微裂紋群對(duì)主裂紋尖端損傷行為的影響*

李 煦， 蘇 睿， 張 歡， 翁倩茹， 江曉禹

（1. 成都工業(yè)學(xué)院 智能制造學(xué)院，成都 610036；2. 西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 610036）

引 言

在真實(shí)材料中，宏觀裂紋尖端附近往往存在大量的微裂紋，它們不僅會(huì)在材料服役過程中產(chǎn)生，還可能在材料的制備過程中產(chǎn)生.圖1 展示了U71Mn 鋼在三點(diǎn)彎曲的恒定振幅疲勞載荷作用下的掃描電子顯微鏡下的觀察結(jié)果[1]，即在宏觀裂紋前方觀察到一簇任意分布的微裂紋，微裂紋用紅色箭頭標(biāo)注，微裂紋與主裂紋即將交匯處用紅色圓圈標(biāo)注.其中，試樣為矩形板（120 mm × 15 mm × 1 mm），含有邊緣裂紋.邊緣裂紋位于試樣中部，初始長度為2.846 mm.加載頻率為1 Hz，最大負(fù)載和最小負(fù)載分別為1 kN 和0.1 kN.

圖1 主裂紋尖端附近存在多條微裂紋Fig. 1 Several micro cracks were observed near the macro-crack tip

一般情況下，微裂紋與主裂紋或者微裂紋與微裂紋之間的相互作用效應(yīng)會(huì)使得裂紋尖端的應(yīng)力場不同于單條裂紋在同樣外載荷作用下的應(yīng)力場.因此，如何有效地了解裂紋影響材料失效破壞的機(jī)理，針對(duì)微裂紋與主裂紋的相互作用以及微裂紋對(duì)主裂紋擴(kuò)展行為的影響開展高效且精確的理論研究工作是人們長期以來關(guān)注的重點(diǎn)問題.Gong 等[2-4]通過Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法和應(yīng)力疊加法研究了彈性平面內(nèi)任意分布的微裂紋或微孔洞對(duì)主裂紋的影響.Petrova 等[5-7]通過小參數(shù)法研究了材料中多個(gè)微裂紋對(duì)主裂紋擴(kuò)展的影響.Li 等[1,8]通過分布位錯(cuò)法研究了在單軸拉伸條件下主裂紋與微裂紋的相互影響.夏曉舟等[9]利用平均化法和疊加原理研究了裂紋間的相互作用機(jī)理.李亞等[10]利用應(yīng)力強(qiáng)度因子的裂紋線法研究了局部均布荷載下Ⅰ型裂紋有限寬板應(yīng)力強(qiáng)度因子.此外，研究者們[11-13]還利用有限元法研究了多個(gè)微裂紋與主裂紋的相互作用.但以上研究工作大多是針對(duì)主裂紋尖端存在少量微裂紋的情況，并且只考慮了微裂紋對(duì)主裂紋的影響.事實(shí)上，當(dāng)主裂紋尖端存在大量微裂紋時(shí)，微裂紋之間的相互影響變得很重要.如果忽略微裂紋之間的相互影響，可能會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成誤差，影響下一步的研究.

另外，從損傷力學(xué)的角度出發(fā)，研究者們提出了兩個(gè)重要的理論研究方法，即連續(xù)損傷力學(xué)方法和細(xì)觀力學(xué)方法，但是對(duì)于微裂紋密度較大的情形，目前還是難以建立既符合材料損傷、破壞的力學(xué)機(jī)理，又便于實(shí)際應(yīng)用的模型，只能通過一些近似簡化、數(shù)值計(jì)算、實(shí)驗(yàn)測定得出近似解答[14-16].

綜上所述，為了更好地研究平面多裂紋問題，既應(yīng)該考慮微裂紋間的相互影響，還應(yīng)該考慮微裂紋的數(shù)量、長度和分布形式等對(duì)主裂紋尖端的影響.在宏觀平面彈性理論和斷裂力學(xué)中，Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法[17]是一種有效求解多連通區(qū)域或復(fù)雜幾何形狀等裂紋問題的方法，其主要求解思路是找到滿足問題邊界條件的復(fù)應(yīng)力解析函數(shù)，利用保角變換法將z平面上復(fù)雜的裂紋問題通過轉(zhuǎn)化為映射平面上相對(duì)簡單的問題，得到平面內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量等，最后得到滿足裂紋面邊界條件的問題的解析解，進(jìn)而求得應(yīng)力強(qiáng)度因子.

在前期的基礎(chǔ)上[17-18]，本文將運(yùn)用Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法求解無限大平面內(nèi)含一個(gè)主裂紋和多個(gè)任意分布微裂紋問題的理論解，進(jìn)一步研究了單軸拉伸條件下主裂紋和微裂紋尖端的損傷參量D，分析了不同的損傷區(qū)形式對(duì)裂紋尖端損傷的影響.

1 Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法和逐步遞推法

1.1 理論方法

以圖2 所示的問題為例，在無限大平面內(nèi)含一條主裂紋和k(k=1, 2, ···,j, ···,n)條任意分布的微裂紋，無限遠(yuǎn)處有均勻拉伸載荷σ∞.xoy為總體坐標(biāo)系，o為坐標(biāo)原點(diǎn).xkokyk為每個(gè)微裂紋對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)系，ok為坐標(biāo)原點(diǎn).為了方便描述，將圖2 中的問題記為原問題.由于原問題中存在多條微裂紋，并且微裂紋的位置和角度是任意的，現(xiàn)利用逐步遞推法將原問題轉(zhuǎn)化為多個(gè)子問題(參見圖3 ～ 5)，即子問題1、子問題2、子問題3、子問題4 等，通過逐一求解子問題中的主裂紋和微裂紋的應(yīng)力場得到原問題的解.

圖2 無限大平面內(nèi)含一個(gè)主裂紋和多個(gè)任意分布的微裂紋Fig. 2 An infinite plane containing a macro crack and multiple micro cracks

圖3 子問題1：只有主裂紋、遠(yuǎn)場有均勻拉伸載荷σ∞Fig. 3 Sub-problem 1: the macro crack under uniform tensile load σ∞

根據(jù)Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法，平面內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力與兩個(gè)復(fù)應(yīng)力解析函數(shù)Φ(z)，Ψ(z)和它們的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可以表示為[17]

式中，用復(fù)變量z=x+ iy代替實(shí)變量x和y，σxx和σyy分別為水平方向和垂直方向的正應(yīng)力，τxy為切應(yīng)力；(ˉ·)表示Φ(z)，Ψ(z)和z的共軛值；(·)′和(·)″分別表示Φ(z)和Ψ(z)的一階導(dǎo)數(shù)值和二階導(dǎo)數(shù)值.

1.1.1 子問題1

在無限大平面內(nèi)含一條主裂紋、沒有微裂紋、遠(yuǎn)場有均勻拉伸載荷σ∞，如圖3 所示.圖中實(shí)線代表真實(shí)存在的裂紋，虛線代表非真實(shí)存在的裂紋，將位于主裂紋尖端周圍的任意一條微裂紋記為微裂紋j(j=1, 2, ··· ,n).主裂紋的半長為a，微裂紋j的半長為aj，主裂紋尖端到微裂紋j中心的距離為dj，微裂紋j自身的傾斜角度為βj，微裂紋j相對(duì)于主裂紋尖端的方位角為θj.另外，βj和θj的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向.

實(shí)際上，子問題1 就是著名的Griffith 裂紋問題，Muskhelishvili 給出的復(fù)應(yīng)力解析函數(shù)表達(dá)式如下[17]：

圖4 子問題2：任意多條微裂紋Fig. 4 Sub-problem 2: the micro cracks

當(dāng)?shù)趈條微裂紋上作用有集中力時(shí)，集中力F的大小與子問題1 中得到的微裂紋j處的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力相等，方向相反，集中力的表達(dá)式為

1.1.3 子問題3

無限大平面內(nèi)含一條中心主裂紋、沒有微裂紋、在遠(yuǎn)處不受力，如圖5 所示.即求解主裂紋在非均勻分布載荷F作用下，在總體坐標(biāo)系下的應(yīng)力場.其中，F(xiàn)的大小等于子問題2 中主裂紋位置處的應(yīng)力，方向與原方向相反：

圖5 子問題3：只有主裂紋Fig. 5 Sub-problem 3: the macro crack

1.1.4 子問題4

以上推導(dǎo)的理論方法有三個(gè)優(yōu)點(diǎn)：第一，在推導(dǎo)過程中沒有引入其他有特殊含義的參數(shù)，因此適合求解線彈性斷裂力學(xué)范圍內(nèi)的平面裂紋問題；第二，對(duì)微裂紋的數(shù)量和位置沒有限制，當(dāng)研究多裂紋問題或裂紋的分布問題時(shí)，只需要修改裂紋的位置參數(shù)，而不需要重新建?；騽澐志W(wǎng)格，這為研究工作節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了效率；第三，在求解過程中考慮了微裂紋間的相互影響，減小了計(jì)算誤差，補(bǔ)充了平面多裂紋問題的理論解.

1.2 裂紋尖端損傷區(qū)

以往的模型描述損傷的方法是定義一個(gè)標(biāo)量、矢量或張量作為損傷狀態(tài)變量，但實(shí)際上一點(diǎn)的損傷狀態(tài)是很復(fù)雜的[14-16,19-20].本文放棄上述損傷變量，把裂紋尖端作為一點(diǎn)的損傷狀態(tài)，將損傷區(qū)內(nèi)微裂紋對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力場的影響用損傷參量描述，即損傷變量描述的是主裂紋尖端所有的損傷情況(微裂紋的傾斜角、方位角、數(shù)量等因素).當(dāng)遠(yuǎn)場拉伸載荷為σ∞時(shí)，假設(shè)材料為各向同性，并且不考慮微裂紋擴(kuò)展過程中的各向異性力學(xué)特性.在單軸拉伸情況下，主裂紋尖端的損傷變量DMA可以定義為

式中，DMA表示主裂紋尖端損傷的大小以及微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響，KⅠMA表示主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子.一般情況下，損傷參量DMA的值介于0 到1 之間.當(dāng)微裂紋數(shù)量為零時(shí)，DMA也為零，裂紋受到的載荷等于遠(yuǎn)場的應(yīng)力.當(dāng)DMA的值大于零時(shí)，代表損傷區(qū)的微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷有增強(qiáng)作用，即微裂紋的存在使得主裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子增加并且更容易發(fā)生擴(kuò)展.當(dāng)損傷參量的值小于零時(shí)，代表損傷區(qū)的微裂紋對(duì)主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子有屏蔽作用.

類似地，微裂紋尖端的損傷參量可以表示為

1.3 方法驗(yàn)證

圖6 展示了共線微裂紋對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響.為了驗(yàn)證前兩小節(jié)的求解，以圖6(a)所示的問題為例，建立相應(yīng)的有限元模型如圖7 所示.其中，主裂紋為AB，裂紋半長為a，微裂紋半長為a1，a/a1=1，β1=0，θ1=0.材料的彈性模量是210 GPa，Poisson 比是0.3，這里不考慮塑性，是靜態(tài)的彈性計(jì)算.單元類型是Plane 183.裂紋尖端采用奇異性單元，求解裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子采用的是位移外推法.

圖6 共線微裂紋對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響：(a) 無限大平面內(nèi)的共線裂紋；(b) 裂紋尖端B 點(diǎn)的應(yīng)力強(qiáng)度因子隨裂紋間距的變化Fig. 6 I nfluence ofthecollinearmicrocrackon thestressintensity factor of the macro crack tip: (a) a collinear micro crack and a macro crack in an infinite plane;(b) KB/(σ∞)vs. d/a1fora/a1=1undertensile load

圖7 共線裂紋的有限元模型：(a) 整體網(wǎng)格；(b) 裂紋附近網(wǎng)格；(c) 裂紋尖端附近網(wǎng)格Fig. 7 The finite element method (FEM) for the collinear crack: (a) the whole FEM mesh; (b) the FEM mesh around the crack;(c) the FEM mesh near the crack tip

以圖6(a)中的共線裂紋為例，圖8(a)和8(b)分別展示了子問題1 和子問題3 中主裂紋上的正應(yīng)力在裂紋面上的變化曲線.橫坐標(biāo)表示主裂紋長度方向的坐標(biāo)值，從左至右分別表示主裂紋左尖端和右尖端.結(jié)果顯示：主裂紋右尖端受微裂紋的影響，其應(yīng)力的絕對(duì)值相比主裂紋左尖端更大.對(duì)比子問題1 和子問題3 可知，主裂紋上最大應(yīng)力值的絕對(duì)值由29 MPa 減小到0.24 MPa，下降了99.2%.當(dāng)計(jì)算到子問題5 時(shí)，主裂紋上的應(yīng)力相比子問題3 下降了99.996%.隨著子問題增加，主裂紋上的應(yīng)力值將越來越小.因此，為了提高計(jì)算效率，在實(shí)際應(yīng)用中可以只計(jì)算到子問題5.

圖8 主裂紋上的正應(yīng)力在裂紋面上的變化曲線：(a) 子問題1；(b) 子問題3Fig. 8 The normal stress on the crack surface of the macro crack: (a) sub-problem 1; (b) sub-problem 3

2 損傷區(qū)的微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響

2.1 微裂紋的分布對(duì)主裂紋尖端損傷的影響

以往的文獻(xiàn)表明，微裂紋相對(duì)主裂紋尖端的方位角對(duì)主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子有較大的影響[1].事實(shí)上，當(dāng)主裂紋尖端附近存在多條微裂紋時(shí)，微裂紋的分布方式、數(shù)量、方位及傾斜角度等均對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力場有影響.下面以兩種鏈?zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y群為例，分析微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響.

2.1.1 鏈?zhǔn)椒植?/p>

圖9 中含一條有限長的主裂紋和k(k=1, 2, ···, 14)條正向鏈?zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y.主裂紋的半長為a，微裂紋的半長為ak，微裂紋與主裂紋的長度取為ak/a=0.1.微裂紋群相對(duì)于x軸對(duì)稱分布，x軸上方微裂紋的方位角θk(k=1, 2, ···, 7)=20°，25°，15°，20°，15°，10°，5°，其他參數(shù)參見表1 和2.

圖9 無限大平面內(nèi)含一條主裂紋和鏈?zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y，在無限遠(yuǎn)處有均勻拉伸應(yīng)力Fig. 9 An infinite plane with a macro crack and chain-distribution micro cracks under tensile load

表1 主裂紋尖端到微裂紋中心的距離 dk/a (k=1, 2, ···, 7)Table 1 The distance dk/a (k=1, 2, ···, 7) between the macro crack and each micro crack

圖10(a)是主裂紋右尖端的損傷參量隨微裂紋傾斜角度的變化曲線，β1與βk(k=2, 3, ···, 7)的關(guān)系參見表2.結(jié)果顯示：隨著微裂紋群與主裂紋尖端的距離或微裂紋的傾斜角度減小，微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響逐漸增大，使得主裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展.

表2 微裂紋的傾斜角度βk (k=1, 2, ···, 7)Table 2 The inclination angle βk (k=1, 2, ···, 7) of each micro crack

圖10(b)是微裂紋左尖端的損傷參量隨微裂紋傾斜角度的變化曲線，距離參數(shù)為d1/a=0.2.結(jié)果顯示：微裂紋的傾斜角度較小時(shí)，對(duì)裂紋尖端的損傷有增強(qiáng)作用；隨著傾斜角度增大，微裂紋尖端的增強(qiáng)作用逐漸過渡為屏蔽作用.

2.1.2 反向鏈?zhǔn)椒植?/p>

圖11 中微裂紋與主裂紋的長度比為ak/a=0.1.微裂紋關(guān)于x軸對(duì)稱，x軸上方微裂紋的方位角θk(k=1, 2, ···,7)=40°，30°，20°，10°，15°，10°，5°，其他參數(shù)見表3 和4.

表3 主裂紋尖端到微裂紋中心的距離 dk/a (k=1, 2, ···, 7)Table 3 The distance dk/a (k=1, 2, ···, 7) between the macro crack and each micro crack

圖10 微裂紋是正向鏈?zhǔn)椒植紩r(shí)，損傷參量D 隨β1 的變化，d1/a=0.2：(a) DMA；(b) DMIFig. 10 Damage parameter D vs. inclination parameter β1 for chain-distribution micro cracks, d1/a=0.2: (a) DMA; (b) DMI

圖11 無限大平面內(nèi)含一條主裂紋和反向鏈?zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y，在無限遠(yuǎn)處有均勻拉伸應(yīng)力Fig. 11 An infinite plane with a macro crack and reversed chain-distribution micro cracks under tensile load

圖12(a)是主裂紋右尖端的DMA的值隨微裂紋傾斜角度β1的變化曲線.β1與βk(k=2, 3, 4, 5, 6, 7)的關(guān)系參見表4.結(jié)果顯示：隨著微裂紋傾斜角度或微裂紋與主裂紋尖端距離的減小，DMA的值增大.通過對(duì)比圖10(a)和12(a)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)反向鏈?zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y群存在于主裂紋尖端附近時(shí)，對(duì)主裂紋尖端損傷的增強(qiáng)作用更大，主裂紋更容易發(fā)生擴(kuò)展.圖12(b)是微裂紋左尖端的DMI隨微裂紋傾斜角度β1的變化曲線.結(jié)果顯示：微裂紋4 與主裂紋尖端的距離最近，其DMI的值較大；微裂紋7 與主裂紋尖端的距離較遠(yuǎn)，其DMI的值較小.

圖12 微裂紋是反向鏈?zhǔn)椒植紩r(shí)，損傷參量D 隨β1 的變化，d1/a=0.2：(a) DMA；(b) DMIFig. 12 Damage parameter D vs. inclination parameter β1 for reversed chain-distribution micro cracks, d1/a=0.2: (a) DMA; (b) DMI

表4 微裂紋的傾斜角度 βk (k=1, 2, ···, 7)Table 4 The inclination angle βk (k=1, 2, ···, 7) of each micro crack

通過以上分析可知，微裂紋的傾斜角度對(duì)主裂紋尖端作用效應(yīng)的強(qiáng)弱和性質(zhì)起決定性的作用.其次，當(dāng)微裂紋與主裂紋尖端的距離較近時(shí)，主裂紋尖端產(chǎn)生的損傷較大.隨著距離增加，損傷減小.

2.2 微裂紋的分布對(duì)主裂紋擴(kuò)展的影響

如圖13 所示，根據(jù)脆性材料裂紋尖端損傷的程度，裂紋尖端的損傷可以分為三個(gè)區(qū)域，從外到里依次為無損區(qū)、連續(xù)損傷區(qū)和損傷局部化帶[24].其中，連續(xù)損傷區(qū)是在主裂紋尖端周圍存在的一個(gè)微裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展的過程區(qū).類似于金屬材料中裂紋尖端的塑性區(qū)，連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)的尺寸遠(yuǎn)小于主裂紋尺寸.微裂紋損傷區(qū)表征了微裂紋的信息，標(biāo)志著材料局部開始劣化.因此，研究連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷狀態(tài)的影響對(duì)了解材料局部的損傷狀態(tài)有重要意義.另外，根據(jù)脆性損傷與外應(yīng)力的關(guān)系可知[24]，外載荷卸載后的剩余變形很小，裂紋尖端極小區(qū)域內(nèi)仍表現(xiàn)出良好的彈性性質(zhì)，損傷區(qū)內(nèi)的應(yīng)力仍為K場分布，因此損傷區(qū)內(nèi)裂紋尖端的損傷情況仍可用裂紋尖端的K因子進(jìn)行分析.

圖13 靜止裂紋尖端的損傷分區(qū)結(jié)構(gòu)Fig. 13 The damage zoning structure of the static crack tip

現(xiàn)將長度相等的微裂紋均勻分布在連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)，令微裂紋的傾斜角度的絕對(duì)值分別在30o、30o至60o以及60o至90o范圍內(nèi)，分析當(dāng)損傷區(qū)內(nèi)分別有四條微裂紋和八條微裂紋時(shí)，主裂紋尖端的損傷參量隨微裂紋長度的變化，如圖14(a)和14(b)所示.結(jié)果顯示：當(dāng)微裂紋的傾斜角度的絕對(duì)值小于等于30°時(shí)，微裂紋群對(duì)主裂紋尖端損傷的增強(qiáng)作用隨著微裂紋的長度和數(shù)量增加而逐漸增大.同時(shí)，隨著微裂紋數(shù)量增加，微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響也明顯增大.

圖14 微裂紋在連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)均勻分布時(shí)，損傷參量DMA 隨ak/a 的變化：(a) 4 條微裂紋；(b) 8 條微裂紋Fig. 14 Damage parameter DMA vs. micro crack length ak/a for evenly distributed micro cracks: (a) 4 micro cracks; (b) 8 micro cracks

現(xiàn)將長度相等且傾斜角度相等的微裂紋均勻分布在連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)，分析主裂紋的損傷參量隨微裂紋長度的變化，如圖15 所示.結(jié)果顯示：當(dāng)有4 條或8 條微裂紋時(shí)，傾斜角度較小的微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷有增強(qiáng)作用，并且增強(qiáng)作用隨著微裂紋的長度增加而增大；隨著微裂紋的數(shù)量增加，主裂紋尖端損傷的增強(qiáng)作用逐漸增大.因此，對(duì)于均勻分布在連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)的微裂紋而言，微裂紋的數(shù)量、長度和傾斜角度均對(duì)主裂紋尖端損傷有重要影響.其中，微裂紋的數(shù)量對(duì)主裂紋尖端損傷的影響最大，其次是微裂紋的傾斜角度，最后是微裂紋的長度.

圖15 損傷參量隨微裂紋長度的變化：(a) βk=15°；(b) βk=45°；(c) βk=60°Fig. 15 Damage parameter DMA vs. micro crack length for evenly distributed micro cracks: (a) βk=15°; (b) βk=45°; (c) βk=60°

3 結(jié) 論

本文通過Muskhelishvili 復(fù)變函數(shù)法和逐步遞推法，得到了無限大平面內(nèi)包含一個(gè)主裂紋和多個(gè)任意分布微裂紋的數(shù)值解，并進(jìn)行了驗(yàn)證.此外，本文重新定義了單軸拉伸條件下主裂紋和微裂紋尖端的損傷參量，通過分析微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響，得出如下結(jié)論：

1) 正向鏈?zhǔn)胶头聪蜴準(zhǔn)椒植嫉奈⒘鸭y均對(duì)主裂紋尖端損傷有增強(qiáng)作用，并且隨微裂紋的傾斜角度和裂紋間距的減小而增強(qiáng)；

2) 隨著微裂紋群與主裂紋尖端的距離增大，微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的影響逐漸減弱；

3) 當(dāng)微裂紋的傾斜角度較小時(shí)，主裂紋和微裂紋尖端損傷均有增強(qiáng)作用；

4) 在連續(xù)損傷區(qū)內(nèi)，均勻分布的微裂紋對(duì)主裂紋尖端損傷的增強(qiáng)作用隨著微裂紋的數(shù)量增加而增大.

致謝 本文作者衷心感謝成都工業(yè)學(xué)院引進(jìn)人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目(2022RC005)對(duì)本文的資助.

參考文獻(xiàn)（ References ） ：

［1］LI X T, LI X, JIANG X Y. Influence of a micro-crack on the finite macro-crack[J].Engineering Fracture Mechanics, 2017, 177: 95-103.

［2］GONG S X, HORII H. General solution to the problem of micro-cracks near the tip of a main crack[J].Journal of the Mechanics & Physics of Solids, 1989, 37（1）: 27-46.

［3］GONG S X, MEGUID S A. Microdefect interacting with a main crack: a general treatment[J].International Journal of Mechanical Sciences, 1992, 34（12）: 933-945.

［4］GONG S X. On the main crack-microcrack interaction under mode Ⅲ loading[J].Engineering Fracture Mechanics, 1995, 51（5）: 753-762.

［5］PETROVA V E, TAMUZS V, ROMALIS N. A survey of macro-microcrack interaction problems[J].Applied Mechanics Reviews, 2000, 53（5）: 117-146.

［6］PETROVA V E. Interaction between a main crack and inclusions of a given orientation[J].Mechanics of Composite Materials, 1988, 24（3）: 288-294.

［7］PETROVA V E. Modified model of macro-microcrack interaction[J].Theoretical & Applied Fracture Mechanics,1999, 32（2）: 111-117.

［8］LI X T, LI X, YANG H D, et al. Effect of micro-cracks on plastic zone ahead of the macro-crack tip[J].Journal of Materials Science, 2017, 52（1）: 1-14.

［9］ 夏曉舟, 章青, 喬丕忠, 等. 裂紋間作用機(jī)制探討及微裂紋區(qū)對(duì)主裂紋的作用效應(yīng)研究[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2010,31（1）: 61-70. （XIA Xiaozhou, ZHANG Qing, QIAO Pizhong, et al. Interaction between cracks and effect of micro-crack zone on main crack tip[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2010, 31（1）: 61-70.（in Chinese））

［10］ 李亞, 易志堅(jiān), 王敏, 等. 裂紋面局部均布荷載下Ⅰ型裂紋有限寬板應(yīng)力強(qiáng)度因子[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2020, 41（10）:1083-1091. （LI Ya, YI Zhijian, WANG Min, et al. The stress intensity factor of a finite width plate with a mode-Ⅰ center crack subjected to uniform stress on the crack surface near the crack tip[J].Applied Mathematics and Mechanics, 2020, 41（10）: 1083-1091.（in Chinese））

［11］CHESSA J, SMOLINSKI P, BELYTSCHKO T. The extended finite element method (XFEM) for solidification problems[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2002, 53（8）: 1959-1977.

［12］SOH A K, YANG C H. Numerical modeling of interactions between a macro-crack and a cluster of microdefects[J].Engineering Fracture Mechanics, 2004, 71（2）: 193-217.

［13］OUINAS D, BOUIADJRA B B, BENDERDOUCHE N, et al. Numerical modelling of the interaction macro-multimicrocracks in a plate under tensile stress[J].Journal of Computational Science, 2011, 2（2）: 153-164.

［14］KACHANOV L. Time of the rupture process under creep conditions[J].Doklady Akademii Nauk SSSR, 1958, 8:26-31.

［15］RABOTNOV Y N, LECKIE F A, PRAGER W. Creep problems in structural members[J].Journal of Applied Mechanics, 1970, 37（1）: 249-250.

［16］LEMAITRE J. A continuous damage mechanics model for ductile fracture[J].Transactions of the ASME Journal of Engineering Materials and Technology, 1985, 107（1）: 83-89.

［17］MUSKHELISHVILI N I.Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity[M]. Berlin: Springer Science & Business Media , 1977.

［18］ 范天佑. 斷裂理論基礎(chǔ)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2003. （FAN Tianyou.The Theory of Fracture Mechanics[M].Beijing: Science Press, 2003. （in Chinese））

［19］KRAJCINOVIC D. Constitutive equations for damaging materials[J].Journal of Applied Mechanics, 1983,50（2）: 355-360.

［20］CHOW C L, WANG J. An anisotropic theory of elasticity for continuum damage mechanics[J].International Journal of Fracture, 1987, 33（1）: 3-16.

［21］TANAKA K. Fatigue crack propagation from a crack inclined to the cyclic tensile axis[J].Engineering Fracture Mechanics, 1974, 6（3）: 493-507.

［22］KACHANOV M. Elastic solids with many cracks and related problems[J].Advances in Applied Mechanics, 1993,30: 259-445.

［23］MURAKAMI Y, KEER L M. Stress intensity factors handbook[J].Journal of Applied Mechanics, 1993, 60（4）:1063-1063.

［24］ 馮西橋. 脆性材料的細(xì)觀損傷理論和損傷結(jié)構(gòu)的安定分析[D]. 博士學(xué)位論文. 北京: 清華大學(xué), 1995. （FENG Xiqiao.Micro-failure theory for brittle materials and shakedown analysis of structures with damage[D]. PhD Thesis.Beijing: Tsinghua University, 1995. （in Chinese））