四元數(shù)矩陣的直積分解及最佳逼近①

黃敬頻，白瑞，徐云，趙耿威

廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，南寧 530006

四元數(shù)在圖像處理及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的研究方面均有重要作用[1-2]． 作為矩陣關(guān)聯(lián)運(yùn)算的普通乘積和直積(也稱Kronecker積或張量積)，具有廣泛的應(yīng)用性和普適性[3-5]． 文獻(xiàn)[6]利用直積理論提出了群對(duì)稱原子或分子軌道中產(chǎn)生對(duì)稱軌道的標(biāo)準(zhǔn)方法與封閉公式． 文獻(xiàn)[7]根據(jù)Toeplitz矩陣可分解為Kronecker積的和的性質(zhì)，提出了一種基于卷積核矩陣的圖像迭代復(fù)原方法． 文獻(xiàn)[8]以直積為主要工具研究了四元數(shù)矩陣方程AXB+CXD=E的M自共軛解． 文獻(xiàn)[9-10]討論了有關(guān)Kronecker積的最小二乘問題及其在二元多項(xiàng)式回歸中的應(yīng)用． 多年來，關(guān)于矩陣Kronecker積性質(zhì)的研究已有豐富的成果[11-13]． 關(guān)于矩陣方根的求解方面，文獻(xiàn)[14-15]分別采用Schur分解和牛頓迭代方法給出了實(shí)矩陣的方根計(jì)算，文獻(xiàn)[16]運(yùn)用冪法給出了復(fù)矩陣的方根計(jì)算，文獻(xiàn)[17]利用拉直算子討論了復(fù)矩陣Kronecker方根的存在性，文獻(xiàn)[18]利用牛頓迭代方法給出了Einstein積意義下實(shí)張量的方根計(jì)算． 目前未見關(guān)于四元數(shù)矩陣的Kronecker積分解問題的研究報(bào)導(dǎo)，針對(duì)這一問題，本文著重考慮直積意義下四元數(shù)矩陣的分解及最佳逼近問題．

定義1設(shè)X=(xij)∈Qm×n，Y=(yij)∈Qs×t，稱

(1)

是X與Y的Kronecker積． 當(dāng)X，Y中有一個(gè)是實(shí)矩陣時(shí)，稱X?Y為弱直積[2]．

本文具體討論如下2個(gè)問題：

問題1給定四元數(shù)矩陣A∈Qm2×n2，尋找X，Y∈Qm×n使得A=X?Y． 當(dāng)此分解式不存在時(shí)，求F(X，Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近值．

問題2對(duì)問題1給定的四元數(shù)矩陣A，求直積意義下滿足X?X=A的二次方根X的存在條件及計(jì)算公式．

1 主要結(jié)果

引理1設(shè)四元數(shù)q=a0+a1i+a2j+a3k∈QR，則q的方根總存在，并可表示為

(2)

證設(shè)x=x0+x1i+x2j+x3k，且q=x2，直接展開比較可得

(3)

(4)

對(duì)A∈Qm2×n2作如下分塊

(5)

L=(Vec(A11)，…，Vec(A1n)，…，Vec(Am1)，…，Vec(Amn))∈Qmn×mn

(6)

于是關(guān)于問題1的解，有如下結(jié)果：

定理1設(shè)非零矩陣A∈Qm2×n2有分塊式(5)，則存在X，Y∈Qm×n，使得A=X?Y的充要條件是rank(L)=1，其中L如(6)式所示．

證若存在X0=(xij)，Y0∈Qm×n，使得A=X0?Y0，則由Kronecker積的定義及(5)式可得

Aij=xijY0i=1，2，…，m；j=1，2，…，n

當(dāng)且當(dāng)

Vec(Aij)=xijVec(Y0)

因此

L=(x11Vec(Y0)，…，x1nVec(Y0)，…，xm1Vec(Y0)，…，xmnVec(Y0))∈Qmn×mn

由于A≠0，因此X0≠0，Y0≠0，從而rank(L)=1． 反之，若rank(L)=1，不妨設(shè)Vec(A11)≠0，則L各列有比例關(guān)系

Vec(Aij)=kijVec(A11)

因此有

Aij=kijA11i=1，2，…，m；j=1，2，…，n

取X0=(kij)，Y0=A11，則存在分解式A=X0?Y0． 證畢．

注2由定理1的證明過程可知，當(dāng)A的Kronecker積分解存在時(shí)，只要確定Y0以及所有Aij的左比例系數(shù)kij，那么X0=(kij)和Y0就是A的一組分解．

同時(shí)可得如下推論：

推論1在定理1的條件下，四元數(shù)矩陣A存在Kronecker積分解的充要條件是存在四元數(shù)向量u，v∈Qmn×1使得L=uvT．

證根據(jù)定理1及rank(L)=1可知，存在可逆矩陣P，Q∈Qmn×mn，使得

當(dāng)A的Kronecker積分解不存在時(shí)，我們討論它的最佳逼近問題． 對(duì)此，假設(shè)(6)式中L的奇異值分解為

(7)

其中U，V∈Umn×mn均為四元數(shù)酉陣，r=rank(L)，Σr=diag(d1，…，dr)，d1≥…≥dr>0． 根據(jù)推論1可知，求F(X，Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近值，等價(jià)于求u，v∈Qmn×1使得

‖uvT-L‖=min

(8)

定理2設(shè)非零矩陣A∈Qm2×n2有分塊式(5)和(6)，則存在u，v∈Qmn×1使得(8)式成立，其中

(9)

U(·，1)，V*(1，·)分別是(7)式中U，V*的第1列和第1行，d1是L的最大奇異值．

證根據(jù)L的奇異值分解(7)式以及Frobenius范數(shù)酉乘積不變性得

(10)

‖(u1，u2，…，umn)T(v1，v2，…，vmn)-diag(d1，…，dr，0，…，0)‖2=min

(11)

根據(jù)diag(d1，…，dr，0，…，0)的對(duì)稱半正定性，可取

ui=vi∈Ri=1，…，r

ui=vi=0i=r+1，…，mn

因此由(11)式得

(12)

其中δij∈{0，1}． 對(duì)(12)式中函數(shù)f(u1，…，ur)求偏導(dǎo)數(shù)，得

(13)

方程組(13)等價(jià)于

由此可得

ui=0

或

再由U*u=(u1，u2，…，umn)T，vTV=(v1，v2，…，vmn)，可得

即表達(dá)式(9)成立． 證畢．

根據(jù)四元數(shù)方根總存在的特點(diǎn)，可得問題2的解如下：

Ast=bstBs=1，2，…，m；t=1，2，…，n

(14)

這時(shí)X0=B∈Qm×n就是A的二次方根．

證充分性是顯然的． 下證必要性． 若存在X0=B=(bij)∈Qm×n使得A=B?B，則由分塊式(5)可得

Ast=bstBs=1，2，…，m；t=1，2，…，n

(15)

注3當(dāng)(14)式成立時(shí)，顯然有rank(L)=1，因此rank(L)=1是A的二次方根存在的必要條件，但不是充分的(見算例1)．

2 數(shù)值算例

例1已知四元數(shù)矩陣

試討論是否存在X，Y∈Q2×3，使得A具有Kronecker積分解．

解對(duì)A作分解式(5)，得

其中

直接計(jì)算可知

rank(L)=rank(Vec(A11)，Vec(A12)，Vec(A13)，Vec(A21)，Vec(A22)，Vec(A23))=1

因此，根據(jù)定理1可知，存在X0，Y0∈Q2×3，使得A=X0?Y0． 事實(shí)上，由

得Kronecker積分解

例2已知四元數(shù)矩陣

試討論A的二次方根的存在性．

解對(duì)A作分解式(5)，得

其中

直接計(jì)算可知

Ast=bstBs=1，2；t=1，2，3

根據(jù)定理3，A存在二次方根X0=B，即

3 結(jié)論

對(duì)于給定的m2×n2四元數(shù)矩陣A，利用A的分塊矩陣(5)式，并由Vec構(gòu)造的mn×mn矩陣L的秩，獲得A具有直積分解的充要條件及其分解方法． 當(dāng)此類分解不存在時(shí)，由L的奇異值分解，以及求F(X，Y)=‖X?Y-A‖的最佳逼近解等價(jià)于求極小范數(shù)問題(8)，得到了問題1的解． 對(duì)于問題2，應(yīng)用四元數(shù)方根的存在性與Kronecker積的定義，得到了X?X=A成立的充要條件及其直積意義下二次方根X的計(jì)算公式．