強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模

張翠萍，楊銀銀

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

0 引言

1969年，Auslander等[1]對雙邊Noetherian環(huán)上有限生成模引入了G-維數(shù)的定義，此后，Enochs等[2-3]對一般環(huán)引入了Gorenstein投射(內(nèi)射， 平坦)模的概念．2007年，Bennis等[4]研究了強(qiáng)Gorenstein投射(內(nèi)射, 平坦)模;丁南慶等[5-6]研究了Gorenstein FP-內(nèi)射模、Gorenstein平坦模的性質(zhì)及其聯(lián)系;高增輝等[7]給出了Gorenstein FP-內(nèi)射模的另一種定義，并研究了其性質(zhì)以及強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模的性質(zhì)．

近年來，分次環(huán)的同調(diào)理論在代數(shù)幾何中得到了廣泛應(yīng)用.1998年，Asensio等[8-9]引入了Gorenstein gr-投射(內(nèi)射, 平坦)模，討論了這些模類的性質(zhì)以及與未分次下相應(yīng)模類之間的關(guān)系，進(jìn)而文獻(xiàn)[10-11]研究了分次模范疇中模的Gorenstein投射(平坦)覆蓋及Gorenstein內(nèi)射包絡(luò)．毛立新[12]研究了強(qiáng)Gorenstein gr-投射(內(nèi)射, 平坦)模，得到了許多與未分次情況下類似的結(jié)論．2000年，Asensio等[13]引入了FP-gr-內(nèi)射模并刻畫了其性質(zhì)．2011年，Yang等[14]進(jìn)一步研究了FP-gr-內(nèi)射模以及分次模的FP-gr-內(nèi)射包絡(luò)和FP-gr-內(nèi)射覆蓋．2018年,高增輝等[15]把Gorenstein FP-內(nèi)射模的相關(guān)性質(zhì)推廣到了分次環(huán)上．

受以上工作的啟發(fā)，文中研究強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模的性質(zhì)，討論強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模與強(qiáng)Gorenstein gr-平坦模之間的關(guān)系以及這類模在分次與未分次之間的聯(lián)系．

1 預(yù)備知識

除非特別說明，文中環(huán)均指有單位元1的結(jié)合環(huán)，模均指酉模．

設(shè)G是乘法群，e為其單位元．稱環(huán)R為分次環(huán)，如果它有一個加法子群的直和分解R=⊕σ∈GRσ,使得對任意的σ,τ∈G，有RσRτ=Rστ．易得Re是R的一個子環(huán)，1∈Re且對任意σ∈G，Rσ是Re-雙模．稱左R-模M是分次左R-模，如果M有一個加法子群的直和分解M=⊕σ∈GMσ，使得對任意σ,τ∈G，有RσMτ?Mστ．顯然對任意σ∈G，Mσ是左Re-模．

定義1[12]稱分次左R-模M是強(qiáng)Gorenstein gr-平坦模，如果在R-gr中存在一個gr-平坦左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意的gr-內(nèi)射右R-模I，有I?R-grF正合．

定義2[15]稱分次左R-模M是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模，如果存在一個FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Ker(E0→E1)，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

定義3[17]稱左R-模M是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模，如果存在一個FP-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示左R-模P，有HomR(P,E)正合．

2 強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模

定義4設(shè)R是分次環(huán)．稱分次左R-模M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模，如果在R-gr中存在一個FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數(shù)有限的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

注1由定義4可知，強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模類關(guān)于直積封閉；強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射的．

證明必要性.顯然．

充分性.設(shè)在R-gr中存在正合列0→M→E→M→0，其中E是FP-gr-內(nèi)射左R-模，則有正合列

命題2設(shè)R是分次環(huán)，則每個FP-gr-內(nèi)射左R-模是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射的．

文獻(xiàn)[12]定理2.4證明了每個Gorenstein gr-內(nèi)射左R-模是某個強(qiáng)Gorenstein gr-內(nèi)射左R-模的直和項．

定理1設(shè)R是分次環(huán)，則每個Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模是某個強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模的直和項．

證明設(shè)M是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，則在R-gr中存在FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerf0，且對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．

設(shè)N=∏Ei，則N是FP-gr-內(nèi)射左R-模，定義f:N→N．令f=∏f，易得f∈HomR-gr(N,N)，在R-gr中得到復(fù)形

又因為Imf=∏Imfi=∏Kerfi=Kerf，所以復(fù)形C是正合的．對任意的有限表示分次左R-模P且pd(P)<∞，有

HomR-gr(P,C)?(HomR-gr(P,E))N.

由HomR-gr(P,E)正合可知HomR-gr(P,C)正合,故M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模． 】

文獻(xiàn)[15]定理2.1證明了在左gr-凝聚環(huán)上，分次左R-模M是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)存在定義2中的正合列．類似可得下列結(jié)論．

定理2設(shè)R是左gr-凝聚環(huán)，M∈R-gr，則M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)存在一個FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα．

證明必要性.顯然．

充分性.設(shè)存在一個FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα．只需證明對任意滿足pd(P)<∞的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．不妨設(shè)pd(P)=m<∞，對m進(jìn)行歸納．

若m=0， 則結(jié)論顯然成立．

定義分次左R-模M的Gorenstein FP-gr-內(nèi)射維數(shù)為：G-FP-gr-idR(M)=inf{n|存在正合列0→M→E0→E1→…→En→0，其中Ei是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模}．如果這樣的n不存在，則記G-FP-gr-idR(M)=∞．

命題3設(shè)R是左gr-凝聚環(huán)，則以下各結(jié)論等價：

(1)每個強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模是FP-gr-內(nèi)射的；

(2)每個Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模是FP-gr-內(nèi)射的；

(3)對每個分次左R-模M，G-FP-gr-idR(M)=FP-gr-idR(M)．

證明(1)?(2).設(shè)M是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，則由定理1可知，存在強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模N，使得M是N的直和項．由已知N是FP-gr-內(nèi)射左R-模，故M是FP-gr-內(nèi)射左R-模．

(2)?(1).設(shè)M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，由注1知，M是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，故M是FP-gr-內(nèi)射左R-模．

(2)?(3).設(shè)M是分次左R-模，由文獻(xiàn)[14]引理3.7知,G-FP-gr-idR(M)≤FP-gr-idR(M)．下面證明FP-gr-idR(M)≤G-FP-gr-idR(M)．假設(shè)G-FP-gr-idR(M)=m<∞，則存在正合列0→M→E0→…→Ei→…→Em→0,其中Ei是Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，0≤i≤m．由(2)知，Ei是FP-gr-內(nèi)射的．由文獻(xiàn)[14]引理3.7知，F(xiàn)P-gr-idR(M)≤m，故G-FP-gr-idR(M)=FP-gr-idR(M)．

(3)?(2)顯然． 】

文獻(xiàn)[12]定理3.10討論了強(qiáng)Gorenstein gr-平坦模和強(qiáng)Gorenstein gr-內(nèi)射模之間的關(guān)系，以下我們討論強(qiáng)Gorenstein gr-平坦模和強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模之間的關(guān)系．

命題4設(shè)R是左gr-凝聚環(huán)，M∈R-gr．如果M是強(qiáng)Gorenstein gr-平坦的，那么M+是強(qiáng)Gorenstein FP gr-內(nèi)射右R-模．

證明設(shè)M是強(qiáng)Gorenstein gr-平坦的，則在R-gr中存在gr-平坦左R-模的正合列

使得M?Kerα．由文獻(xiàn)[13]定理3.5知，存在FP-gr-內(nèi)射右R-模的正合列

使得M+?Ker(α+)．再由定理2知，M+是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射右R-模． 】

稱環(huán)R是gr-n-FC環(huán)，如果R是左右gr-凝聚環(huán)，且RR,RR分別有有限FP-gr-內(nèi)射維數(shù)[9]．

命題5設(shè)R是gr-n-FC環(huán)，M∈R-gr．如果M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，那么M+是強(qiáng)Gorenstein gr-平坦右R-模．

證明設(shè)M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射左R-模，則在R-gr中存在FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα．由文獻(xiàn)[13]定理3.7知，存在gr-R中的正合列

使得M+?Ker(α+)，E+是gr-平坦的．由文獻(xiàn)[12]定理3.10知，M+是強(qiáng)Gorenstein gr-平坦右R-模． 】

設(shè)U:R-gr→R-Mod是遺忘函子，它把R-gr中的分次左R-模M映成不考慮分次結(jié)構(gòu)的左R-模M．令F:R-Mod→R-gr是U的右伴隨函子，它把R-Mod中的左R-模M映成分次左R-模F(M)，其中F(M)=⊕σ∈GσM,σM=M,σM中的元記為：σM={σx|x∈M},R-模結(jié)構(gòu)定義為：r*τx=τσ(rx).如果f:M→N是R-線性的，則F(f)：F(M)→F(N)是一個分次態(tài)射，其中F(f)(σx)=σf(x)．特別地，當(dāng)G是有限群時，由文獻(xiàn)[19]定理2.5.1知，(F,U)是一個伴隨對．

下面討論強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模與強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模之間的關(guān)系．

命題6設(shè)R是分次環(huán)，M∈R-gr．如果M是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模，那么F(M)是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射的．

證明設(shè)M是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射模，則存在FP-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數(shù)有限的有限表示左R-模P，有HomR(P,E)正合．因為F是正合函子，所以有R-gr中的正合列

使得F(M)?Ker(F(α))．由文獻(xiàn)[14]引理2.3知，F(xiàn)(E)是FP-gr-內(nèi)射的．

設(shè)Q是任意投射維數(shù)有限的有限表示分次左R-模，下證HomR-gr(Q,F(E))正合．因為(U,F)是伴隨對，所以有同構(gòu)式

HomR(U(Q),-)?HomR-gr(Q,F(-)),

從而得到交換圖

由于U(Q)是投射維數(shù)有限的有限表示左R-模，上圖中的下行正合，因此上行是正合的，即有HomR-gr(Q,F(E))正合．從而F(M)是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射的． 】

命題7設(shè)R是分次環(huán)，G是有限群，M∈R-gr．如果M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模，那么U(M)是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射的．

證明設(shè)M是強(qiáng)Gorenstein FP-gr-內(nèi)射模，則存在FP-gr-內(nèi)射左R-模的正合列

使得M?Kerα，且對任意投射維數(shù)有限的有限表示分次左R-模P，有HomR-gr(P,E)正合．因為U是正合函子，所以存在左R-模正合列

使得U(M)?Ker(U(α))．由文獻(xiàn)[14]推論2.4知，U(E)是FP-內(nèi)射的．

設(shè)Q是任意投射維數(shù)有限的有限表示左R-模，下證HomR(Q,U(E)正合．因為G是有限群，所以有同構(gòu)式

HomR-gr(F(Q),-)?HomR(Q,U(-)),

從而得到交換圖

因為G是有限群，所以F(Q)是投射維數(shù)有限的有限表示分次左R-模，上圖中下行正合，從而有上行正合，即HomR(Q,U(E))正合．故U(M)是強(qiáng)Gorenstein FP-內(nèi)射的． 】