可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)隨機(jī)共振特性及應(yīng)用研究*

黃玉楊，黃詠梅，林 敏

(中國計(jì)量大學(xué)計(jì)量測試工程學(xué)院，浙江 杭州 310018)

近年來，非線性科學(xué)不斷發(fā)展，隨機(jī)共振理論為強(qiáng)噪聲背景下微弱信號檢測提供了新方法。但是，隨機(jī)共振需要信號、噪聲和系統(tǒng)三者協(xié)同作用才能產(chǎn)生[1]。為了使隨機(jī)共振能更好地應(yīng)用于工程實(shí)際信號處理，人們相繼提出了二次采樣[2]、雙調(diào)制[3]、尺度變換[4]、參數(shù)調(diào)節(jié)[5]等方法，應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障檢測[6]、低濃度氣體檢測[7]、液體成分檢測[8]、圖像增強(qiáng)[9]等領(lǐng)域。

經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)是目前應(yīng)用最為廣泛的勢函數(shù)，針對勢函數(shù)存在的飽和特性，趙文禮等提出了不同類型的分段勢函數(shù)，以雙穩(wěn)勢函數(shù)的勢阱底或勢壘頂位置作為分段點(diǎn)，每段函數(shù)分別采用一次函數(shù)[10-11]、二次函數(shù)[12]、指數(shù)函數(shù)[13]等形式。這些勢函數(shù)通過改變經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)外側(cè)的非線性形式來影響飽和特性和輸出信號的幅值大小。但隨機(jī)共振效應(yīng)的強(qiáng)弱并非由輸出信號的幅值大小決定，而是由系統(tǒng)的非線性與噪聲相互作用產(chǎn)生的輸出信號信噪比大小決定。因此，需要考慮無序的噪聲與勢函數(shù)作用產(chǎn)生的能量聚集，而具有焦點(diǎn)的拋物線型勢函數(shù)則有著能量聚集的特性。

為增強(qiáng)隨機(jī)共振效應(yīng)，提高系統(tǒng)能量聚集能力，構(gòu)建一外側(cè)曲線為拋物線的勢函數(shù)，通過調(diào)節(jié)拋物線焦距，改變系統(tǒng)非線性特性，特別是能量的聚集能力，建立焦距與Kramers 逃逸率和輸出信噪比的解析式，分析了焦距對系統(tǒng)的飽和特性以及隨機(jī)共振效應(yīng)的影響，通過焦距的調(diào)節(jié)可以控制微弱信號和噪聲相互作用，提高系統(tǒng)輸出信噪比。

將該系統(tǒng)用于渦街流量計(jì)信號處理，以輸出信噪比作為衡量指標(biāo)，通過遺傳算法自適應(yīng)調(diào)節(jié)焦距等參數(shù)，提高小流量渦街信號的輸出信噪比，準(zhǔn)確獲取渦街信號頻率。

1 可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)

受到周期信號S(t)與噪聲N(t)作用的雙穩(wěn)系統(tǒng)可以由Langevin 方程描述:

式中，S(t)＝A0cos(2πf0t)為輸入的周期信號，其中A0為信號幅值，f0為信號頻率；N(t)為高斯白噪聲；經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)V(x)如式(2):

式中，a、b為勢函數(shù)的參數(shù)，經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，位置為，分別對應(yīng)兩勢阱底部的位置，勢阱寬度，有一個(gè)不穩(wěn)定點(diǎn)，位置為xn＝0，勢壘高度h＝a2/4b。

當(dāng)x較大時(shí)，勢函數(shù)V(x)中x的四次方項(xiàng)起主要作用，x的微小增加使勢能快速增大。因此在經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)中，當(dāng)輸出信號幅值到達(dá)一定程度時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象。

構(gòu)建可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)U(x)可用式(3)表示，當(dāng)a＝1、b＝1、P＝1 時(shí)，對應(yīng)的曲線如圖1 所示。

圖1 可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)曲線

該勢函數(shù)以經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)兩穩(wěn)定點(diǎn)為分界點(diǎn)，外側(cè)為拋物線，其焦距為P，大小可調(diào)，內(nèi)側(cè)保持原經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)形式，將經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)外側(cè)的勢能與位移之間的四次方關(guān)系轉(zhuǎn)換為二次方關(guān)系。勢函數(shù)外側(cè)對應(yīng)拋物線頂點(diǎn)位置為(0，-a2/4ba4bP)，焦點(diǎn)F位置為(0，P-a2/4b-a4bP)。當(dāng)焦距P分別為1、2、3 時(shí)，對應(yīng)勢函數(shù)曲線如圖2 所示。焦距P增大，拋物線焦點(diǎn)向上移動(dòng)，勢函數(shù)外側(cè)開度增大，焦距P減小，則反之，當(dāng)焦距P過大時(shí)，勢函數(shù)外側(cè)趨于水平，不具有雙穩(wěn)結(jié)構(gòu)?？梢姡{(diào)節(jié)焦距P的大小可直接改變拋物線形狀，從而改變系統(tǒng)的非線性形式，進(jìn)而改變信號、噪聲與系統(tǒng)的協(xié)同作用及能量的聚集。

圖2 不同焦距下可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)勢函數(shù)曲線

2 焦距大小與隨機(jī)共振效應(yīng)

2.1 Kramers 逃逸率

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)間發(fā)生躍遷的速度，即為Kramers 逃逸率R。不同勢函數(shù)的Kramers 逃逸率不同，因此系統(tǒng)對微弱周期信號的響應(yīng)速率不同。Kramers 逃逸率越大，非線性系統(tǒng)能檢測的周期信號頻率范圍越寬[14]。

從右勢阱底部出發(fā)的布朗粒子Kramers 逃逸率如式(4):

積分簡化計(jì)算可得式(5):

同理從左勢阱底部出發(fā)的布朗粒子Kramers 逃逸率如式(6):

積分簡化計(jì)算可得式(7):

因此，可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)的Kramers 逃逸率R如式(8):

由式(8)可知，Kramers 逃逸率與焦距P密切相關(guān)。調(diào)節(jié)勢函數(shù)焦距的大小，可以改變Kramers 逃逸率。

參數(shù)a＝1、b＝1，當(dāng)焦距P＝3，可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)及經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)的Kramers 逃逸率隨噪聲強(qiáng)度變化曲線如圖3 所示，可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers逃逸率明顯大于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)的Kramers 逃逸率，可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)可以更好地與信號、噪聲匹配，擴(kuò)大信號頻率的檢測范圍。

圖3 Kramers 逃逸率隨噪聲強(qiáng)度變化曲線

2.2 輸出信噪比

輸出信噪比SNR 是衡量隨機(jī)共振效應(yīng)的重要參數(shù)。輸出信噪比SNR 計(jì)算式如式(9)所示。

式中，S(ω)為信號的功率譜密度，SN(Ω)為噪聲平均功率，將式(8)代入式(9)中，可得式(10):

當(dāng)信號幅值A(chǔ)0＝0.05，焦距P＝3，可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)及經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)的系統(tǒng)輸出信噪比隨噪聲強(qiáng)度變化曲線如圖4 所示，可見，隨著噪聲強(qiáng)度的變化，系統(tǒng)輸出信噪比呈現(xiàn)明顯的單峰曲線，且可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比明顯大于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比，說明可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)能提高對噪聲無序能量的利用率，將更多的噪聲能量轉(zhuǎn)移至有序的信號中。

圖4 輸出信噪比隨噪聲強(qiáng)度變化理論曲線

當(dāng)信號頻率f0＝0.01 Hz，信號幅值A(chǔ)0＝0.05，噪聲強(qiáng)度D＝0.2，可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出信噪比SNR隨焦距P變化理論及仿真曲線如圖5 所示。理論與仿真曲線趨勢基本一致，隨著焦距P的變化，輸出信噪比呈現(xiàn)先增大后減小的單峰趨勢，表明存在一個(gè)使信噪比值最大的焦距P，能夠有效聚集能量，使非線性系統(tǒng)與信號、噪聲更好地匹配，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的隨機(jī)共振效應(yīng)。

圖5 輸出信噪比SNR 隨焦距P 變化曲線

系統(tǒng)輸出信噪比的理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明，調(diào)節(jié)焦距P的大小能影響系統(tǒng)能量的遷移，且存在最優(yōu)的焦距P使得信噪比達(dá)到最大。

2.3 飽和特性的分析

當(dāng)輸入信號幅值A(chǔ)0分別為0.5，0.75，1.0，1.25，輸入信號頻率f0＝0.01 Hz，噪聲強(qiáng)度D＝0，焦距P＝3時(shí)，不同勢函數(shù)下系統(tǒng)輸出信號時(shí)域圖如圖6 所示。從圖中可以看出，增大輸入信號幅值，對于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)，輸出信號的幅值基本不變，系統(tǒng)出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，而可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)的輸出幅值則隨著輸入的增加而增加，且輸出信號幅值大于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)。

圖6 經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)與可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出信號時(shí)域圖

3 基于遺傳算法的參數(shù)尋優(yōu)及渦街信號處理

隨機(jī)共振效應(yīng)與勢函數(shù)焦距密切相關(guān)，不同焦距具有不同的隨機(jī)共振效應(yīng)，獲取最優(yōu)焦距是隨機(jī)共振能否成功應(yīng)用于工程信號處理的關(guān)鍵。遺傳算法是通過模擬達(dá)爾文進(jìn)化論中優(yōu)勝劣汰的規(guī)則自適應(yīng)搜索最優(yōu)解的方法，可進(jìn)行多參數(shù)尋優(yōu)，因此在應(yīng)用于實(shí)際渦街信號處理中，通過遺傳算法對參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。

3.1 渦街信號特點(diǎn)及信號預(yù)處理

渦街流量計(jì)是近幾年來發(fā)展較快的流量計(jì)之一，大多通過壓電傳感器測量漩渦壓力的周期變化得到管道中流體流速。在工業(yè)現(xiàn)場使用時(shí)，渦街信號容易受現(xiàn)場噪聲干擾，因此輸出信號由周期渦街信號及現(xiàn)場噪聲信號兩部分疊加而成，在小流量測量時(shí)，渦街信號容易被噪聲淹沒。渦街信號頻率f0與管道內(nèi)流體流速Uv成正比[15]，旋渦頻率f0如式(11)所示:

式中，Sr為斯特勞哈爾數(shù)，d為旋渦發(fā)生體迎流面寬度，m為管道系數(shù)，在測量過程中，這些參數(shù)均為常數(shù)。

輸出信號幅值與旋渦升力對應(yīng)，與管道內(nèi)流體流速Uv成二次方關(guān)系，旋渦升力FL如式(12)所示:

式中，CL為渦街流量計(jì)升力系數(shù)，ρ為管道內(nèi)流體密度。

當(dāng)信號和噪聲作用于隨機(jī)共振系統(tǒng)，根據(jù)絕熱近似理論，在小參數(shù)條件下才有可能產(chǎn)生隨機(jī)共振，因此渦街信號直接輸入系統(tǒng)，并不一定與系統(tǒng)參數(shù)匹配，信號輸入系統(tǒng)前需要對信號進(jìn)行預(yù)處理，對頻率進(jìn)行調(diào)制，對幅值進(jìn)行歸一化。

二語學(xué)習(xí)負(fù)動(dòng)機(jī)現(xiàn)象是非英語專業(yè)大學(xué)生群體中較為普遍且難以解決的問題。本研究采用問卷調(diào)查的方式對非英語專業(yè)大學(xué)生的負(fù)動(dòng)機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致動(dòng)機(jī)減弱的影響因素主要與學(xué)習(xí)者、學(xué)習(xí)環(huán)境和社會(huì)因素相關(guān)，在此基礎(chǔ)上還提出了有效的動(dòng)機(jī)自我調(diào)控策略，無論是對二語教師的生態(tài)化教學(xué)還是對二語學(xué)習(xí)者的有效二語學(xué)習(xí)都將起到積極的促進(jìn)作用。

信號頻率調(diào)制如式(13)所示:

式中，S(t)為渦街流量計(jì)輸出信號，信號幅值為A0，N(t)為信號中疊加的噪聲信號，W(t)為調(diào)制信號，fc為調(diào)制信號頻率，信號調(diào)制后得到輸出信號S1、S2及S3，其中S1的信號頻率Δf＝f0-fc，調(diào)制信號頻率fc越接近被檢信號頻率f0，輸入到隨機(jī)共振系統(tǒng)的信號頻率越小，系統(tǒng)越容易產(chǎn)生隨機(jī)共振，S2和S3輸出相比S1非常微弱，可以忽略。

渦街流量計(jì)管道內(nèi)介質(zhì)流速大小不同，信號幅值會(huì)有較大變化，因此信號輸入隨機(jī)共振系統(tǒng)前對渦街信號進(jìn)行歸一化處理，如式(14)所示:

式中，X′為歸一化處理后信號，X為原始渦街信號，Xˉ為原始渦街信號均值，δ為渦街信號標(biāo)準(zhǔn)差。

3.2 遺傳算法檢測步驟

輸出信號信噪比SNR 直接反應(yīng)了隨機(jī)共振的強(qiáng)弱，因此以SNR 作為適應(yīng)度函數(shù)篩選種群中的優(yōu)劣個(gè)體。勢函數(shù)焦距P直接影響系統(tǒng)非線性，選取合適的P可利用更多噪聲能量，轉(zhuǎn)移至輸出信號中，增強(qiáng)輸出信噪比；調(diào)制信號的調(diào)制頻率越接近渦街信號頻率，越容易產(chǎn)生隨機(jī)共振，通過f0＝fc＋Δf，可以得到被檢信號頻率。因此使用遺傳算法對焦距P及調(diào)制信號頻率fc進(jìn)行自適應(yīng)尋優(yōu)。圖7 為遺傳算法自適應(yīng)尋優(yōu)的流程圖。

圖7 遺傳算法尋優(yōu)流程圖

具體步驟如下:

對焦距P及調(diào)制信號頻率fc同時(shí)尋優(yōu)，將兩參數(shù)對應(yīng)的二進(jìn)制編碼組成編碼長度為l的染色體。編碼長度分別設(shè)置為l1、l2，將其轉(zhuǎn)換為{al2＋l1al2＋l1-1…al1al1-1…a2a1}的染色體，待優(yōu)化變量的區(qū)間為[xmin，xmax]，染色體可解碼還原，調(diào)制信號頻率fc的編碼長度設(shè)置為16，焦距P的編碼長度設(shè)置為8；

②種群初始化

隨機(jī)生成染色體，組成確定規(guī)模的初始種群。將種群規(guī)模N設(shè)置為100，進(jìn)化代數(shù)M設(shè)置為40；

③遺傳、交叉與變異

計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度，選擇出優(yōu)良參數(shù)串?dāng)?shù)據(jù)個(gè)體。進(jìn)行染色體交叉及變異。將交叉概率設(shè)置為0.6，變異概率設(shè)置為0.05；

④終止

重復(fù)步驟③，判斷是否達(dá)到終止規(guī)則，若最佳適應(yīng)度在M代沒有明顯變化，則視為收斂，輸出該種群中的最佳染色體，終止搜索，否則繼續(xù)迭代。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

4.1 實(shí)驗(yàn)裝置

搭建渦街流量計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置如圖8 所示，通過工作量器給出標(biāo)準(zhǔn)體積。實(shí)驗(yàn)裝置中渦街流量計(jì)精度為1.0，管道口徑為50 mm，流量計(jì)管道內(nèi)發(fā)生體迎流面寬度為14 mm，該流量計(jì)的量程為60 m3/h，斯特勞哈爾數(shù)經(jīng)實(shí)驗(yàn)標(biāo)定后為0.167 0。

圖8 渦街流量計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖

4.2 數(shù)據(jù)處理與分析

選取小流量渦街信號進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。信號采樣頻率為200 Hz，當(dāng)流量為7.16 m3/h 時(shí)，采集到的渦街信號時(shí)域圖及頻域圖如圖9 所示，圖9(b)中信號功率譜峰值非常微弱。調(diào)制信號頻率fc的搜索范圍設(shè)置為[17，27]Hz，焦距P的搜索范圍設(shè)置為[0，20]，進(jìn)行遺傳算法自適應(yīng)尋優(yōu)，得到最優(yōu)調(diào)制信號頻率fc為18.396 6 Hz，最優(yōu)焦距P為8.870 6，對應(yīng)系統(tǒng)輸出時(shí)域及頻域圖如圖10 所示。從可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出時(shí)域圖中看出，渦街信號產(chǎn)生明顯周期性，從頻域圖中看出，信號的功率譜峰值明顯增強(qiáng)，產(chǎn)生隨機(jī)共振，產(chǎn)生共振時(shí)的差頻Δf＝0.002 3 Hz，該管道內(nèi)流量的信號頻率f0＝fc＋Δf＝18.398 9 Hz，計(jì)算可得流量為7.12 m3/h，誤差為0.70%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，通過可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)共振能準(zhǔn)確獲取渦街信號頻率。

圖9 小流量渦街信號時(shí)域圖及頻域圖

圖10 可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)輸出時(shí)域圖及頻域圖

5 結(jié)論

隨機(jī)共振效應(yīng)與勢函數(shù)形式及其參數(shù)有關(guān)，采用可調(diào)焦距的拋物線代替了經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)兩外側(cè)的曲線，構(gòu)建了一種新的可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)，建立了勢函數(shù)焦距P與系統(tǒng)Kramers 逃逸率和輸出信噪比的近似解析關(guān)系，理論分析與數(shù)值仿真結(jié)果表明，調(diào)節(jié)焦距P可改變系統(tǒng)非線性特性，并且存在最優(yōu)的焦距P能有效聚集能量，使輸出信噪比最大，隨機(jī)共振效應(yīng)最為強(qiáng)烈。與經(jīng)典雙穩(wěn)勢函數(shù)相比，可調(diào)焦雙穩(wěn)勢函數(shù)的隨機(jī)共振效應(yīng)更強(qiáng)。將該系統(tǒng)應(yīng)用于渦街信號處理，通過遺傳算法對勢函數(shù)焦距P等參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，可調(diào)焦雙穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生較強(qiáng)的隨機(jī)共振，能準(zhǔn)確獲得小流量渦街信號頻率，具有較好的工程應(yīng)用前景。