供應(yīng)不可靠下的庫存定價(jià)聯(lián)合決策研究*

劉俁豪, 劉樹人, 雷俊林, 羅岸華

(湘潭大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湖南 湘潭 411105)

0 引言

對(duì)于銷售更新速度較快或者易腐壞的短周期銷售商品而言, 零售商更容易受到一些不確定因素的影響.一方面消費(fèi)者的選擇呈多樣化趨勢(shì), 導(dǎo)致很難完全把握所銷售商品的市場(chǎng)需求, 易產(chǎn)生庫存過?；蛘叨倘钡娘L(fēng)險(xiǎn), 進(jìn)而價(jià)格是消費(fèi)者選擇購買與否的重要因素, 因此零售商如何訂購以及定價(jià)才能確保自身不會(huì)承擔(dān)超額的缺貨費(fèi)用或庫存成本就顯得尤為重要.另一方面, 對(duì)于零售商所訂購的商品, 供應(yīng)商是否能夠可靠供應(yīng)也是關(guān)鍵點(diǎn).特別是對(duì)于銷售周期短且易腐壞的商品, 在運(yùn)輸過程中由于各種原因?qū)е挛茨軐a(chǎn)品如數(shù)送達(dá)也較常見.若零售商沒有考慮供應(yīng)可靠性的問題, 容易造成庫存過剩或者短缺的風(fēng)險(xiǎn).但雙源供應(yīng)可以在一定程度上減少對(duì)于單源供應(yīng)的依賴性, 緩解供應(yīng)不確定性, 讓零售商在供應(yīng)源多樣化的情況下平衡成本做出最優(yōu)決策.故在此背景下, 研究零售商如何在需求隨機(jī)且依賴價(jià)格的情形下, 面對(duì)不可靠供應(yīng)商以及雙源供應(yīng)時(shí), 做出更有效的庫存定價(jià)聯(lián)合決策具有重要的理論及現(xiàn)實(shí)意義.

在庫存管理中, 最典型的模型為報(bào)童模型, 它考慮單階段的需求隨機(jī)情形, 目標(biāo)是確定最優(yōu)訂貨量使零售商的期望利潤(rùn)最大化或期望成本最小化.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展, 傳統(tǒng)的報(bào)童模型向多方面擴(kuò)展, 其中庫存與定價(jià)聯(lián)合決策已經(jīng)成為當(dāng)前研究的熱點(diǎn)問題.在實(shí)際生活中, 市場(chǎng)需求與價(jià)格密切相關(guān), 同樣的商品價(jià)格相對(duì)越低, 消費(fèi)者購買意愿越強(qiáng), 反之亦然, 所以零售商可通過調(diào)整產(chǎn)品價(jià)格來控制消費(fèi)者需求.WHITIN[1]首次將產(chǎn)品價(jià)格作為內(nèi)生變量, 建立需求依賴價(jià)格的函數(shù), 得到了最優(yōu)訂購量與最優(yōu)價(jià)格.MILLS[2]、 KARLIN和CARR[3]考慮了加式需求函數(shù)和乘式需求函數(shù)情形.而PETRUZZI和DADA[4]提出了庫存因子和基本價(jià)格兩個(gè)重要概念，對(duì)以前的結(jié)論給出了全面的綜述并進(jìn)行推廣.DE YONG[5]給出了庫存與定價(jià)聯(lián)合決策問題的最新研究綜述.

關(guān)于供應(yīng)不可靠下庫存管理的研究, KEREN[6]考慮了需求已知且隨機(jī)供給下的單周期庫存問題, 并給出了兩種供給率下的解析解.SURTI等[7]在供應(yīng)不可靠以及隨機(jī)需求依賴價(jià)格的情形下, 利用數(shù)值計(jì)算方法研究了如何在指定的銷售期做庫存定價(jià)聯(lián)合決策, 并進(jìn)一步研究了延遲定價(jià)情形.SHU等[8]采用效用函數(shù)作為度量風(fēng)險(xiǎn)的方法得到面對(duì)不可靠供應(yīng)以及隨機(jī)需求時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)厭惡型零售商的最優(yōu)訂購量.LIU等[9]討論具有隨機(jī)供應(yīng)比率并且依賴參考點(diǎn)的損失規(guī)避下報(bào)童模型的最優(yōu)訂購量, 并對(duì)相關(guān)的參數(shù)做比較靜態(tài)分析.由于對(duì)供應(yīng)不可靠導(dǎo)致供需不匹配的高度關(guān)注, 近年來學(xué)者們也考慮了多源采購策略, CHEAITOU等[10]研究了雙源供應(yīng)下需求隨機(jī)時(shí)兩周期的最優(yōu)庫存策略, 并且探討了需求預(yù)測(cè)信息的更新對(duì)最優(yōu)決策的影響.TAN等[11]研究了零售商面對(duì)供應(yīng)速度不同且生產(chǎn)能力隨機(jī)的兩種供應(yīng)商時(shí), 如何根據(jù)供應(yīng)商特征以及需求不確定性來確定供應(yīng)商以及訂單分配的動(dòng)態(tài)采購策略.FENG等[12]研究了零售商面對(duì)單產(chǎn)品、多周期但供應(yīng)商交貨期不同的雙源供應(yīng)下的庫存定價(jià)聯(lián)合決策問題.此外, 雙源供應(yīng)在其他領(lǐng)域也應(yīng)用廣泛, 比如在選擇貨運(yùn)模式時(shí), 根據(jù)運(yùn)輸目的地庫存、運(yùn)輸速度以及運(yùn)輸量對(duì)公路和鐵路兩種運(yùn)輸方式進(jìn)行優(yōu)化控制[13].在制藥行業(yè)中, 在面臨供應(yīng)中斷的風(fēng)險(xiǎn)時(shí), 雙源供應(yīng)也是重要的風(fēng)險(xiǎn)緩解措施[14].

綜上所述, 大部分庫存管理文獻(xiàn)的研究主要集中在隨機(jī)需求或供應(yīng)不可靠這兩者中研究某一種情形下的最優(yōu)訂購量或者研究?jī)煞N不確定同時(shí)存在下的最優(yōu)訂購量, 但考慮供應(yīng)和需求都不確定且同時(shí)討論庫存與定價(jià)聯(lián)合決策的文獻(xiàn)較少, 其中考慮雙源供應(yīng)情況的研究則更少.因此本文在需求不確定的情況下, 針對(duì)與價(jià)格相關(guān)的加式隨機(jī)需求情形, 討論供應(yīng)不可靠以及雙源供應(yīng)下零售商的最優(yōu)訂購與定價(jià)聯(lián)合決策問題, 證明在一定條件下最優(yōu)解的存在性, 然后給出最優(yōu)訂購量以及最優(yōu)定價(jià)的解析式并進(jìn)行數(shù)值模擬.

1 基本模型

考慮由一個(gè)零售商和一個(gè)供應(yīng)商組成的單周期庫存定價(jià)聯(lián)合決策問題.令Q為零售商訂購量,w為單位批發(fā)價(jià)格,p為單位銷售價(jià)格,h為單位剩余商品的殘值,s為單位缺貨成本.根據(jù)MILLS[2]的加式需求模型,假定市場(chǎng)需求隨機(jī)且受價(jià)格的影響, 將需求函數(shù)定義為D(p,ε)=d(p)+ε, 其中d(p)是非負(fù)遞減函數(shù),ε是定義在[A,B](A<0,B>0)上的隨機(jī)變量.進(jìn)一步地，與文獻(xiàn)[4]一樣，令d(p)=a-bp(a>0,b>0), 其中a-bp是描述線性需求曲線, 為了保持需求為正值, 假定a-bp≥-A, 并且ε是在[A,B]上的連續(xù)隨機(jī)變量, 其均值με=0且方差為σ2.此時(shí)需求函數(shù)D(p,ε)=a-bp+ε(a>0,b>0) 服從均值為a-bp以及方差為σ2的連續(xù)隨機(jī)變量, 相應(yīng)的累積分布函數(shù)為F(x), 概率密度函數(shù)為f(x).最后由于所研究的商品屬于更新速度較快或者易腐壞的短生命周期產(chǎn)品, 具有不易存放或儲(chǔ)存成本較高的特點(diǎn), 不失一般性, 假定p>w>h>0.

故可靠供應(yīng)下零售商的利潤(rùn)函數(shù)為

(1)

令a+=max(a,0), 則利潤(rùn)函數(shù)可寫為

(2)

從而零售商的期望利潤(rùn)為

(3)

基于此, 本文研究零售商面臨供應(yīng)不可靠以及雙源供應(yīng)下的庫存定價(jià)聯(lián)合決策.

2 供應(yīng)不可靠下的庫存定價(jià)聯(lián)合決策

本節(jié)討論由一個(gè)零售商和一個(gè)不可靠的供應(yīng)商組成的庫存定價(jià)聯(lián)合決策問題.假設(shè)造成不可靠的原因與供應(yīng)商的生產(chǎn)能力無關(guān), 主要是由于某些特殊原因, 如運(yùn)輸途中產(chǎn)品腐壞或者損壞等導(dǎo)致的不可靠供應(yīng), 因此這里討論的需求與供給之間相互獨(dú)立.根據(jù)文獻(xiàn)[8], 假定供應(yīng)不可靠情況下的供應(yīng)比率θ服從均勻分布, 其分布函數(shù)為

(4)

其中1/β代表最大的供應(yīng)比率, 由于供應(yīng)比率0<θ≤1所以β≥1, 且不難看出β作為衡量供應(yīng)可靠性的參數(shù),β越大則最大供應(yīng)比率越小, 相應(yīng)的供應(yīng)可靠性越低.根據(jù)均勻分布的性質(zhì)，進(jìn)一步可得供應(yīng)比率的均值μθ=1/(2β).

因此供應(yīng)不可靠下零售商的利潤(rùn)函數(shù)為

(5)

進(jìn)一步地，供應(yīng)不可靠下利潤(rùn)函數(shù)可寫為

(6)

其期望利潤(rùn)為

=(p-h)(d(p)+με)-(w-h)μθQ+

(7)

由于風(fēng)險(xiǎn)中性零售商的目標(biāo)為期望利潤(rùn)最大化, 故這里要求解的問題為

(8)

針對(duì)此模型, 我們?cè)谝欢ǖ臈l件下證明存在最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)定價(jià)使得期望利潤(rùn)達(dá)到最大, 具體見定理1.首先介紹一個(gè)引理.

由引理1可知,Q*(p)滿足方程

(9)

類似地,p*(Q)滿足方程

h)]f(x)g(y)dxdy=0.

(10)

定理1若ε在[-l,l]上服從均勻分布, 且

(11)

則存在最優(yōu)訂購量

(12)

以及最優(yōu)定價(jià)p*滿足

(13)

使得零售商的期望利潤(rùn)最大化.

證明當(dāng)ε在 [-l,l]上服從均勻分布時(shí), 根據(jù)式(7)可得

(14)

故

(15)

(16)

將Q*代入式(14)，得

(17)

將式(17)關(guān)于p分別求一階和二階導(dǎo)數(shù), 有

(18)

注意到

(19)

則二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于p單調(diào)遞減.設(shè)Up={p∈R:w

(20)

(21)

證明由定理1可知

(22)

則有

(23)

故可得最優(yōu)訂購量Q*關(guān)于β線性遞增.

由于

(24)

推論1表明, 供應(yīng)不可靠下零售商的最優(yōu)訂貨量與供應(yīng)可靠性呈線性關(guān)系, 這意味著當(dāng)供應(yīng)可靠性發(fā)生變化時(shí), 零售商就會(huì)相應(yīng)地調(diào)整訂單數(shù)量, 但這種調(diào)整不會(huì)導(dǎo)致零售商的最優(yōu)定價(jià)以及最優(yōu)期望利潤(rùn)相應(yīng)地發(fā)生改變.

3 雙源供應(yīng)下的庫存定價(jià)聯(lián)合決策

本節(jié)討論由一個(gè)零售商和兩個(gè)供應(yīng)商組成的庫存定價(jià)聯(lián)合決策問題, 其中供應(yīng)商甲(i=1)供應(yīng)不可靠, 供應(yīng)情況與上節(jié)相同.供應(yīng)商乙(i=2)供應(yīng)可靠, 即訂購多少貨物均能如數(shù)送達(dá).進(jìn)一步地，假設(shè)供應(yīng)商乙雖然供應(yīng)可靠, 但單位批發(fā)價(jià)格高于不可靠供應(yīng)商甲, 即有p>w2>w1>0.在此基礎(chǔ)上分析零售商面臨供應(yīng)商選擇的情況下, 應(yīng)如何訂購商品以及定價(jià)以實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化.

此時(shí)零售商的利潤(rùn)函數(shù)為

(25)

進(jìn)一步地，雙源供應(yīng)下的利潤(rùn)函數(shù)可寫為

(26)

類似式(7) 的推導(dǎo)，可得其期望利潤(rùn)

=(p-h)(d(p)+με)-[(w1-h)μθQ1+(w2-h)Q2]+

(27)

故這里求解的問題為

針對(duì)雙源供應(yīng)模型, 我們?cè)谝欢ǖ臈l件下證明存在最優(yōu)訂貨量和最優(yōu)定價(jià)使得期望利潤(rùn)達(dá)到最大, 具體見定理2.

定理2若ε在[-l,l]上服從均勻分布, 且

則存在最優(yōu)訂購量(Q1*,Q2*)為

(28)

以及最優(yōu)定價(jià)p*滿足等式

(29)

使得零售商期望利潤(rùn)最大化.

注意到，當(dāng)ε服從[-l,l]上均勻分布時(shí), 根據(jù)式(27)可得

(30)

則

進(jìn)一步地, 有

(31)

進(jìn)一步地, 根據(jù)最優(yōu)訂購量(Q1*,Q2*)可得

=(p-h)(a-bp)-

(31)

將式(31)關(guān)于p分別求一階和二階導(dǎo)數(shù), 有

(32)

注意到

此時(shí)滿足

因此可通過求解方程

(即式(29))來計(jì)算最優(yōu)定價(jià)p*.進(jìn)一步地, 雙源供應(yīng)下的最優(yōu)訂購量為

注意到, 當(dāng)l=0時(shí)定理2所給條件恒成立, 即當(dāng)需求為確定性情形時(shí), 雙源供應(yīng)下庫存定價(jià)聯(lián)合決策有最優(yōu)解.

推論2當(dāng)零售商有雙源供應(yīng)時(shí), 具有下列性質(zhì)：

(ii) 當(dāng)單位售價(jià)p給定時(shí), 對(duì)不可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量Q1*關(guān)于單位缺貨懲罰s以及不可靠供應(yīng)商的單位批發(fā)價(jià)格w1均單調(diào)遞減, 但關(guān)于單位剩余商品殘值h以及可靠供應(yīng)商單位批發(fā)價(jià)格w2單調(diào)遞增.

(iii) 當(dāng)單位售價(jià)p給定時(shí), 對(duì)可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量Q2*關(guān)于單位缺貨懲罰s以及不可靠供應(yīng)商的單位批發(fā)價(jià)格w1均單調(diào)遞增, 但關(guān)于可靠供應(yīng)商單位批發(fā)價(jià)格w2單調(diào)遞減.

證明由定理2可知

故易知最優(yōu)訂購量Q1*關(guān)于β線性遞增.

由于

當(dāng)單位售價(jià)p為給定值時(shí), 雙源供應(yīng)下的最優(yōu)訂購量為

則

故推論2(ii)、(iii)得證.

由推論2可知, 當(dāng)單位售價(jià)p給定值時(shí), 不可靠供應(yīng)商的單位批發(fā)價(jià)格w1越高, 在不可靠供應(yīng)商處的訂購量占零售商訂購商品總數(shù)量的份額越小, 若不可靠供應(yīng)商不再具有成本低廉的優(yōu)勢(shì)時(shí), 即w1=w2, 零售商將只會(huì)選擇向可靠的供應(yīng)商訂購商品, 此時(shí)問題就會(huì)變成求解供應(yīng)可靠下最優(yōu)訂購量的問題.

4 數(shù)值算例

本節(jié)通過數(shù)值模擬研究供應(yīng)不可靠以及雙源供應(yīng)模型中的最大供應(yīng)比率對(duì)最優(yōu)訂購量以及最優(yōu)定價(jià)的影響.

針對(duì)供應(yīng)不可靠下零售商的聯(lián)合決策.假設(shè)商品的單位批發(fā)價(jià)格w=5,單位剩余商品殘值h=1,單位缺貨成本s=3, 隨機(jī)需求D(p,ε)=100-5p+ε, 其中ε服從[-10,10]的均勻分布.令供應(yīng)可靠性參數(shù)β在區(qū)間[1,2]上以0.2個(gè)單位變化, 探討最大供應(yīng)比率對(duì)零售商庫存定價(jià)聯(lián)合決策的影響.由于w

利用Matlab軟件可以求出不可靠供應(yīng)下最優(yōu)定價(jià)p*=14.919, 而根據(jù)式(12)可得在不同供應(yīng)可靠性參數(shù)情況下的最優(yōu)訂購量Q*, 結(jié)果見表1.

表1 供應(yīng)不可靠下最大供應(yīng)比率對(duì)最優(yōu)訂購量的影響Tab.1 The influence of maximum supply ratio on optimal ordering quantity under unreliable supply

由表1可知, 當(dāng)最大供應(yīng)比率1/β逐漸降低時(shí), 零售商的最優(yōu)訂購量逐漸增加, 但最優(yōu)定價(jià)并不會(huì)因?yàn)樽畲蠊?yīng)比率的變化而發(fā)生改變, 并且將所求得的最優(yōu)訂購量以及最優(yōu)定價(jià)代入式(14)中, 可以相應(yīng)求出最優(yōu)期望利潤(rùn)

其中最優(yōu)期望利潤(rùn)也不隨最大供應(yīng)比率的變化而變化, 與推論1所證明的結(jié)論相一致.

針對(duì)雙源供應(yīng)下零售商的聯(lián)合決策.假設(shè)商品從不可靠供應(yīng)商處訂購的單位批發(fā)價(jià)格w1=5, 而從可靠供應(yīng)商處訂購的單位批發(fā)價(jià)格w2=7, 單位剩余商品殘值h=1,單位缺貨成本s=3, 隨機(jī)需求D(p,ε)=100-5p+ε, 其中ε服從[-10,10]的均勻分布.令供應(yīng)可靠性參數(shù)β在區(qū)間[1,2]上以0.2個(gè)單位變化, 探討最大供應(yīng)比率對(duì)零售商庫存定價(jià)聯(lián)合決策的影響.由于w2

利用Matlab軟件可以求出雙源供應(yīng)下的最優(yōu)定價(jià)p*=13.295, 于是根據(jù)式(28)可得對(duì)于可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂貨量Q2*=27.834, 而零售商對(duì)于不可靠供應(yīng)商在不同供應(yīng)可靠性參數(shù)情況下的最優(yōu)訂購量Q1*, 結(jié)果見表2.

表2 雙源供應(yīng)下最大供應(yīng)比率對(duì)不可靠供應(yīng)商最優(yōu)訂購量的影響Tab.2 The influence of maximum supply ratio on optimal ordering quantity of the unreliable supplier under dual sourcing

表2(續(xù))

由表2可知, 當(dāng)最大供應(yīng)比率1/β逐漸降低時(shí), 零售商的最優(yōu)訂購量逐漸增加, 其中對(duì)于可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量沒有變化, 對(duì)于不可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量逐漸增加, 但最優(yōu)定價(jià)也沒有因?yàn)樽畲蠊?yīng)比率的變化而發(fā)生改變, 并且將所求得的最優(yōu)訂購量(Q1*,Q2*)以及最優(yōu)定價(jià)p*代入式(30)中, 可以相應(yīng)求出雙源供應(yīng)下的最優(yōu)期望利潤(rùn)

可知最優(yōu)期望利潤(rùn)不會(huì)隨著最大供應(yīng)比率的變化而變化, 這與推論2(i)所證明的結(jié)論相一致.此外,從兩種不同供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量中并不難看出, 在最大供應(yīng)比率從1降低到0.5之間的某一確定值后, 零售商對(duì)于可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量會(huì)低于不可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量, 即雖然不可靠供應(yīng)商具有不可靠性, 但由于其批發(fā)成本相對(duì)更低, 因此零售商會(huì)選擇向不可靠供應(yīng)商訂購更多的商品以減少由于缺貨所帶來的風(fēng)險(xiǎn).此外, 由上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步可得, 雙源供應(yīng)的最大期望利潤(rùn)比單源供應(yīng)的最大期望利潤(rùn)更高, 因此若零售商可以對(duì)供應(yīng)商源進(jìn)行選擇時(shí), 選擇雙源供應(yīng)將會(huì)使零售商獲得更大的期望利潤(rùn).

5 結(jié)束語

本文主要研究了在需求不確定情況中面對(duì)供應(yīng)不可靠時(shí)單源和雙源供應(yīng)下零售商的最優(yōu)庫存定價(jià)聯(lián)合決策問題.研究發(fā)現(xiàn), 隨機(jī)需求依賴價(jià)格且服從均勻分布的情況下, 零售商面對(duì)供應(yīng)不可靠以及雙源供應(yīng)時(shí)均存在最優(yōu)訂購和定價(jià)聯(lián)合決策, 并且不可靠供應(yīng)商的最優(yōu)訂購量關(guān)于最大供應(yīng)比例遞減，而最優(yōu)定價(jià)和最優(yōu)期望利潤(rùn)與最大供應(yīng)比率無關(guān).

關(guān)于供應(yīng)不可靠下庫存定價(jià)聯(lián)合決策的研究還有許多更實(shí)際更有意義的問題值得探討.比如本文僅考慮了風(fēng)險(xiǎn)中性的情況下零售商的最優(yōu)決策, 沒有考慮零售商為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的情形.此外, 本文僅證明了加式隨機(jī)需求且服從均勻分布的情況下零售商存在最優(yōu)庫存定價(jià)聯(lián)合決策.對(duì)于乘式需求函數(shù)以及一般需求函數(shù)等情形尚未討論, 這些問題都值得進(jìn)一步研究.