間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線的靜力解法研究

魏鵬云，李 林

(塔里木大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，新疆 阿拉爾 843300)

1 引 言

影響線是結(jié)構(gòu)力學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于梁的內(nèi)力影響線，可以按照荷載是否直接作用在梁上而分為直接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線及間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線，間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線有些教材又稱為結(jié)點(diǎn)承載方式下梁的內(nèi)力影響線[1-3]。許多同學(xué)初學(xué)影響線時(shí)會(huì)感到困惑，尤其是教材里間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線的做法都是采用先給結(jié)論后證明的思想[1-6]，這對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)并不容易從根本上理解，很多同學(xué)只是記住了相關(guān)結(jié)論。

影響線的求解方法主要有靜力法和機(jī)動(dòng)法，本文采用靜力法從3個(gè)不同角度直接求解間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線，這3種求解思路可以加深學(xué)生對(duì)間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線的理解，開(kāi)闊學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考問(wèn)題的能力，也可以幫助教師拓寬間接荷載作用下梁的內(nèi)力影響線的教學(xué)思路。

2 從力的傳遞角度直接求解

圖1所示為一橋梁結(jié)構(gòu)的承載示意圖，荷載直接在縱梁上面移動(dòng)，縱梁兩端支在橫梁上面，橫梁由主梁支撐，則荷載會(huì)通過(guò)橫梁傳遞給主梁，此時(shí)主梁的受力就屬于結(jié)點(diǎn)方式承載或受間接荷載作用。已知縱梁由A1B1、B1C1及C1D1三段組成，現(xiàn)擬求主梁E截面的彎矩ME和剪力FQE的影響線。

圖1 某橋梁結(jié)構(gòu)的承載示意圖

2.1 建立坐標(biāo)系

以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正向。

2.2 求支座反力FRA和FRD

無(wú)論FP=1運(yùn)動(dòng)到縱梁的任何位置x處，將整個(gè)結(jié)構(gòu)整體看成研究對(duì)象，對(duì)D點(diǎn)取矩，則有：

(1)

由式(1)可得：

(2)

對(duì)A點(diǎn)取矩，則有：

(3)

由式(3)可得

(4)

關(guān)于支座反力的求法還可以從力的傳遞角度直接求解得到，具體的求解思路與后述的E截面的彎矩ME和剪力FQE的影響線的求解思路一致，故支座反力不再?gòu)牧Φ膫鬟f角度去求解。

2.3 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)縱梁及主梁的受力情況如圖2所示。

(a) FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)示意圖

(b)縱梁A1B1的反力示意圖圖2 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的內(nèi)力影響線，做出主梁的受力情況，如圖3所示。

圖3 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點(diǎn)截?cái)嗪?，取右部分為隔離體作為研究對(duì)象，如圖4所示。

圖4 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對(duì)E點(diǎn)取矩，則有：

(5)

由式(5)可得：

(6)

列豎向力的平衡方程，則有：

(7)

由式(7)可得：

(8)

2.4 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)，縱梁及主梁的受力情況如圖5所示。

(a)FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)示意圖

(b) 縱梁B1C1的反力示意圖圖5 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的內(nèi)力影響線，做出主梁的受力情況，如圖6所示。

圖6 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點(diǎn)截?cái)嗪?，取右部分為隔離體作為研究對(duì)象，如圖7所示。

圖7 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對(duì)E點(diǎn)取矩，則有：

(9)

由式(9)可得：

(10)

列豎向力的平衡方程，則有：

(11)

由式(11)可得：

(12)

2.5 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)，縱梁及主梁的受力情況如圖8所示。

(a)FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)示意圖

(b) 縱梁C1D1的反力示意圖圖8 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)縱梁和主梁的受力分析圖

為了獲得FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的內(nèi)力影響線，做出主梁的受力情況，如圖9所示。

圖9 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)主梁的受力示意圖

利用截面法，將主梁AD從E點(diǎn)截?cái)嗪?，取右部分隔離體作為研究對(duì)象，如圖10所示。

圖10 DE段隔離體受力示意圖

觀察隔離體，對(duì)E點(diǎn)取矩，則有：

(13)

由式(13)可得：

(14)

列豎向力的平衡方程，則有：

(15)

由式(15)可得：

(16)

2.6 做ME和FQE的影響線

(17)

(18)

由式(17)和式(18)可做ME和FQE的影響線，如圖11、圖12所示。

圖11 ME的影響線

圖12 FQE的影響線

3 將FP=1等效為兩個(gè)桿端集中力的求解方法

單位力FP在每段縱梁上面移動(dòng)時(shí)，可將單位力等效為兩個(gè)作用在縱梁兩端的豎向集中力。依然以圖1所示的某橋梁結(jié)構(gòu)的承載示意圖為例來(lái)說(shuō)明此法的具體操作步驟。關(guān)于坐標(biāo)系以及支座反力FRA和FRD的求法與前面一致，這里不再贅述。接下來(lái)看如何做E截面彎矩ME和剪力FQE的影響線。

3.1 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)P=1可等效為圖13所示。觀察圖13可知，要想求得ME和FQE的表達(dá)式，只需利用截面法從E截面截?cái)?，取左部分或右部分為隔離體，進(jìn)而列平衡方程即可，具體的求解過(guò)程不再贅述。

圖13 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)時(shí)力的等效示意圖

3.2 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)P=1可等效為圖14所示。觀察圖14可知，要想求得ME和FQE的表達(dá)式，只需利用截面法從E截面將縱梁及主梁均截?cái)?，取左部分或右部分作為隔離體，進(jìn)而列平衡方程即可，具體的求解過(guò)程不再贅述。

圖14 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)時(shí)力的等效示意圖

3.3 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)P=1可等效為圖15所示。觀察圖15可知，要想求得ME和FQE的表達(dá)式，只需利用截面法將主梁AD從E截面截?cái)?，取左部分或右部分作為隔離體，進(jìn)而列平衡方程即可，具體的求解過(guò)程不再贅述。

圖15 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)時(shí)力的等效示意圖

3.4 做ME和FQE的影響線

通過(guò)上述計(jì)算分析可知，ME和FQE的影響線就是圖11和圖12，故這里不再重復(fù)。

3.5 與前一種求解方法的對(duì)比說(shuō)明

圖13-圖15所展示的是兩個(gè)集中力作用在縱梁的兩個(gè)端點(diǎn)上，此端點(diǎn)正好是橫梁的位置，相當(dāng)于這兩個(gè)集中力直接作用在主梁上，也就是圖13與圖3、圖14與圖6、圖15與圖9是完全等價(jià)的受力狀態(tài)。那么，在取隔離體求解時(shí)可以不畫(huà)橫梁，也可以畫(huà)上橫梁。以FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)(見(jiàn)圖14)為例，將主梁AD從E點(diǎn)截?cái)嗪笕∮也糠譃楦綦x體，如圖16所示，此隔離體上畫(huà)上了橫梁。觀察圖16，對(duì)E點(diǎn)取矩便可求得ME的表達(dá)式。列豎向力的平衡方程，可得FQE的表達(dá)式。顯然，ME與FQE的表達(dá)式就是式(10)和式(12)的形式，由此也可以說(shuō)明本方法的正確性。

圖16 DE段隔離體受力示意圖

4 直接切斷主梁和縱梁的求解方法

單位力FP=1在每段縱梁上面移動(dòng)時(shí)，為了獲得待求某量值的影響線，可將縱梁和主梁都切斷，此時(shí)縱梁和主梁都會(huì)暴露出來(lái)內(nèi)力，而縱梁的內(nèi)力可以先求出來(lái)作為外荷載，從而再通過(guò)平衡方程求得待求某量值的影響線。依然以圖1所示的某橋梁結(jié)構(gòu)的承載示意圖為例來(lái)說(shuō)明此法的具體操作步驟。關(guān)于坐標(biāo)系以及支座反力FRA和FRD的求法與前文一致，這里不再贅述。接下來(lái)看如何做E截面彎矩ME和剪力FQE的影響線。

為了統(tǒng)一計(jì)算及便于與主梁E截面的彎矩ME和剪力FQE進(jìn)行區(qū)分，將縱梁E1截面的彎矩和剪力分別記為ME1和FQE1。

4.1 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)

FP=1在縱梁A1B1段移動(dòng)的示意圖如圖17所示。利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截?cái)?，取右?cè)為隔離體作為研究對(duì)象，如圖18所示。

圖17 FP=1在縱梁A1B1段運(yùn)動(dòng)的示意圖

圖18 E1E截面以右段隔離體受力示意圖

由于FP=1在縱梁A1B1段移動(dòng)，則縱梁B1C1段及C1D1段無(wú)外荷載作用，故縱梁E1截面處的剪力FQE1和彎矩ME1均為0。因而求ME和FQE時(shí)，可將縱梁E1C1段和C1D1段以及橫梁去掉，此時(shí)隔離體圖18將與圖4完全一致，故這里不再贅述后面的求解。

4.2 FP=1在縱梁B1C1段運(yùn)動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁B1C1段移動(dòng)時(shí)，需要分為FP=1在B1E1段和E1C1段(因?yàn)镕P=1在E1點(diǎn)左側(cè)和右側(cè)時(shí)E1截面的彎矩和剪力的表達(dá)式不一致)。

4.2.1FP=1在縱梁B1E1段移動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁B1E1段移動(dòng)時(shí)，如圖19所示。利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截?cái)啵∮覀?cè)為隔離體作為研究對(duì)象，如圖20所示。

圖19 FP=1在縱梁B1E1段運(yùn)動(dòng)的示意圖

圖20 E1E截面以右段隔離體受力示意圖

縱梁B1C1段E1截面的彎矩ME1和剪力FQE1的求解如下：

將縱梁B1C1段從E1截面處截開(kāi)，取E1C1段隔離體為研究對(duì)象，如圖21所示。

圖21 縱梁E1C1段隔離體受力示意圖

觀察隔離體圖21，對(duì)E1點(diǎn)取矩，則有：

(19)

由式(19)可得：

(20)

列豎向力的平衡方程，則有：

(21)

由式(21)可得：

(22)

由式(20)和式(22)求得ME1和FQE1后，再觀察隔離體圖20，對(duì)E點(diǎn)取矩，則有：

(23)

由式(23)可得：

(24)

列豎向力的平衡方程，則有：

(25)

由式(25)可得：

(26)

4.2.2FP=1在縱梁E1C1段移動(dòng)

當(dāng)FP=1在縱梁E1C1段移動(dòng)時(shí)，利用截面法將縱梁B1C1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截?cái)?，取左?cè)為隔離體作為研究對(duì)象，如圖22、圖23所示。

圖22 FP=1在縱梁E1C1段運(yùn)動(dòng)的示意圖

圖23 E1E截面以左段隔離體受力示意圖

要想獲得FP=1在縱梁E1C1段移動(dòng)時(shí)E截面的彎矩

ME和剪力FQE，可仿照上文的做法：取縱梁的B1C1段或者E1C1段為隔離體，先求得E1截面的彎矩ME1和剪力FQE1，再觀察隔離體(見(jiàn)圖23)，對(duì)E點(diǎn)取矩，獲得E截面彎矩ME的表達(dá)式，見(jiàn)式(27)，列豎向力的平衡方程，可得E截面剪力FQE的表達(dá)式，見(jiàn)式(28)。

(27)

(28)

觀察式(24)和式(27)、式(26)及式(28)，可得：

(29)

(30)

對(duì)比發(fā)現(xiàn)，式(29)和式(10)完全一致，式(30)和(12)完全一致，由此可以說(shuō)明本方法的準(zhǔn)確性。

4.3 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)

FP=1在縱梁C1D1段移動(dòng)的示意圖如圖24所示，利用截面法將縱梁C1D1段和主梁AD分別從E1位置和E位置截?cái)?，取左?cè)為隔離體作為研究對(duì)象，如圖25所示。

圖24 FP=1在縱梁C1D1段運(yùn)動(dòng)的示意圖

由于FP=1在縱梁C1D1段移動(dòng)，則縱梁A1B1段及B1C1段無(wú)外荷載作用，縱梁E1截面處的剪力FQE1和彎矩ME1均為0。因而求ME和FQE時(shí)，可將縱梁A1B1段和B1E1段以及橫梁去掉，然后對(duì)E點(diǎn)取矩，可得到ME的表達(dá)式。列豎向力的平衡方程，可得到FQE的表達(dá)式。ME和FQE的表達(dá)式分別與式(14)和式(16)完全一致，具體求解過(guò)程這里不再贅述。

圖25 E1E截面以左段隔離體受力示意圖

4.4 做ME和FQE的影響線

通過(guò)上述計(jì)算分析可知，ME和FQE的影響線就是圖11和圖12，故這里不再重復(fù)。

5 結(jié) 論

本文以一個(gè)橋梁結(jié)構(gòu)的承載示意圖為例，通過(guò)3種不同的求解思路獲得了非結(jié)點(diǎn)處的主梁某點(diǎn)的彎矩與剪力的影響線。該3種求解思路是對(duì)經(jīng)典教材求解結(jié)點(diǎn)承載方式下梁的內(nèi)力影響線做法的一個(gè)補(bǔ)充和闡釋，可以為老師上課講解和加深學(xué)生的理解提供有價(jià)值的參考。