死區(qū)輸入下未知嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)自適應(yīng)約束控制*

宮赤坤， 汝青楊， 袁立鵬

（1. 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

引 言

現(xiàn)實(shí)世界中存在著很多未知系統(tǒng)，這些未知系統(tǒng)給控制器的設(shè)計(jì)帶來了極大的困難.圍繞這類系統(tǒng)，國內(nèi)外眾多學(xué)者研究出自適應(yīng)[1-2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[3-4]、模糊控制[5-7]等理論，并應(yīng)用到了此類系統(tǒng)中.同時(shí)，工業(yè)系統(tǒng)中也廣泛存在著非線性系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)可劃分為嚴(yán)格反饋、純反饋、非嚴(yán)格反饋三種類型.其中，嚴(yán)格反饋系統(tǒng)是非常常見的系統(tǒng)，工業(yè)生產(chǎn)中存在許多嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的模型，如液壓伺服系統(tǒng)[8]、導(dǎo)彈系統(tǒng)[9]等.

實(shí)際生產(chǎn)過程中，由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)物理結(jié)構(gòu)的限制，存在控制輸入的死區(qū)動態(tài)問題，如液壓執(zhí)行器、機(jī)械連接和交流電機(jī)驅(qū)動等系統(tǒng)[10].死區(qū)特性是一種典型的非線性現(xiàn)象，許多學(xué)者對此展開了研究.如文獻(xiàn)[11]利用反步法與固定時(shí)間收斂解決了高階非線性系統(tǒng)死區(qū)輸入的控制問題，但反步法中存在微分爆炸問題.針對這一問題，文獻(xiàn)[12]提出指令濾波反步自適應(yīng)控制，解決了這一問題.

對于非線性系統(tǒng)中的不確定性和復(fù)雜的外界干擾，通常利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)觀測其中無法直接獲得的內(nèi)部動態(tài)[13].ESO 是自抗擾控制技術(shù)(active disturbance rejection control,ADRC)中最關(guān)鍵的部分[14].目前，對于ESO 技術(shù)涌現(xiàn)出大量的研究成果.如文獻(xiàn)[15]利用ESO 對伺服電動缸在外界干擾下進(jìn)行補(bǔ)償控制.文獻(xiàn)[16]利用ESO 與有限時(shí)間控制方法相結(jié)合，使得嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)跟蹤誤差收斂到平衡點(diǎn)的小區(qū)域內(nèi).上述研究成果因其使用的觀測函數(shù)都是非光滑的，可能出現(xiàn)高頻抖振的問題.文獻(xiàn)[17]對ESO 中的非線性函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，保證了原點(diǎn)處不會發(fā)生過沖的現(xiàn)象，但其控制參數(shù)增多，造成了控制器設(shè)計(jì)的復(fù)雜性.

預(yù)設(shè)性能約束控制近些年已成為控制理論研究的熱點(diǎn)問題，這種控制方法可以避免過大的超調(diào)對系統(tǒng)的損害，而且可以約束系統(tǒng)的收斂速度.具有預(yù)設(shè)約束的跟蹤控制是采用規(guī)定的性能函數(shù)將原系統(tǒng)的跟蹤誤差轉(zhuǎn)化為新的誤差系統(tǒng)，并結(jié)合到控制器的設(shè)計(jì)中[18].現(xiàn)有的文獻(xiàn)主要有兩類方法，即漏斗控制和預(yù)設(shè)性能控制.漏斗控制是高增益的時(shí)變控制方法.目前為止，這種方法已被應(yīng)用到了許多實(shí)際問題中.如文獻(xiàn)[19]利用改進(jìn)的漏斗函數(shù)與自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對存在擾動的伺服機(jī)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)償.文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)了漏斗快速非奇異終端滑模面控制器，解決了機(jī)械臂在外部干擾下的高精度跟蹤控制問題.

基于以上討論，針對文獻(xiàn)[8-9]中需要對虛擬控制律的偏導(dǎo)數(shù)解析計(jì)算，文獻(xiàn)[15-16]使用ESO 過程中出現(xiàn)的抖振問題，同時(shí)沒有考慮到實(shí)際系統(tǒng)輸出誤差可能需要約束在一定范圍內(nèi)，文獻(xiàn)[19-20]沒有考慮到實(shí)際系統(tǒng)中可能存在死區(qū)輸入造成控制系統(tǒng)性能惡化的問題，本文提出了基于免疫函數(shù)的自抗擾預(yù)設(shè)漏斗約束自適應(yīng)控制策略.本文主要貢獻(xiàn)如下：針對傳統(tǒng)ESO 觀測過程中出現(xiàn)的抖振問題，引入光滑的免疫函數(shù)設(shè)計(jì)觀測器，從設(shè)計(jì)原理上消除了觀測過程中出現(xiàn)的抖振現(xiàn)象；解決了實(shí)際系統(tǒng)中可能存在死區(qū)輸入的問題，同時(shí)利用漏斗控制技術(shù)將輸出誤差約束在預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)；使用雙曲正切函數(shù)變化速率快這一特性設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制律；控制器設(shè)計(jì)過程中使用指令濾波器，解決了反步法中微分爆炸的問題.

1 預(yù)備知識及問題描述

1.1 系統(tǒng)描述

考慮死區(qū)高階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題，這里給出其系統(tǒng)的一般模型如下：

1.2 免疫函數(shù)

免疫函數(shù)定義如下[23]：

1.3 漏斗約束函數(shù)

漏斗控制不僅將誤差維持在約束的范圍內(nèi)，同時(shí)也消除了超調(diào)這一現(xiàn)象.漏斗約束表達(dá)式如下：

其中N(·)是 時(shí)變增益，p(t)是 尺寸曲線，l(t)是 約束曲線，//e(t)//是 變量e(t)的歐式范數(shù).本文中選用的漏斗函數(shù)[24]如下所示：

其中 β0， β∞和c為 正常數(shù)，滿足條件 β0≥β∞>0.通過使用漏斗約束的控制方法，系統(tǒng)的輸出誤差可被約束在呈指數(shù)衰減的曲線范圍內(nèi).

2 漏斗約束控制器的設(shè)計(jì)

選取Lyapunov 函數(shù)：

3 穩(wěn)定性分析

我們在前文給出控制器設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，對整個(gè)系統(tǒng)的收斂性進(jìn)行整體分析.

選取系統(tǒng)的Lyapunov 函數(shù)如下：

由式(40)可得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號是最終有界的.

4 仿 真 算 例

圖1 閥控液壓缸系統(tǒng)Fig. 1 The schematic diagram of the hydraulic servo system

選取狀態(tài)變量x=[x1,x2,x3]T=[x,x˙,F/m]T，可得其狀態(tài)方程模型為如下形式：

圖2 跟蹤曲線圖Fig. 2 The tracking curve

圖3 輸出誤差曲線圖Fig. 3 The error curve

圖4 f2 和z 22的曲線Fig. 4 Curves of f2 and z22

圖5 f3和 z 32的曲線Fig. 5 Curves of f3 andz32

圖2、3 表明，在系統(tǒng)(41)輸出存在初始誤差時(shí)，線性滑膜控制方法以及本文使用的免疫函數(shù)設(shè)計(jì)的控制器都能達(dá)到跟蹤的效果.但通過比較可以看出，本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠在1 s 內(nèi)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出穩(wěn)定跟蹤預(yù)設(shè)信號，并且最終輸出跟蹤誤差可以收斂在設(shè)定的小區(qū)間( ?0.01,0.01)內(nèi).從表1 中可以看出，本文控制方法誤差波動區(qū)間范圍更小，可以獲得更小的穩(wěn)態(tài)誤差.圖4、5 展示出基于免疫函數(shù)的觀測器與基于ffal函數(shù)的觀測器各自的觀測效果.從圖4、5 可以看出，基于免疫函數(shù)的觀測器收斂速度更快，觀測效果更好，并且基于免疫函數(shù)的觀測器在瞬態(tài)階段出現(xiàn)超調(diào)是由于此觀測器瞬態(tài)收斂所導(dǎo)致，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)進(jìn)行改進(jìn).

表1 兩種不同控制器的誤差分析Table 1 Error analysis for the control effects of 2 different controllers

為進(jìn)一步體現(xiàn)本文所設(shè)計(jì)控制器的抗干擾性，在本文設(shè)計(jì)的輸入信號中加入擾動0 .2randn(1,1)，從而對本文控制系統(tǒng)的抗擾性能進(jìn)行仿真研究，仿真結(jié)果如圖6、7 所示.圖6、7 中加入噪聲作為擾動信號的控制效果與圖2、3 中不加入噪聲的控制效果基本上是相同的，表明本文的控制器設(shè)計(jì)具有良好的抗外界干擾的能力，具有較強(qiáng)的魯棒性.

圖6 加入噪聲擾動跟蹤曲線圖Fig. 6 The tracking curve with noise

5 結(jié) 論

本文研究了一類具有死區(qū)輸入的預(yù)設(shè)約束未知高階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的控制問題，利用光滑免疫函數(shù)設(shè)計(jì)觀測器，解決了系統(tǒng)中未知項(xiàng)無法直接獲取的問題，同時(shí)解決了觀測過程中的抖振問題.通過將漏斗控制技術(shù)、雙曲正切函數(shù)和自適應(yīng)控制相結(jié)合，提出了一種新穎的自適應(yīng)狀態(tài)反饋控制策略；引入指令濾波器處理反步法中微分爆炸問題.本文所提出的控制策略可以有效地跟蹤期望軌跡，而且誤差維持在預(yù)設(shè)的漏斗約束內(nèi)，最后將本文的控制方法應(yīng)用到液壓伺服驅(qū)動系統(tǒng)中，通過仿真結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.但本文設(shè)計(jì)的控制器理論上達(dá)到最終的控制效果沒有時(shí)間約束要求，可進(jìn)一步改進(jìn)控制器使得其在固定時(shí)間內(nèi)達(dá)到控制要求.

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