Frobenius雙模和Gorenstein AC-平坦模

王占平，白 潔

(西北師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

作為平坦模在Gorenstein同調代數(shù)中的對應,1993年,Overtoun等[1]引入了Gorenstein平坦模,并研究了其性質.2009年,Ding等[2]定義了強Gorenstein平坦模.2010年, Gillespie[3]將強Gorenstein平坦模稱為Ding投射模,并進一步研究了其性質.為了研究一般環(huán)上的穩(wěn)定模范疇,2014年,Bravo等[4]引入了FP∞型模、絕對clean模和Gorenstein AC-投射模.2019年,Iacob[5]引入了Gorenstein AC-平坦模,并研究了其性質.

1954年,Kasch[6]以Frobenius代數(shù)為基礎,引入了Frobenius擴張.1960年,Nakayam等[7]和Morita[8]對Frobenius擴張做了進一步研究.1999年,Kadison[9]深入研究了Frobenius擴張,并且引入了Frobenius雙模的概念.近來，Ren[10-12]研究了Frobenius擴張上的Gorenstein投射(內射, 平坦)模及其維數(shù),Hu等[13]研究了Frobenius函子和Gorenstein平坦模之間的關系.

受以上結論的啟發(fā),文中研究Frobenius雙模和Gorenstein AC-平坦模之間的關系.

文中環(huán)R和S均是有單位元的結合環(huán),模均指酉模.所有的左R-模(或者左S-模)表示為R-模(或者S-模),所有的右R-模(或者右S-模)表示為ROP-模(或者SOP-模).對任意環(huán)R,RM表示所有R-模的范疇且MR表示所有ROP模的范疇,SMR表示M是一個(S,R)-雙模.F(R)表示所有平坦R-模構成的類.

1 Frobenius 雙模和 Gorenstein AC-平坦模

定義1[9]稱(S,R)-雙模M是Frobenius雙模，如果滿足以下條件：

(1)模SM和MR都是有限生成投射模;

(2)存在(R,S)-雙模的同構：

*M:=RHomS(M,S)S?RHomROP(M,R)S=:M*.

稱S?R是Frobenius擴張[7],如果SR是有限生成投射S-模,且RRS?HomS(SR,SS).此定義等價于RS是有限生成投射SOP-模,且SRR?HomSOP(RS,SS).在這種情況下,SRR和RRS均是Frobenius雙模.

定義2[4]稱R-模X是FP∞型模,如果存在X的投射分解

…→P2→P1→P0→X→…,

其中對任意的i≥0,Pi是有限生成投射模.當環(huán)R是左Noetherian環(huán)時,FP∞型R-模是有限生成R-模;當R是左凝聚環(huán)時,FP∞型R-模是有限表示R-模.

以下FJ∞(R)表示絕對cleanR-模類.

注1[4]環(huán)R是左凝聚環(huán)當且僅當每個絕對cleanR-模就是絕對純R-模.

定義4[5]稱R-模W是Gorenstein AC-平坦模,如果存在平坦R-模的正合序列

F: …→F2→F1→F0→F0→F1→…,

使得W?Ker(F0→F1),且對任意ROP-模E∈FJ∞(ROP),有E?RF正合.

記GFAC(R)為所有Gorenstein AC-平坦R-模構成的類.顯然,Gorenstein AC-平坦模是Gorenstein平坦模.

引理1[9,14]設R和S是環(huán),SMR是Frobenius雙模,令N:=*M, 則以下結論成立:

(1)RNS是Frobenius雙模；

(2)M?R-?HomR(N,-):RM→SM,

N?S-?HomS(M,-):SM→RM；

(3)HomROP(M,-)?-?RN:MR→MS,

HomSOP(N,-)?-?SM:MS→MR；

(4)若X是投射(內射, 平坦)R-模,則M?RX是投射(內射, 平坦)S-模；

(5)若Y是投射(內射, 平坦)S-模,則HomS(M,Y)是投射(內射, 平坦)R-模;

(6)對任意的i≥0及任意的S-模X和R-模Y,有

(7)對任意的i≥0及任意的ROP-模X和R-模Y,有

文獻[16]給出了Frobenius函子的概念.設A和B均是Abel范疇,F:A→B,G:B→A是函子.稱函子對(F,G)是Frobenius對,如果G既是F的左伴隨又是它的右伴隨.稱函子F:A→B是Frobenius函子,如果對于函子G:B→A, (F,G)是Frobenius對.

根據(jù)文獻[16]可知,函子F:RM→SM是Frobenius函子當且僅當存在Frobenius雙模SMR使得F?M?R-.

引理2[13]設SMR是Frobenius雙模,N:=*M且F:M?R-:RM→SM是Frobenius函子, 則以下結論等價:

(1)F是忠實函子；

(2)RN是生成子；

(3)MR是生成子；

(4)MR是忠實的；

(5)對任意的R-模X,映射φX:X→HomS(M,M?RX)(φX(x)(m)=m?Rx)是單同態(tài),其中x∈X且m∈M;

(6)對任意的ROP-模Y,映射ψY:HomROP(M,Y)?SM→Y(ψY(f?Sm)=f(m))是滿同態(tài),其中f∈HomROP(M,Y)且m∈M;

(7)對任意的R-模P∈P(R),映射ΦP:N?SHomR(N,P)→P(ΦP(n?Sf)=f(n))是滿同態(tài),其中f∈HomR(N,P)且n∈N;

(8)對任意的ROP-模E∈J(ROP),映射θE:E→HomSOP(N,E?RN)(θE(x)(n)=x?Rn)是單同態(tài),其中x∈E且n∈N.

引理3設SMR是Frobenius雙模.

(1)若X是FP∞型R-模,則M?RX是FP∞型S-模；

(2)若Y是FP∞型S-模,則HomS(M,Y)是FP∞型R-模.

證明(1)因為X是FP∞型R-模,所以存在X的投射分解

P: …→P2→P1→P0→X→0,

其中對任意i≥0,Pi是有限生成投射R-模.因為SMR是Frobenius雙模,所以用M?R-作用于上述序列,可得S-模的正合列

因為M?RPi是有限生成投射S-模,所以M?RP是M?RX的有限生成投射分解.故M?RX是FP∞型S-模.

(2)因為Y是FP∞型S-模,所以存在Y的投射分解

引理4設SMR是Frobenius雙模.

(1)若X是絕對cleanR-模,則M?RX是絕對cleanS-模;

(2)若Y是絕對cleanS-模,則HomS(M,Y)是絕對cleanR-模.

定理1設SMR是Frobenius雙模.

(1)若X是Gorenstein AC-平坦R-模,則M?RX是Gorenstein AC-平坦S-模;

(2)若Y是Gorenstein AC-平坦S-模,則HomS(M,Y)是Gorenstein AC-平坦R-模.

證明(1)因為X是Gorenstein AC-平坦R-模,所以存在平坦R-模的正合列

F: …→F1→F0→F-1→F-2→…,

使得X?Ker(F-1→F-2),且對任意ROP-模E∈FJ∞(ROP),有E?RF正合.因為Fi是平坦R-模,所以M?RFi是平坦S-模.因此

是平坦S-模的正合序列,且M?RX?Ker(M?RF-1→M?RF-2).

設B是絕對cleanSOP-模,則B?SM是絕對cleanROP-模,因此(B?SM)?RF正合.由同構(B?SM)?RF?B?S(M?RF)知，B?S(M?RF)正合.因此M?RX是Gorenstein AC-平坦S-模.

(2)因為Y是Gorenstein AC-平坦S-模,所以存在平坦S-模的正合列

是平坦R-模的正合序列,且

設E是絕對cleanROP-模,則HomROP(M,E)是絕對cleanSOP-模,故HomROP(M,E)?SF′正合.令N: =*M.因為SMR是Frobenius雙模,所以RNS是Frobenius雙模,且HomROP(M,E)?E?RN.由同構

知,E?RHomS(M,F′)正合. 所以HomS(M,Y)是Gorenstein AC-平坦R-模. 】

引理5設X是R-模，則以下結論等價:

(1)X是Gorenstein AC-平坦R-模;

0→X→F0→F1→F2→…;

(3)存在短正合列0→X→F→G→0,其中F是平坦模,G是Gorenstein AC-平坦模.

引理6[5，15]GFAC(R)關于擴張和直和項封閉.

定理2設SMR是Frobenius雙模,MR是生成子.若任意絕對cleanROP-模B是HomROP(M,B)?SM的直和項,則R-模X是Gorenstein AC-平坦模當且僅當M?RX是Gorenstein AC-平坦S-模.

證明必要性.由定理1可得.

充分性.設X是R-模,使得M?RX是Gorenstein AC-平坦S-模.以下證明X是Gorenstein AC-平坦R-模.

設B是絕對cleanROP-模,則HomROP(M,B)是絕對cleanSOP-模.因為M?RX是Gorenstein AC-平坦S-模,所以對任意的i≥0,有

由同構

由定理1可知,HomS(M,M?RX)是一個Gorenstein AC-平坦R-模.因此存在短正合序列

0→HomS(M,M?RX)→F0→L1→0,

考慮下列推出圖

用M?R—作用后,得到

0→X→F0→F1→F2→…,

使得對任意的ROP-模Q∈FJ∞(ROP),有Q?R-正合.故X是Gorenstein AC-平坦R-模. 】