的興趣，鼓勵探索，有意識地培養(yǎng)創(chuàng)新能力，營造文明和諧的學習氛圍。

重點：經(jīng)歷探索平方差公式的全過程，并能運用公式進行簡單的運算。

難點：利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法解釋平方差公式，并靈活、準確應(yīng)用公式計算。

● 教學過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

（多媒體展示問題情境）師：同學們都看過動畫片《喜羊羊與灰太狼》吧？現(xiàn)在，灰太狼注冊了一家租地公司，他把一塊邊長為a米的正方形土地租給村長種植。有一天他對村長說：“我把這塊地的一邊增加4米，另一邊減少4米，再繼續(xù)租給你，你也沒吃虧，你看如何？”村長一聽覺得也有道理，就答應(yīng)了。村長這樣做合算嗎？

設(shè)計意圖：借用學生喜歡的動畫片創(chuàng)設(shè)情境，利用幻燈片動畫吸引學生的眼球。

2.復習回顧，引出新知

（1）多項式乘以多項式的法則。

（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn

（2）計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

①（x+1）（x-1）=;②（m+2）（m-2）=;③（a+3b）（a-3b）=;④（2x+1）（2x-1）=。

設(shè)計意圖：通過對特殊的多項式與多項式相乘的計算，既復習了舊知，又為學習平方差公式做了鋪墊。

3.探索新知，發(fā)現(xiàn)公式

（1）觀察發(fā)現(xiàn)，得出公式。

依照以上四道題的計算回答問題：①式子的左邊具有什么共同特征？②它們的結(jié)果有什么共同特征？③能不能用字母表示你的發(fā)現(xiàn)？

教師提問，學生通過自主探究、合作交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律——式子左邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，右邊是這兩個數(shù)的平方差，并猜想出（a+b）（a-b）=a2-b2。

設(shè)計意圖：在學生已掌握多項式乘法法則的基礎(chǔ)上，探索具有特殊形式的多項式乘法——平方差公式。

（2）數(shù)形結(jié)合，幾何推導。

（運用動畫展示活動探究）在邊長為a的正方形上減去邊長為b的正方形（a>b），求剩余圖形的面積。并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關(guān)系。

①直接用大正方形的面積減去小正方形的面積得出a2-b2。

②可以用拼接的方式得到一個矩形，從而表示為（a+b）（a-b），進而驗證猜想（a+b）（a-b）=a2-b2。

③可以連接兩個小正方形的頂點，得到兩個全等的梯形，求出兩個梯形的面積，加和得出（a+b）（a-b），也能驗證猜想（a+b）（a-b）=a2-b2，從而推導得出平方差公式。

設(shè)計意圖：通過學生小組合作，完成剪拼游戲活動，利用這些圖形面積的相等關(guān)系，進一步從幾何角度驗證平方差公式的正確性，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學生體會到代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系。引導學生學會從多角度、多方面來思考問題。對于任意的a、b，由學生運用多項式乘法計算：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2，驗證公式的正確性。

（3）總結(jié)歸納，文字表達。

師：你能用文字表示所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？（兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差）

設(shè)計意圖：鼓勵學生用自己的語言表述，從而提高學生的語言組織與表達能力。

（4）剖析公式，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

在平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2中，其結(jié)構(gòu)特征為：

①左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項;右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即a2-b2。

②讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數(shù)或式。

設(shè)計意圖：通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性，并通過分析公式的本質(zhì)特征掌握公式。在認清公式的結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應(yīng)手，起到事半功倍的效果。

4.鞏固運用，內(nèi)化新知

A組：直接應(yīng)用。

（1）判斷下列算式能否運用平方差公式計算：①（2x+3a）（2x-3b）;②（x+1）（x-1）;③（-m+n）（-m-n）;④（2p-3x）（2p-3x）。

設(shè)計意圖：學生經(jīng)過思考、討論、交流，進一步熟悉平方差公式的本質(zhì)特征，掌握運用平方差公式必須具備的條件，鞏固平方差公式，進一步體會字母a、b可以代表數(shù)，也可以代表式，加深對字母含義廣泛性的理解。

（2）計算：①（3x+2）（3x-2）;②（b+2a）（2a-b）。

設(shè)計意圖：鞏固平方差公式應(yīng)用，可引導學生用不同的方法計算，以體現(xiàn)學生的創(chuàng)造性。

B組：拓展深化，發(fā)展思維。

（1）計算：①99x（-101）;②（x+2）（x-2）-（x-2）（x+6）。

設(shè)計意圖：把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式，此題體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想和運用逆向思維解決問題;另一題是平方差公式與一般多項式乘法的綜合，注意不能用公式的仍按多項式乘法法則進行計算。

（2）如圖1所示，小明家門前有一塊“L”形的蔬菜園，現(xiàn)在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你幫小明設(shè)計并算出這塊蔬菜園的面積。

設(shè)計意圖：運用平方差公式解決實際問題，設(shè)計此題與平方差公式的幾何意義相吻合，加深學生對平方差公式的理解。

C組：小試牛刀，挑戰(zhàn)自我。

（1）計算：①（2x+y）（2x-y）;②（-3a+b）（-3a-b）;③（m5+7n2）（m5-7n2）。

（2）在下列括號中填上合適的多項式：①（7a+2b）（ ?  ）=49a2-4b2;②（ ? ? ?）（ ? ? ?）=64-m2。

（3）看誰算得快：0.652-0.352。

設(shè)計意圖：設(shè)計此組題旨在從正反兩方面靈活運用平方差公式，由結(jié)果逆向推導算式中的相同項和相反項，關(guān)鍵在于理解公式結(jié)構(gòu)特征，同時鍛煉學生的逆向思維能力，也為后續(xù)的學習做鋪墊。填空題第2題有兩種填法，屬于開放設(shè)計，目的是加強學生對公式結(jié)構(gòu)特征的理解，同時也鍛煉學生的發(fā)散思維。

5.解決導入，聯(lián)系實際

動畫切換到導入，學生利用平方差公式很容易地算出：（a+4）（a-4）=a2-16。土地少了16平方米，看來村長吃虧是因為他不會平方差公式！學好數(shù)學很重要，它可以幫助我們解決生活中的問題。

6.總結(jié)概括，自我評價

師：這節(jié)課你有哪些收獲？還有什么困惑？

設(shè)計意圖：從知識和情感態(tài)度兩個方面加以小結(jié)，使學生對本節(jié)課的知識有一個系統(tǒng)全面的認識。

7.課后作業(yè)（如圖2）

設(shè)計意圖：作業(yè)分層處理有較大的彈性，以滿足多樣化的學習需求。

● 關(guān)鍵技術(shù)處理

本節(jié)微課主要采用PPT演示技術(shù)，并結(jié)合錄播軟件合成技術(shù)完成制作。制作過程中通過對PPT動畫效果的處理和圖形化展示數(shù)學模型的方式，突破教學難點，在微課中設(shè)計出互動效果，引導學生進行探究性學習，教師根據(jù)學生認知規(guī)律利用多媒體技術(shù)，逐步推導出平方差公式。

● 幕前幕后

在設(shè)計本微課時，最初的呈現(xiàn)方式是教學課件，通過課后記錄學生的參與程度與學習過程后發(fā)現(xiàn)，學生在進行多項式乘法運算時常常會出現(xiàn)確定錯某些項符號及漏項等問題。學生學習平方差公式的困難在于對公式的結(jié)構(gòu)特征以及公式中字母的廣泛含義的理解。于是，筆者把教學課件制作成了微課供學生預(yù)習及復習使用。本微課從根本上解決了不同層次學生具有不同的學習需求的問題，方便學生進行高效學習。

附：《平方差公式》微課二維碼