加速度地震記錄服從三維高斯分布的證明與應(yīng)用

馬 亮 盧建旗 程建武

1 甘肅省地震局，蘭州市東崗西路450號，7300002 中國地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱市學(xué)府路29號，150080

地殼內(nèi)的介質(zhì)具有不均勻性和各向異性[1]，其波質(zhì)點的概率密度呈橢球分布，被稱為偏振橢球模型，并表現(xiàn)出核心密集、外層松散的特點。在三維空間，按時間序列繪制的位移記錄散點動畫就是波質(zhì)點振動的軌跡[2]，而位移記錄的三維靜態(tài)散點圖物理意義十分明確，旨在反映波質(zhì)點在空間的概率密度分布，不反映波質(zhì)點出現(xiàn)的先后順序。

在以偏振橢球模型和加速度記錄三分量的協(xié)方差矩陣為橋梁計算震中方位角的研究中，美國與中國的學(xué)者習(xí)慣用地震記錄的三分量數(shù)組計算震中方位角；而日本的學(xué)者則習(xí)慣用地震記錄的水平兩分量計算震中方位角或震中方位角的補角[3-4]，再結(jié)合垂直分量進行校正。另外，對協(xié)方差矩陣求解震中方位角數(shù)理過程的研究較少，大多在輸入地震記錄后直接用協(xié)方差矩陣或徑向能量法求解方位角，沒有論證協(xié)方差矩陣的數(shù)理過程，本文對此進行補充。

1 計算原理與數(shù)據(jù)準備

地震波在均勻的各向同性介質(zhì)中傳播時，根據(jù)胡克定律：

F=-k·Δx

(1)

質(zhì)點的加速度方向(受力方向)總是跟質(zhì)點的位移方向相反。質(zhì)點的加速度方向與位移方向有2種情況：1)當質(zhì)點的運動方向背離平衡位置時，加速度方向與位移方向相同；2)當質(zhì)點的運動方向指向平衡位置時，加速度方向與位移方向相反。

在這樣的各向同性介質(zhì)中，P波和S波都沒有偏振現(xiàn)象，其質(zhì)點呈線性往復(fù)運動[1]，質(zhì)點的軌跡痕跡是一條線段AB，即理想軌跡線，且P波質(zhì)點在任意時刻的位移、速度、加速度矢量與P波的波射線必共線，表現(xiàn)出四線合一的特點，這是求解震中方位角的理論依據(jù)。

本文選用日本強震基巖觀測網(wǎng)CHBH強震臺的加速度數(shù)據(jù)，臺站坐標為140.023 8°E、35.793 4°N，高程為-2 277 m，儀器采樣率為100 Hz，記錄持時187 s，震中距為150.494 1 km，震中方位角為70.983 7°，發(fā)震時間為2008-05-08 01:45:00，震中位于141.610°E、36.224°N，震級為7.0級，震源深度為51 km。以加速度三分量的時程數(shù)據(jù)為三維坐標系的三軸坐標，可以繪出以原點O為起點的加速度矢量端點密度分布圖。與位移三分量時程數(shù)據(jù)的三維散點圖不同，這類圖不表示波質(zhì)點的軌跡狀態(tài)，而反映波質(zhì)點的受力方向。由P波四線合一的性質(zhì)可知，這些散點的線性回歸方程對應(yīng)的直線必然無限趨近于震中。

2 P波質(zhì)點加速度矢量的端點概率密度

研究認為，利用加速度地震記錄在P波到達前0.6 s時求出的震中方位角誤差最小[3-4]；也有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，利用加速度地震記錄在P波到達前0.2 s時求出的震中方位角誤差最小[5]。由于前2 s的采樣點太少，本文取0.3～2.7 s的窗口繪制散點圖，以研究P波的線性特征。

圖1采用CHBH臺井下三分量地震記錄加速度數(shù)據(jù)來表現(xiàn)以原點O為起點的P波質(zhì)點加速度矢量的端點概率密度分布。結(jié)果表明，初至P波到達后的第0.6 s，窗口內(nèi)波質(zhì)點的受力矢量方向幾乎共線；0.9～1.5 s窗口內(nèi)質(zhì)點的受力矢量出現(xiàn)法向分量，但概率密度呈橢球形展布；1.8～2.1 s窗口內(nèi)質(zhì)點受力矢量的法向分量開始向理想軌跡線AB的兩端擴散；2.1～2.7 s窗口內(nèi)質(zhì)點受力矢量的法向分量不僅向理想軌跡線AB的兩端擴散，而且矢量范數(shù)劇烈增加，范數(shù)值甚至達到徑向分量的一半，使得概率密度分布的外輪廓呈橢圓形。

圖1 以原點O為起點的P波質(zhì)點加速度矢量的端點概率密度分布Fig.1 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the P-wave with the origin O as the starting point

圖2也采用CHBH臺井下三分量地震記錄加速度數(shù)據(jù)，來表現(xiàn)以原點O為起點的P波到達后第10～25 s質(zhì)點加速度矢量的端點概率密度分布。注意到圖2的坐標軸刻度范圍擴大到圖1的10倍以上，表明在地震波到達后10～25 s內(nèi)波質(zhì)點所受的外力迅速增大，達到了圖1的10倍左右。由圖2可知，在地震波到達后10～16 s，窗口內(nèi)波質(zhì)點的受力矢量端點概率密度呈飽滿的橢圓形分布；19 s后開始演變?yōu)閳A形，并逐步失去線性特征；25 s后質(zhì)點的受力矢量法向分量的范數(shù)超過徑向分量，表明S波已經(jīng)到達。

圖2 以原點O為起點的P波第10～25 s質(zhì)點加速度矢量的端點概率密度分布Fig.2 Probability density distribution of the end pointof the acceleration vector of the particle in the 10 to 25 s of the P-wave starting from the origin O

3 加速度記錄服從高斯分布的檢驗

將初至P波的時間窗口劃分為5 s、10 s、15 s，再分別檢驗3個窗口內(nèi)P波NS、EW及UD分量的概率密度分布，其中每個窗口有3個分量，共9組數(shù)據(jù)樣本，每個樣本的期望μ和方差σ如表1所示。

表1 加速度三分量記錄的期望μ與標準差σ

利用假設(shè)檢驗方法判斷地磁低點時間是否服從高斯分布。設(shè)某一隨機變量x(-3

a≥-3,b≤3

(2)

將表1中各組樣本的期望μ與標準差σ代入公式a=μ-σ、b=μ+σ中，求出a、b，再將a、b代入式(2)求出各組樣本在(μ-σ，μ+σ)區(qū)間內(nèi)的概率，即p(μ-σ

頻率分布直方圖能直觀反映加速度記錄的幅值落在任意區(qū)間的頻次，其概率密度曲線能直觀反映加速度幅值在連續(xù)區(qū)間上的頻次變化趨勢，對認識加速度記錄的分布規(guī)律具有重要意義，同時也是判斷加速度記錄是否服從高斯分布的重要依據(jù)。從圖3可以看出，頻率分布直方圖呈鐘形分布，其外輪廓與相同期望、方差的高斯密度曲線較為接近，這與加速度地震記錄服從高斯分布的預(yù)期一致。圖3直觀地反映出初至P波在持續(xù)時間不同的窗口中幅值的概率密度分布差異很大，窗口越短加速度記錄幅值的標準差越小。

圖3 加速度三分量記錄的頻率分布直方圖和與其相同期望、方差的高斯概率密度曲線Fig.3 Frequency distribution histogram of three component acceleration record and Gaussian probability density curve with the same expectation and variance

4 置信橢圓與偏振橢球

在已獲得加速度記錄但未獲得位移記錄的前提下，要求出偏振橢球模型的長軸、次長軸、短軸的矢量坐標，就必須先證明加速度記錄的P波質(zhì)點隨機震動的受力矢量服從三維高斯分布。三維高斯分布在空間上的置信區(qū)域是一個概率密度橢球體Σ(類似于電子云模型)，即離幾何中心越近，P波質(zhì)點的加速度矢量端點出現(xiàn)的幾率越高(圖1和2)。根據(jù)三維高斯分布的定義，概率密度橢球體Σ三軸的長度、方向及橢球的旋轉(zhuǎn)角度可通過分解加速度記錄的協(xié)方差矩陣得到。根據(jù)P波四線合一的性質(zhì)，偏振橢球長軸的延長線必經(jīng)過震中，可通過求解偏振橢球的長軸參數(shù)求出震中方位角(圖4)。

圖4 三維高斯分布在快速計算震中方位角中的橋梁作用Fig.4 The role of 3D Gaussian distribution in fast calculation of epicenter azimuth

加速度記錄偏振橢球的長軸可看作是加速度矢量的主矢[3-4]，次長軸和短軸可看作是加速度矢量法向偏差的主矢，那么加速度記錄的偏振橢球就是質(zhì)點受力矢量端點的集合。多數(shù)隨機誤差都服從高斯分布，不失一般性，P波質(zhì)點在三維空間中的振動幅值變化服從三維高斯分布。如果P波和S波在地球的不均勻介質(zhì)中傳播，長周期地震記錄的波質(zhì)點運動也呈線性特征；而短周期地震記錄的波質(zhì)點運動在平面上呈現(xiàn)出更橢圓或無規(guī)律的軌跡；在更短周期的高頻信號中，波質(zhì)點運動顯現(xiàn)出無規(guī)律的軌跡[1]。對同一地震記錄作長周期濾波后，保留的短周期記錄的線性會顯著下降。

簡言之，波質(zhì)點運動有2個特點：1)波質(zhì)點運動的線性規(guī)律會隨著介質(zhì)的不均勻性和各向異性的增強而下降；2)波質(zhì)點運動的線性規(guī)律會隨著地震信號頻率的升高而下降，下降后呈現(xiàn)出更橢圓或無規(guī)律的軌跡，從而在平面內(nèi)呈現(xiàn)出更橢圓、在空間內(nèi)呈現(xiàn)出橢球狀的偏振橢球。實際上，P波在不均勻介質(zhì)中傳播時速度記錄也有對應(yīng)的偏振橢球模型，但這種橢球模型不能反映出波質(zhì)點的運動軌跡，僅能看作是以原點O為起點的速度矢量端點的概率密度分布。

5 結(jié) 語

對協(xié)方差矩陣進行分析能夠計算出偏振橢球的幾何參數(shù)，其原理是將波質(zhì)點的運動看作結(jié)構(gòu)隨機的振動，將質(zhì)點偏離線性運動軌跡線的距離看作隨機誤差，這種隨機誤差恰好服從三維高斯分布，從而用高斯分布的特性(置信橢圓)求出偏振橢球的幾何參數(shù)。主要結(jié)論如下：

1)P波的先至性、純凈性、強線性使其能很好地滿足地震預(yù)警快速反應(yīng)的特點，初至P波擁有其他地震波不具備的四線合一性質(zhì)。

2)加速度記錄不能像位移記錄一樣表現(xiàn)質(zhì)點的運動軌跡，但由于P波的四線合一性質(zhì)，使得加速度記錄也可用來求取震中方位角。

3)加速度記錄的三分量各自獨立地服從高斯分布，加速度記錄整體服從三維高斯分布。

加速度記錄服從三維高斯分布在快速地震定位中有著非常重要的應(yīng)用。根據(jù)置信橢球的定義，當滿足三維高斯分布條件時，利用地震記錄三分量的協(xié)方差矩陣可計算出偏振橢球的長軸、次長軸和短軸矢量，從而求出震中方位角，該過程完美展示了三維高斯分布的置信橢球、地震記錄的協(xié)方差矩陣與地震記錄的偏振橢球之間的物理關(guān)系。