帶有恢復(fù)率的隨機(jī)HIV感染模型的滅絕性和平穩(wěn)分布

曹連英，宋孝吉

(東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150040)

0 引言

AIDS(獲得性免疫缺陷綜合癥)是由HIV(人類免疫缺陷病毒)引起的一種非常嚴(yán)重的傳染性疾病.HIV侵入人體時(shí)會(huì)攻擊人體內(nèi)帶有CD+4分子的T細(xì)胞，導(dǎo)致體內(nèi)CD+4T細(xì)胞迅速減少，進(jìn)而破壞人體免疫系統(tǒng)，導(dǎo)致人體對(duì)病毒的抵抗能力迅速下降.伴隨人體抵抗能力下降，各種感染隨之出現(xiàn)，如肺結(jié)核、肺炎、腦炎等，后期常常發(fā)生惡性腫瘤，并由于身體長(zhǎng)期處于消耗狀態(tài)而無(wú)法抵抗，以至全身器官功能衰竭而死亡.

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者[1-5]根據(jù)病毒繁殖機(jī)制和人體自身免疫調(diào)節(jié)理論，建立HIV動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型，研究病毒滅絕與持久的閾值條件.

2014年，Sun[6]等建立了具有恢復(fù)率的HIV感染模型

(1)

其中x=x(t)表示t時(shí)刻未感染的CD+4T細(xì)胞濃度，y=y(t)表示t時(shí)刻被感染的CD+4T細(xì)胞濃度，v=v(t)表示t時(shí)刻HIV的濃度;未感染的細(xì)胞以恒定速率λ產(chǎn)生，d1表示未感染細(xì)胞的正常死亡率，d2表示感染細(xì)胞的死亡率，d3表示HIV的死亡率;a表示HIV從感染的CD+4T細(xì)胞中產(chǎn)生的速率，p表示在潛伏期內(nèi)恢復(fù)到未感染細(xì)胞的速率.Sun[6]等得出：模型(1)的基本再生數(shù)R0=ak1/[d3(d2+p)].當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的無(wú)病平衡點(diǎn)Q1=(λ/d1,0,0)，且是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)存在唯一的地方病平衡點(diǎn)Q2(x*,y*,v*)，且是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，其中

現(xiàn)實(shí)生活中充滿隨機(jī)性，無(wú)時(shí)不刻地受到環(huán)境白噪聲的干擾.環(huán)境白噪聲會(huì)不同程度地影響到出生率、死亡率、競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)和系統(tǒng)的其他參數(shù)[7]，這對(duì)研究隨機(jī)模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)提供了理論基礎(chǔ).Liu等[8]研究具有不同傳染性的高階隨機(jī)HIV模型，得到模型平穩(wěn)分布的充分條件；Ji[9]研究B-D型發(fā)病率的隨機(jī)HIV模型，得到病毒滅絕與持久的閾值條件并且證明了系統(tǒng)存在平穩(wěn)分布的充分條件；Jasmina等[10]基于隨機(jī)SCIA模型研究HIV模型，得到了病毒滅絕和持久的存在條件.

HIV入侵人體后會(huì)對(duì)病毒與正常細(xì)胞的死亡率產(chǎn)生影響，所以在系統(tǒng)(1)的死亡率中引入隨機(jī)擾動(dòng)，即

得到隨機(jī)系統(tǒng)

(2)

其中δ1,δ2,δ3表示噪聲強(qiáng)度，Bi(i=1,2,3)為獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng).

文中首先研究系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性和疾病滅絕的閾值條件，然后給出系統(tǒng)(2)存在平穩(wěn)分布的閾值條件，并證明系統(tǒng)的平穩(wěn)分布；最后，通過(guò)數(shù)值模擬檢驗(yàn)理論分析的有效性.

1 全局正解的存在唯一性

證明應(yīng)用文獻(xiàn)[9]的方法易證系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，對(duì)

系統(tǒng)(2)在t∈[0,τe]時(shí)刻內(nèi)存在唯一的局部解X(t)=(x(t),y(t),v(t))，其中τe為解的爆破時(shí)間[11].為了證明解的全局性只需證明τe=∞幾乎處處成立即可.

設(shè)m0≥1足夠大，使得初值X0的每一個(gè)分量均位于區(qū)間[1/m0,m0]中，對(duì)整數(shù)m≥m0，定義停時(shí)

假設(shè)τ∞≠∞，則存在常數(shù)T>0和ε∈(0,1)使得P{τ∞≤T}>ε,即存在整數(shù)m1≥m0，對(duì)?m≥m1，都有P{τm≤T}≥ε.

其中K是一個(gè)正常數(shù).于是

對(duì)(4)式兩邊從0到τm∧T=min(τm,T)積分，并取期望可得

設(shè)Ωm={τm≤T}，m≥m1,則P(Ωm)≥ε.對(duì)?ω∈Ωm，由停時(shí)的定義，x(τm,ω),y(τm,ω),v(τm,ω)中至少有一個(gè)等于m或1/m，因此

由(5)式可得

其中IΩm(ω)為Ωm(ω)的示性函數(shù).當(dāng)m→∞時(shí)，有∞>V(x(0),y(0),v(0))+KT=∞，矛盾.因此必有τ∞=∞幾乎處處成立 】.

2 疾病的滅絕性

其中

顯然

令

顯然M1(t),M2(t)是連續(xù)局部鞅.由鞅的強(qiáng)大數(shù)定律，幾乎處處有

(9)

對(duì)(6)式兩邊從0→t積分，有

對(duì)(10)式兩邊同除以t并取極限可得

3 平穩(wěn)分布

引理1[12]假設(shè)X(t)是En(n維歐幾里得空間)中的一個(gè)自治Markov過(guò)程，定義為

其擴(kuò)散矩陣

Markov過(guò)程X(t)有唯一的平穩(wěn)遍歷分布μ(·).如果存在一個(gè)有正則邊界Γ的有界區(qū)域U∈En且滿足下列性質(zhì)：

(A1)存在一個(gè)常數(shù)K，使得

(A2)存在一個(gè)非負(fù)的C2函數(shù)V,使得對(duì)EnU有LV<0，則

其中0<θ<1是一個(gè)常數(shù)，滿足

類似地，有

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的不等式

有

其中

將(14)～(17)式代入(13)式可得

構(gòu)造緊子集

這里

情況1：(x,y,v)∈U1.此時(shí)

情況2:(x,y,v)∈U2.此時(shí)

因?yàn)?/p>

情況3:(x,y,v)∈U3.此時(shí)

情況4:(x,y,v)∈U4.此時(shí)

情況5:(x,y,v)∈U5.此時(shí)

情況6:(x,y,v)∈U6.此時(shí)

4 數(shù)值模擬

應(yīng)用文獻(xiàn)[14]Milstein高階方法，得到系統(tǒng)(2)的迭代方程為

其中ε1k,ε2k和ε3k(k=1,2,…,n)是獨(dú)立高斯隨機(jī)變量N(0,1),δi(i=1,2,3)是白噪聲強(qiáng)度.

圖1 y(t),v(t)依概率1滅絕

圖2 x的隨機(jī)模擬頻率柱狀圖

5 結(jié)論