基于模型線(xiàn)性自抗擾的PMLSM位置控制

熊東海

(惠州城市職業(yè)學(xué)院機(jī)電學(xué)院，惠州 516000)

0 引言

永磁直線(xiàn)同步電機(jī)(Permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)由于采用直接驅(qū)動(dòng)的方式，具有效率高、推力大、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)，在精密加工、半導(dǎo)體封裝、視覺(jué)檢測(cè)等各種精密運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3]。從工程控制的角度看，PMLSM由于沒(méi)有了中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，使得在實(shí)際運(yùn)行中受到的推力波動(dòng)、導(dǎo)軌摩擦力變化以及負(fù)載阻力等擾動(dòng)將直接作用在PMLSM動(dòng)子上，影響位置控制精度，增加了抗擾動(dòng)控制難度[4-5]。

目前，大多PMLSM運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)仍采用傳統(tǒng)的PID控制策略[6]。PID控制不依賴(lài)被控對(duì)象的模型，具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，但是存在“快速性”與“超調(diào)”的矛盾，且參數(shù)整定往往依賴(lài)工程經(jīng)驗(yàn)，對(duì)擾動(dòng)的抑制能力差，不適合用于PMLSM伺服系統(tǒng)的快速準(zhǔn)確控制。為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)PID控制的不足，一些現(xiàn)代控制理論方法被嘗試用于PMLSM伺服控制系統(tǒng)，并取得了一定的成果，如模糊控制[7]、滑模控制[8]、迭代學(xué)習(xí)控制[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[10]等。這類(lèi)方法通常需要建立被控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，但由于PMLSM本身存在多變量、強(qiáng)非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合的特征，獲得精確的模型將十分困難，限制了其在工程中的應(yīng)用。

自抗擾控制(active disturbance rejection control，ADRC)技術(shù)不依賴(lài)被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型，將建模誤差、內(nèi)部不確定性以及外部擾動(dòng)統(tǒng)一為總擾動(dòng)，通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器進(jìn)行實(shí)時(shí)觀(guān)測(cè)，并在狀態(tài)反饋控制律中對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)補(bǔ)償，具有極強(qiáng)的抗擾動(dòng)能力[11]。傳統(tǒng)的ADRC采用非線(xiàn)性調(diào)節(jié)函數(shù)，控制參數(shù)多且難以整定。為此，學(xué)者們提出了許多改進(jìn)算法，并取得了良好控制效果[12-15]。其中，GAO[12]提出的線(xiàn)性ADRC(linear ADRC，LADRC)結(jié)構(gòu)，將控制參數(shù)減小為3個(gè)，大大方便了工程實(shí)踐。

本文以PMLSM伺服系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出了一種基于已知模型信息的線(xiàn)性自抗擾控制(model-based LADRC，MLADRC)算法。區(qū)別于傳統(tǒng)的線(xiàn)性自抗擾控制策略，該方法中設(shè)計(jì)的模型線(xiàn)性狀態(tài)擴(kuò)張觀(guān)測(cè)器，能夠降低對(duì)未知總擾動(dòng)的觀(guān)測(cè)負(fù)擔(dān)，提高對(duì)系統(tǒng)各階狀態(tài)的觀(guān)測(cè)精度；引入加速度前饋的改進(jìn)線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制律，以位置觀(guān)測(cè)信號(hào)作為反饋輸入，避免了速度觀(guān)測(cè)信號(hào)的相位滯后影響，進(jìn)一步提高了PMLSM伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能和抗干擾能力。

1 PMLSM伺服系統(tǒng)建模

通過(guò)坐標(biāo)變換，得到PMLSM在d-q軸下的數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，R為初級(jí)電阻；id、iq為d、q軸電流；ud、uq為d、q軸電壓；Ld、Lq為d、q軸電感；ψPM為定子永磁體磁鏈；v為動(dòng)子運(yùn)動(dòng)速度；τ為極距；np為極對(duì)數(shù)；Fe為電磁推力。

驅(qū)動(dòng)器采用矢量控制方式，d軸的參考電流信號(hào)id=0。由于直線(xiàn)電機(jī)氣隙較大，近似認(rèn)為d軸和q軸的定子電感相同，即Ld=Lq=L。于是電磁推力方程可重寫(xiě)為：

Fe=Kfiq

(2)

iq=kqu

(3)

式中，kq為縮放比例。PMLSM伺服系統(tǒng)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

(4)

式中，Mv為電機(jī)運(yùn)動(dòng)質(zhì)量；Bv為電機(jī)粘滯摩擦系數(shù)；Fd為外部擾動(dòng)阻力；y為電機(jī)輸出位移。

結(jié)合式(2)～式(4)，忽略外部擾動(dòng)阻力的影響，可得PMLSM伺服系統(tǒng)從輸入電壓到輸出位移的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

式中，a=Bv/Mv；b=kqKf/Mv，其模型參數(shù)通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)獲得。而系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中，除存在外部擾動(dòng)阻力外，推力波動(dòng)、未建模動(dòng)態(tài)以及反饋回路的測(cè)量噪聲均不可避免。為得到簡(jiǎn)化的PMLSM伺服系統(tǒng)控制模型，將所有的不確定項(xiàng)歸為未知總擾動(dòng)du。于是得到最終控制模型的微分方程為：

(6)

(7)

2 基于模型的線(xiàn)性自抗擾控制器設(shè)計(jì)

2.1 模型線(xiàn)性擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)式(7)設(shè)計(jì)基于模型的線(xiàn)性擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器(model-based linear extended state observer，MLESO)，其表達(dá)式為：

(8)

式中，b0為b的估計(jì)值；A、B、C同式(7)；Z=[z1z2z3]T為系統(tǒng)X的觀(guān)測(cè)狀態(tài)；L=[l1l2l3]T為觀(guān)測(cè)增益參數(shù)。式(8)的特征多項(xiàng)式為：

λ1(s)=s3+(l1+a)s2+(l2+l1a)s+l3

(9)

根據(jù)極點(diǎn)配置原理[12]，將MLESO的極點(diǎn)配置在-wo處，即λ1(s)=(s+wo)3，得到關(guān)于觀(guān)測(cè)增益參數(shù)的整定公式：

(10)

式中，wo為MLESO的觀(guān)測(cè)帶寬。

2.2 改進(jìn)線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制律設(shè)計(jì)

由于觀(guān)測(cè)器得到的系統(tǒng)觀(guān)測(cè)狀態(tài)相比實(shí)際狀態(tài)必定存在一定的相位滯后，其中速度觀(guān)測(cè)信號(hào)作為位置觀(guān)測(cè)的信號(hào)的近似微分，其滯后問(wèn)題可能更為嚴(yán)重。傳統(tǒng)的LADRC在反饋控制律中利用目標(biāo)指令信號(hào)、位置觀(guān)測(cè)信號(hào)以及速度觀(guān)測(cè)信號(hào)計(jì)算控制量，其控制律結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易出現(xiàn)調(diào)節(jié)緩慢的問(wèn)題[16]。本文結(jié)合已知的模型參數(shù)信息，設(shè)計(jì)一種只將位置觀(guān)測(cè)信號(hào)作為反饋輸入，并引入加速度前饋的改進(jìn)線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制律(improved linear state feedback control law，ILSFCL)：

(11)

(12)

于是，通過(guò)在控制律中對(duì)未知總擾動(dòng)的補(bǔ)償，將被控對(duì)象改造成了積分串聯(lián)形式，大大方便了控制器的設(shè)計(jì)。此時(shí)PMLSM伺服系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：

λ2(s)=s2+k2s+k1

(13)

根據(jù)極點(diǎn)配置原理，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在-wc處，即λ2(s)=(s+wc)2，于是，

(14)

式中，wc為ILSFCL的控制帶寬。MLADRC的控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 MLADRC控制結(jié)構(gòu)圖

2.3 穩(wěn)定性分析

定義跟蹤誤差：

εj=rj-xj,j=1,2

(15)

(16)

構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)：

(17)

則至少存在一點(diǎn)ζ∈[0ε1]，使

(18)

同時(shí)：

(19)

3 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

3.1 仿真分析

所采用的PMLSM參數(shù)如表1所示。通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)得到PMLSM伺服系統(tǒng)的模型信息參數(shù)為a=7.655，b=2.57。為驗(yàn)證MLADRC的可行性，利用Simulink設(shè)計(jì)MLADRC與PID和LADRC對(duì)比的位置響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)。

表1 電機(jī)參數(shù)

給定加速度為1g，速度為0.2 m/s和行程為10 mm的規(guī)劃指令作為位置輸入信號(hào)，并在2.5 s時(shí)加入幅值為-1 V的控制量常值擾動(dòng)。LADRC與MLADRC選取相同的控制參數(shù)，并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)法對(duì)PID的控制參數(shù)進(jìn)行整定，仿真曲線(xiàn)如圖2所示。

(a)位置響應(yīng)曲線(xiàn)

由圖2可知，PID控制到位時(shí)存在較大超調(diào)，對(duì)常值擾動(dòng)的抑制能力弱。LADRC存在一定的超調(diào)，且穩(wěn)定時(shí)間較長(zhǎng)。而MLADRC幾乎沒(méi)有超調(diào)，穩(wěn)定時(shí)間短，且對(duì)常值擾動(dòng)的抑制更快。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證MLADRC方法的實(shí)際控制性能，本文搭建了PMLSM伺服系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置，包括dSPACE控制器、Akribis驅(qū)動(dòng)器、無(wú)刷無(wú)鐵芯PMLSM、光柵尺、上位機(jī)等，控制系統(tǒng)示意圖如圖3所示。首先由光柵尺反饋信號(hào)給到驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行電流環(huán)內(nèi)環(huán)控制，然后由驅(qū)動(dòng)器模擬出ABZ數(shù)字脈沖信號(hào)傳輸給dSPACE控制器進(jìn)行位置信號(hào)解碼，并在dSPACE中搭建位置閉環(huán)計(jì)算得到控制電壓，輸出給驅(qū)動(dòng)器，最終驅(qū)動(dòng)PMLSM運(yùn)動(dòng)。

圖3 控制系統(tǒng)示意圖

輸入行程為10 mm、速度為0.2 m/s、加速度為1g的規(guī)劃指令，如圖4所示給出了不同控制方法下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況。

圖4 位置響應(yīng)實(shí)驗(yàn)曲線(xiàn)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，PID的超調(diào)最大，為0.613 mm，穩(wěn)定時(shí)間為64 ms。LADRC的超調(diào)較PID小，為0.151 mm，但穩(wěn)定時(shí)間較PID長(zhǎng)，為115 ms。而MLADRC的超調(diào)和穩(wěn)定時(shí)間都最小，分別為0.005 mm和44 ms，其穩(wěn)定時(shí)間較PID和LADRC分別減小了31.3%和61.7%。

為驗(yàn)證MLADRC對(duì)外部擾動(dòng)的抑制能力，考慮兩種不同擾動(dòng)下的閉環(huán)響應(yīng)。一種是在2.5 s時(shí)加入幅值為-1 V的常值擾動(dòng)，另一種是在1 s～3 s區(qū)間加入幅值為0.25 V的正弦擾動(dòng)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，其最大擾動(dòng)偏差和擾動(dòng)誤差的IAE指標(biāo)列于表2。

(a)常值擾動(dòng)實(shí)驗(yàn)圖

表2 不同擾動(dòng)作用下的性能指標(biāo)

由圖5和表2可見(jiàn)，對(duì)于常值擾動(dòng)和正弦擾動(dòng)，相比于PID和LADRC，MLADRC的最大擾動(dòng)偏差和IAE均最小。其中，對(duì)于常值擾動(dòng)的最大擾動(dòng)偏差較PID減小了0.335 mm，較LADRC減小了0.174 mm；對(duì)于正弦擾動(dòng)的最大擾動(dòng)偏差較PID減小了0.006 mm，較LADRC減小了0.014 mm。這表明MLADRC具有良好的抗擾動(dòng)能力，能夠快速抑制不同形式下的外部擾動(dòng)作用。

4 結(jié)論

針對(duì)摩擦力變化以及外部擾動(dòng)等不確定性對(duì)PMLSM伺服系統(tǒng)位置控制精度的影響，本文提出了一種MLADRC算法。該方法設(shè)計(jì)了融合模型參數(shù)信息的模型線(xiàn)性擴(kuò)張狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，可有效降低對(duì)未知總擾動(dòng)的觀(guān)測(cè)負(fù)擔(dān)，提高對(duì)系統(tǒng)各階狀態(tài)的觀(guān)測(cè)精度。并通過(guò)引入加速度前饋的改進(jìn)線(xiàn)性狀態(tài)反饋控制律，提高了位置控制精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明：對(duì)于點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)，所提方法可有效降低超調(diào)和穩(wěn)定時(shí)間，其穩(wěn)定時(shí)間相比于PID和LADRC分別減小了31.3%和61.7%；對(duì)于不同形式的外部擾動(dòng)，所提方法具有快速的抑制能力。本文設(shè)計(jì)的MLADRC算法對(duì)提高PMLSM伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能以及抗干擾能力具有較高的實(shí)用價(jià)值。