薛定諤方程在Berestycki-Lions條件下正解的存在性

薛艷昉, 韓建新

(信陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 河南 信陽 464000)

0 引言

考慮如下薛定諤方程:

-Δu+V(x)u=g(u),x∈Rn,

(1)

其中V:Rn→R是位勢函數(shù),g(u):R→R是非線性項(xiàng)。大量的文獻(xiàn)在不同的位勢下考慮方程(1)解的存在性和多重性。現(xiàn)有文獻(xiàn)中,非線性項(xiàng)一般滿足經(jīng)典的(AR)條件、單調(diào)性條件或非二次條件等,而這些條件是證明山路結(jié)構(gòu)和(PS)序列有界性的關(guān)鍵。

1983年，BERESTYCKI和LIONS在經(jīng)典文獻(xiàn)[1]中討論方程:

-Δu=g(u),

(2)

其中非線性項(xiàng)g(s)∈C(R,R)且滿足如下條件:

(g3) 存在ζ0>0,使得

上述條件(g1)～(g3)被認(rèn)為是目前為止,使得方程(2)有解的幾乎最弱的條件(以下簡稱(BL)條件)。該條件引起了諸多學(xué)者的興趣,被眾多知名學(xué)者從各個(gè)方面進(jìn)行了推廣和應(yīng)用(見文獻(xiàn)[2-4])。其中,AZZOLLINI[2]將文獻(xiàn)[1]中的自治情形推廣到了非自治的情況,即考慮方程(1)解的存在性和非存在性,其位勢V滿足下面的假設(shè):

(V1)V∈C1(Rn,R)。對任意x∈Rn,有V(x)≥0,且在某個(gè)正測集上嚴(yán)格大于號成立;

(V2) ‖(?V(x),x)+‖n/2<2S,其中S是Sobolev嵌入D1,2(Rn)→L2*(Rn)的最佳常數(shù), 即

(V3)V(x) 徑向?qū)ΨQ, 即V(|x|)=V(x);

在文獻(xiàn) [2] 中,V(x) 滿足 (V1)～(V4) 條件,g(s)滿足(g1)～(g3)條件,該文獻(xiàn)得到方程(1)解的存在性。受文獻(xiàn)[2]的啟發(fā),本文也考慮薛定諤方程(1)解的存在性,推廣了文獻(xiàn)[2]中的相關(guān)結(jié)果。

1 預(yù)備知識

引理2(山路引理) 設(shè)E是實(shí)的Banach空間,S是E的閉子集,并且將E分成E1、E2兩個(gè)不同的連通分支。如果I∈C1(E,R)滿足下面的山路幾何結(jié)構(gòu):

(i) 0∈E1并且存在ρ>0,α>0,使得I|S≥α>0;

(ii) 存在e∈E2,‖e‖>ρ,使得I(e)<0,

那么存在序列{un}?E滿足:

I(un)→c≥α,I′(un)→0,

(3)

2 主要結(jié)果及證明

定理1 若g(s)∈C(R,R)且滿足(g1)和(g2),V(x)滿足條件(V1)～(V3)以及

(Vg) 存在ζ>0,使得

則方程(1)存在正解。

證明分五步來完成定理1的證明。

第一步,修正非線性項(xiàng)g(s)。

(4)

當(dāng)s≥0時(shí),令

g1(s)=(g(s)+ms)+,

g2(s)=g1(s)-g(s)。

當(dāng)s<0時(shí),g1(s)=g2(s)=0,則g1≥0,g2≥0且

(5)

(6)

g2(s)≥ms,?s≥0。

(7)

(8)

根據(jù)式(5)～式(8)知,對任意δ>0,存在Cδ>0使得

g1(s)≤Cδ|s|2*-1+δg2(s),

(9)

(10)

(11)

第二步,證明泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(i)。

根據(jù)式(10)、式(11)和Sobolev不等式知，

其中0<δ<1。由上述不等式知,存在足夠小的ρ>0,當(dāng)‖u‖≤ρ,u≠0時(shí),有I(u)≥c>0,從而得到泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(i)。

第三步,證明泛函I滿足山路幾何結(jié)構(gòu)(ii)。

第四步,證明I的每個(gè)(PS)序列有界。

ψ(θ,u)(x)=u(e-θx),

則復(fù)合函數(shù)I°ψ為

(I°ψ)′(θn,un)[e,u]=

I′(ψ(θn,un))[ψ(θn,u)]+

J(ψ(θn,un))e。

令vn=ψ(θn,un),則類似文獻(xiàn)[6-7]可得，

I(vn)→c,I′(vn)→0,J(vn)→0，

即{vn}是I在臨界水平c處的Pohozaev型(PS)序列,也就是

c+on(1),

(12)

(13)

并且

(14)

由H?lder不等式、(V2)和Sobolev不等式得

故存在較小的常數(shù)β>0,使得

(15)

故存在常數(shù)C1>0使得

(16)

再由Sobolev嵌入知,存在常數(shù)C2>0使得

由式(13)得

由上式再結(jié)合式(9)得

從而有

CδC2。

再由式(7)得

(17)

第五步,證明方程(1)有一個(gè)非平凡解。

注記1 與文獻(xiàn)[2]比較,文中位勢函數(shù)和非線性項(xiàng)滿足的條件不同。文獻(xiàn)[2]中,在徑向?qū)ΨQ的條件下,通過文獻(xiàn)[8]中的單調(diào)技巧,得到(PS)序列的有界性,由Strauss引理得到緊性,從而得到正解。此處,借助Pohozaev恒等式,利用山路引理和對稱臨界原理,得到正解的存在性。

注記2 由文獻(xiàn)[5](第2.2部分)知,此處所給的關(guān)于g的條件是使得問題(1)有解的幾乎最弱的條件。

3 結(jié)束語

關(guān)于Berestycki-Lions條件下的薛定諤方程的可解性還有很多值得思考的問題,例如:在其他的位勢下,如強(qiáng)制位勢、周期位勢等,是否也能考慮該問題?本文針對的是次臨界增長的(BL)條件,對臨界增長的情形,是否有類似結(jié)論?此外,是否可以類似文獻(xiàn)[9-11],針對擬線性薛定諤方程考慮(BL)條件?這些都值得我們進(jìn)一步地思考。