廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子的動力學響應與隔振效果研究

唐建花, 李向紅,3, 王 敏, 申永軍, 李壯壯

(1.石家莊鐵道大學 數(shù)理系,石家莊 050043； 2.石家莊鐵道大學 機械工程學院,石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室,石家莊 050043)

非線性系統(tǒng)在各種擾動下會產(chǎn)生許多復雜的現(xiàn)象，如主共振、超諧共振、亞諧共振、內(nèi)共振等，求解該類系統(tǒng)的方法有很多，如平均法、增量諧波平衡法、改進的諧波平衡法、改進的多尺度法等[1-7]。當激勵頻率和系統(tǒng)的固有頻率接近時，系統(tǒng)往往會發(fā)生共振。在工程設計過程中，如果合理設計參數(shù)，可有效避開共振帶來的危險因素；同時，在某些情況下，也可更好地利用有效振動。針對非線性系統(tǒng)共振的研究，許多學者已經(jīng)做了大量的工作，Nayfeh[8]針對單自由度系統(tǒng)，通過添加具有適當振幅和相位的超諧波激勵來減少、消除或增強共振的響應。Glebov等[9]討論了WKB法在主共振方程攝動問題中的適用性。Sun等[10]通過調(diào)制不同周期信號或噪聲水平來控制、激發(fā)或抑制雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的共振行為。毛曉曄等[11]用多尺度法研究了超臨界流速輸液管在3∶1內(nèi)共振條件下的穩(wěn)態(tài)幅頻響應。Xia等[12]揭示了在超臨界狀態(tài)下Timoshenko管道強迫振動的多重共振響應。Mao等[13]提出了一種解決具有強非線性和非均勻邊界條件結構振動的分析方法，并將其用到鋼筋的縱向振動和非線性扭轉邊梁中，發(fā)現(xiàn)該方法對具有非線性和非均勻邊界條件的復雜結構的振動分析具有很好的作用。胡宇達等[14-15]分別研究了軸向變速運動載流梁的聯(lián)合共振和旋轉運動圓環(huán)板、導電旋轉圓板在磁場環(huán)境下的動力學行為。

近年來，有些學者發(fā)現(xiàn)分數(shù)階微分更能描述材料分數(shù)階黏彈性特征，因此，對系統(tǒng)主共振的研究逐漸由整數(shù)階向分數(shù)階拓展。Shen等[16-18]用平均法和增量諧波平衡法計算了分數(shù)階微分自激系統(tǒng)、非線性時滯分數(shù)階系統(tǒng)和單自由度分數(shù)階分段光滑系統(tǒng)的解析解并分析了其動力學行為。Chen等[19]使用廣義諧和變換法得到了隨機分數(shù)階系統(tǒng)的不含分數(shù)階導數(shù)項的等價隨機系統(tǒng)，然后使用隨機平均法給出了系統(tǒng)的解析解。Leung等[20]提出了一種針對分數(shù)階導數(shù)自治和非自治系統(tǒng)的改進諧波平衡方法，并研究了激勵頻率、分數(shù)階、幅度、相位角和頻率之間的相互作用。基于第一類傳遞函數(shù)的基本屬性，Malti等[21]根據(jù)Matignon穩(wěn)定性定理的推論給出了第二類傳遞函數(shù)的共振條件。為滿足工程需要，需用不同的方法對共振帶來的危害進行抑制和控制，如隔振[22]、減振[23-24]、緩沖[25]等。含分數(shù)階算子的動力學模型能夠準確地描述黏彈性材料隔振器的動態(tài)特性。因此，為盡可能減少機械或工程結構振動引起的危害，含分數(shù)階項的隔振技術在工程中已經(jīng)得到了廣泛應用。周超等[26]用諧波平衡法研究了由基礎振動激勵、黏彈性材料隔離的被動隔振體的非線性動力響應。Makris等[27]提出了可用于管道系統(tǒng)，鍛造錘和其它工業(yè)設備以及建筑結構隔振的分數(shù)階導數(shù)Maxwell黏性阻尼器。Alberto等[28]給出了分數(shù)階被動隔振系統(tǒng)模型，并分析了隔振器剛度和阻尼頻率的影響。

前人針對分數(shù)階van der Pol-Duffing 振子的研究大多在解析解方面，很少有學者考慮其隔振效果。因此，本文將提出具有非線性阻尼的分數(shù)階van der Pol-Duffing振子，稱之為廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子，并重點分析在無量綱情況下該振子的動力學行為和隔振效果。類似的阻尼項已在模擬人體在剛性地板上行走的側向力和船舶的側傾運動中被討論過并取得了很好的效果[29-30]，但是這些系統(tǒng)均為整數(shù)階系統(tǒng)。本文在研究過程中，采用平均法得到該振子的一階解析解，進而分析定常解的動力學行為，并討論無量綱化后各個參數(shù)對響應和力傳遞率的影響，其分析方法和結論不僅能為該類振子的隔振設計和隔振效果評價提供一定的理論參考，而且可以使工程設計人員對分數(shù)階振子的隔振特性有更進一步的了解，同樣對系統(tǒng)動力學特性的研究有著很重要的參考意義。

1 具有分數(shù)階導數(shù)阻尼的廣義 van der Pol-Duffing 振子

廣義分數(shù)階 van der Pol-Duffing 振子可表示為

(1)

(2)

式(1)可變形為

(3)

2 廣義 van der Pol-Duffing 振子的近似周期解

本節(jié)用平均法研究激勵頻率接近固有頻率時廣義分數(shù)階van der Pol-Duffing振子的一階解析解。

2ωσx(t)+qcosωt}

(4)

設式(4)有如下解

x=acosφ

(5a)

(5b)

假定φ=ωt+θ,a和φ為幅值和相位。對式(5)求導可得

(6a)

(6b)

因為振幅a和相位φ變化緩慢, 可令

θ(t)]=0

(7)

將式(5a)和(6b)代入式(4)中,用平均法在一個周期上進行平均, 可得

(8a)

(8b)

其中

Y1(a,θ)=ε[qcos(φ-θ)+2aωσcosφ-a3γ1cos3φ]+

(-8aεωsinφ+a3εc1ωsinφ+3a3εc2ω3sinφ+

a3εc1ωsin 3φ-a3εc2ω3sin 3φ)/4

(9a)

(9b)

式中：t∈[0,T],如果被積函數(shù)為周期函數(shù), 則T=2π；如果被積函數(shù)非周期,則T=∞。因此式(8)可化簡為

a1+a2

(10a)

(10b)

其中

(11a)

(11b)

因為

所以

(11d)

因此

(12a)

(12b)

將原系統(tǒng)參數(shù)代入式(12)可得

(13a)

(13b)

3 定常解及其穩(wěn)定性

(14a)

(14b)

其中

(15a)

(15b)

由式(15)可得,如果分數(shù)階階次α→1時,C(α)=2μ-μ2ωα-1,K(α)=k,分數(shù)階導數(shù)項只表現(xiàn)阻尼特性而不呈現(xiàn)剛度特性。當分數(shù)階階次α→0時,C(α)=2μ,K(α)=k+μ2ωα,分數(shù)階導數(shù)項只呈現(xiàn)剛度特性, 這說明了分數(shù)階器件與整數(shù)階的不同之處, 即通過適當控制分數(shù)階階次可使分數(shù)階器件同時表現(xiàn)阻尼和剛度特性。因此, 分數(shù)階導數(shù)項可以分解為線性彈性恢復力和線性阻尼之和,也即

(16)

(17a)

(17b)

因為

(18a)

(18b)

所以

(19a)

(19b)

特征方程為

λ2-(b11+b22)λ+b11b22-b21b12=0

(20)

其中

當P=b11+b22≤0,Q=b11b22-b21b12>0時,特征值的實部為負,即定常解是穩(wěn)定的,反之亦然。

為驗證解析解的正確性,令參數(shù)m=5、k=15、μ=0.5、c1=3、c2=2、μ1=15、μ2=0.5、α=0.3,f分別為0.2、0.5和1.2, 對式(14a)和式(4)進行數(shù)值模擬, 結果如圖1所示, 其中實線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定解析解, “+”表示數(shù)值模擬結果。數(shù)值模擬結果采用文獻[31]中提出的分數(shù)冪級數(shù)法處理, 其中步長為0.003, 計算時間為800 s,將后640 s響應的最大幅值視為穩(wěn)定幅值。根據(jù)圖1可得, 數(shù)值結果和穩(wěn)定解析解吻合很好。因此, 本文采用平均法得到的解析解精確度較高, 可用于實際工程的參數(shù)設計或分析中。

圖1 解析解和數(shù)值解對比Fig.1 Comparison of analytical solution and numerical solution

4 系統(tǒng)參數(shù)對響應特性的影響

為深入分析該系統(tǒng)的響應特性, 引入下列無量綱量

其中,ξ、A0、ζ、κ1、F和κ2分別代表阻尼比、振幅、頻率比、非線性剛度系數(shù)、激勵幅值和分數(shù)階項系數(shù),χ1和χ2為非線性參數(shù)。式(14a)可變?yōu)?/p>

(21)

由式(21)得, 幅值最大值滿足的方程為

(22)

無量綱化后, 判別解穩(wěn)定性的特征方程為

λ2-P1λ+Q1=0

(23)

令基本參數(shù)κ1=5、κ2=0.3、χ1=0.05、χ2=0.854、α=0.3、F=0.5、ξ=0.5。假設其余參數(shù)保持基本參數(shù)值不變,只改變其中某個參數(shù)并討論其對響應的影響,如圖2～8所示。由圖2～8可得, 在給定參數(shù)范圍內(nèi),隨著κ1、κ2、χ1、χ2、α、F和ξ的變化, 解的穩(wěn)定性、解的個數(shù)、共振區(qū)域、共振頻率、曲線彎曲程度和共振峰峰值均有變化, 多值解穩(wěn)定性的變化使得解產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象, 其中最大支、中間支、最小支分別被稱為穩(wěn)定共振支, 不穩(wěn)定支、非共振支。設計系統(tǒng)時, 應當避免或減小不穩(wěn)定區(qū)域的出現(xiàn)。

圖2 非線性剛度系數(shù)κ1

圖3 分數(shù)階項系數(shù)κ2 對響應的影響

圖4 參數(shù)χ1對響應的影響

圖5 參數(shù)χ2對響應的影響

圖6 分數(shù)階階次α對響應的影響

圖7 幅值F對響應的影響Fig.7 Effect of amplitude F on response

圖8 阻尼比ξ對響應的影響Fig.8 Effect of damping ratio ξ on response

當非線性剛度系數(shù)κ1分別為1、5、15,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,作出幅頻曲線圖,如圖2所示。由圖2可得,隨著κ1的增大,閉合曲線逐漸形成且離光滑曲線越來越遠,多值解和跳躍現(xiàn)象一直存在,穩(wěn)定共振支區(qū)域增大,非共振支一直不穩(wěn)定,共振頻率增大,共振峰向頻率增大方向移動,幅值減小,因此,非線性剛度系數(shù)對響應的共振峰峰值有抑制作用。

當分數(shù)階項系數(shù)κ2分別取0、1.3、3,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,系統(tǒng)幅頻曲線的變化圖,如圖3所示。由圖3可得,隨κ2的增大,閉合曲線逐漸破裂而形成一條平滑曲線,曲線彎曲程度和幅值逐漸減小,共振區(qū)域、穩(wěn)定解區(qū)域和共振頻率增大,共振峰向頻率增大方向移動,多值解逐漸消失,穩(wěn)定單值解區(qū)域漸漸增大,因此,在選取κ2時需稍大一些,但頻率不要太大。

當χ1的取值分別為0.001、2.5和8,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,其幅頻曲線變化圖如圖4所示,同時給出χ2分別為0.854、1.3和2.5時的幅頻曲線變化圖,如圖5所示。圖4和圖5的動力學行為類似，但它們對接下來力傳遞率的影響稍有不同,因此,在這里同時討論了圖4和圖5的動力學行為。由圖4和圖5可得,隨參數(shù)的增大,閉合曲線消失,曲線逐漸平緩,多值解范圍漸漸減小,共振區(qū)域變大且共振峰向頻率減小方向移動,共振頻率和幅值減小,穩(wěn)定解基本保持在共振區(qū)域內(nèi),因此,χ1,χ2的增大會抑制共振峰值增大,但跳躍行為減弱。

當分數(shù)階階次α分別為0、0.5和1,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,圖6給出α對幅頻曲線的影響。由圖6可得,共振區(qū)域、共振峰、共振頻率和幅值的變化規(guī)律與圖4和5相似,剛度特性隨α的增大而減小,這導致共振頻率逐漸減小且曲線逐漸平緩,阻尼特性隨α的增大而增大,因此系統(tǒng)共振振幅逐漸減小,多值區(qū)穩(wěn)定共振解、不穩(wěn)定解、不穩(wěn)定非共振解一直存在,整體而言不穩(wěn)定區(qū)域相對較大。

當參數(shù)F分別為0.45、1.4和3.5,其他參數(shù)保持基本參數(shù)不變時,幅頻曲線變化圖,如圖7所示。幅值隨F的增大而增大,解的多值性逐漸消失,不穩(wěn)定區(qū)域隨F的增大逐漸減小,當F達到一定值時,系統(tǒng)幅頻曲線不再發(fā)生跳躍現(xiàn)象,因此,可通過加大F來抑制系統(tǒng)不穩(wěn)定區(qū)域的產(chǎn)生,但會放大系統(tǒng)的幅值。

然而共振區(qū)域的大小并不都會隨參數(shù)的變化而變化,如圖8所示。阻尼比ξ(ξ=0.007、0.02和0.5)的變化對共振區(qū)域大小的影響較小,但多值區(qū)非共振支穩(wěn)定,共振峰左移且共振頻率減小。

綜上所述可得,隨參數(shù)的變化,在多值區(qū),如果跳躍現(xiàn)象存在,則穩(wěn)定共振解、不穩(wěn)定解和不穩(wěn)定非共振解一定存在，ξ變化除外。κ1的增大會使閉合曲線逐漸形成,然而其余參數(shù)增大閉合曲線消失。共振區(qū)域隨κ2、χ1、χ2、α和F的減小而減小。共振峰因κ1和κ2的增大而右移且共振頻率增大其余參數(shù)的變化規(guī)律則相反。除κ1影響外曲線的彎曲程度均減小。振幅會隨著其它參數(shù)的增大而減小，f影響除外。因此,在實際應用中,可通過增大其它參數(shù)減小激勵幅值來抑制共振峰峰值,但要避開跳躍點和不穩(wěn)定狀態(tài)。

5 力傳遞率

如果振源是被隔振物體本身,在隔振的研究中常常用通過隔振裝置傳遞到基礎上力的幅值與作用于振動系統(tǒng)上激勵力的幅值之比,即力傳遞率Tf,來驗證隔振系統(tǒng)對動態(tài)力的消減程度。在這里頻率比小于共振頻率比的區(qū)域稱為低頻區(qū),頻率比大于共振頻率比的區(qū)域稱為高頻區(qū)。

下面分析系統(tǒng)的隔振效果。由式(1)和式(5)可得,傳遞到基礎上的動荷載為

μ2K1(α)x(t)=K(α)x(t)-[C(α)-μc1x2(t)-

(24)

由于高次諧波分量對力傳遞率的影響很小[32],因此,這里只考慮頻率為ω的力傳遞率,則

f(t)=f0cos(φ+φ)

(25)

其中

(26a)

(26b)

因此,力的傳遞率為

(27)

隔振器參數(shù)合理的選擇既可使傳遞到基礎上的力最小,也是降低振動傳遞的關鍵。當振子處于非線性振動時,分別以非線性剛度系數(shù)k1、分數(shù)階項系數(shù)k2、非線性參數(shù)χ1和χ2、分數(shù)階階次α、激勵幅值F、阻尼比ξ、頻率比ζ為設計變量。將圖2～8的數(shù)據(jù)代入式(22)和式(27)中得到不同設計參數(shù)影響下力傳遞率Tf與頻率比ζ之間的關系圖,如圖9～15所示。從圖9～15可得,力傳遞率從初始值1開始逐漸增大,達到共振頻率時,產(chǎn)生共振峰,力傳遞率達到最大值,然后再逐漸減小。力傳遞率Tf>1時,系統(tǒng)不發(fā)生隔振作用,會使振動放大,若Tf<1,則說明產(chǎn)生隔振效果,該區(qū)域為隔振區(qū),在隔振區(qū)Tf的值越小,隔振效果越好。

取與圖2完全相同的參數(shù),得到力傳遞率Tf與非線性剛度系數(shù)k1的關系,如圖9所示,隨著k1的減小,共振頻率朝低頻方向移動,在高頻隔振區(qū)相同頻率對應的力傳遞率值也變小。因此,減小剛度k1有利于提高隔振效果和增大有效隔振頻率范圍。根據(jù)k1與質(zhì)量m、線性剛度k、系統(tǒng)(1)的非線性剛度μ1的關系可得,在其它參數(shù)不變的情況下減小m或μ1,增大k同樣能提高隔振效果和增大有效隔振頻率范圍。

圖9 非線性剛度系數(shù)κ1對 力傳遞率的影響

圖10 分數(shù)階項系數(shù)κ2對 力傳遞率的影響

圖11 參數(shù)χ1對力傳遞 率的影響

圖12 參數(shù)χ2對力傳遞 率的影響

圖13 分數(shù)階階次α對力傳遞率的影響Fig.13 Influence of fractional order α on force transmissibility

圖14 激勵幅值F對力傳遞率的影響Fig.14 Influence of amplitude F on force transmissibility

圖15 阻尼比ξ對力傳遞率的影響Fig.15 Influence of damping ratio ξ on force transmissibility

改變分數(shù)階項系數(shù)k2,將圖3的參數(shù)代入式(22)和(27)中計算Tf,得到圖10所示關系。由圖10可得,增大k2,共振頻率朝高頻方向移動,共振峰峰值減小,在高頻隔振區(qū)相同頻率對應的力傳遞率值也變大,這說明k2在一定程度上會抑制共振峰和傳遞率。因而增大k2不利于提高隔振效果,也即其他參數(shù)不變,減小μ1或增大m對隔振效果有促進作用。

選取與圖4和圖5相同的參數(shù),給出非線性參數(shù)χ1和χ2影響下的力傳遞率Tf與頻率比ζ的關系圖,如圖11和12所示,隨著χ1和χ2的增大,共振峰峰值減小,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應的頻率比減小,因此,產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大。低頻隔振區(qū)χ1、χ2越小隔振效果越好,高頻隔振區(qū)相同頻率對應的力傳遞率隨χ1和χ2的增加而變小,也即增大χ1和χ2的值有助于提高隔振效果?？紤]系統(tǒng)(1)中的參數(shù),在其它參數(shù)不變時,增加c1和c2,或者增大m、減小k對提高隔振效果抑制共振峰有一定的幫助。

改變分數(shù)階階次α,取圖6的參數(shù)得到不同α對應的力傳遞率,如圖13所示。由圖13可得,隨著α的增大,共振峰峰值減小,低頻隔振區(qū)α=0.5時隔振效果最好,高頻隔振區(qū)較短頻率比范圍內(nèi)α=0.5時隔振效果最好,過大頻率范圍內(nèi)增大α會不利于隔振效果的提高。因此,增大α有利于抑制共振峰,但在大頻率范圍內(nèi)不利于增強高頻隔振區(qū)的隔振效果。

選取與圖7相同的參數(shù)考慮F對力傳遞率的影響,如圖14所示。由圖14可得,與F對幅頻曲線的影響不同的是隨著F的增大,共振峰時Tf減小,低頻隔振區(qū)F越小隔振效果越好,高頻隔振區(qū)當頻率比超過一定值后F越大Tf變小隔振效果越好,考慮到F與m的關系,在系統(tǒng)(1)中,低頻隔振區(qū)增大m,高頻隔振區(qū)減小m在一定程度上能提高隔振效果。

參考圖8的參數(shù),變化阻尼比ξ的值,得到不同阻尼比對應的力傳遞率,如圖15所示。由圖15可得,隨著隔振器阻尼比ξ增大,共振峰時力傳遞率明顯減小,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應的頻率比減小,因此,產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大。但在低頻區(qū),系統(tǒng)不起隔振作用。高頻隔振區(qū)阻尼比ξ越大Tf變小隔振效果越好,因此,與阻尼比ξ對幅頻曲線的影響一樣,增大阻尼比ξ能有效抑制共振峰,但阻尼比對低頻區(qū)的力傳遞率沒有影響,對共振區(qū)和高頻隔振區(qū)的力傳遞率有影響,阻尼比越大力傳遞率越小。考慮系統(tǒng)(1)其他參數(shù)不變的情況下,增大μ或減小m、k在高頻隔振區(qū)能提高隔振效果。

總之,在低頻隔振區(qū)χ1、χ2和F越小隔振效果越好,ξ對力傳遞率的影響幾乎可以忽略。共振區(qū)除κ1的影響外,只改變其它參數(shù)中的一個,增大參數(shù)均能抑制共振峰時的力傳遞率,特別地,隨ξ、α、χ1和χ2的增加,共振頻率朝低頻方向移動,高頻隔振區(qū)對應的頻率比減小,這說明產(chǎn)生隔振的頻率范圍變大,然而隨κ1、κ2和F的增加,共振頻率朝低高頻方向移動,共振頻率比增大,高頻隔振區(qū)對應的頻率比增大,說明有效隔振頻率范圍變小。在高頻隔振區(qū)相同頻率對應的力傳遞率隨ξ、χ1和χ2的增加而變小,F變化時當頻率比達到一定值后也有相同規(guī)律,但增大κ1、κ2結果明顯相反,因此,增大ξ、χ1、χ2和F的值,減小κ1、κ2的值有利于提高隔振效果。

6 結 論

本文用平均法給出了改進的分數(shù)階 van der Pol-Duffing 隔振振子的主共振響應,在此基礎上計算了力傳遞率,進一步分析了不同參數(shù)對幅頻曲線和力傳遞率的影響,為該類隔振振子的設計和應用提供一定的參考。主要結論如下

(1) 將數(shù)值解與解析解進行比較,發(fā)現(xiàn)其結果吻合良好,證明了解析解的正確性。

(2) 分析了無量綱化后非線性剛度系數(shù)、分數(shù)階項系數(shù)、非線性參數(shù)、分數(shù)階階次、激勵幅值和阻尼比對幅頻曲線的影響。結果表明,解的穩(wěn)定性、解的個數(shù)、共振區(qū)域、共振頻率、跳躍性、彎曲程度、共振峰峰值均受這些參數(shù)的影響,且除激勵幅值影響外,共振峰峰值隨其它參數(shù)的增大而減小,也即增大其它參數(shù)可達到抑制共振峰峰值的目的。

(3) 在幅頻曲線的基礎上,進一步討論了不同頻率區(qū)段的力傳遞率受非線性剛度系數(shù)、分數(shù)階項系數(shù)、非線性參數(shù)、分數(shù)階階次、激勵幅值和阻尼比的影響。結果發(fā)現(xiàn),在低頻隔振區(qū),非線性參數(shù)和激勵幅值對隔振效果的影響十分明顯,阻尼比對隔振效果影響不大。在共振區(qū),除非線性剛度系數(shù)外其它參數(shù)均抑制力傳遞率的峰值且隨阻尼比、分數(shù)階階次和非線性參數(shù)的增加,共振峰逐漸向頻率比減小方向移動,共振頻率比減小。在高頻隔振區(qū),阻尼比、分數(shù)階階次和非線性參數(shù)的增大在一定頻率比范圍內(nèi)有利于擴大有效隔振頻率范圍,增大阻尼比,非線性參數(shù)和激勵幅值的值減小非線性剛度系數(shù),分數(shù)階項系數(shù)的值有助于提高隔振效果。本文的研究過程和結果對于多自由度類似系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解或者單自由度類似系統(tǒng)的瞬態(tài)響應分析具有一定的借鑒價值。