直覺梯形模糊數(shù)與熵權(quán)-TOPSIS的可靠性分配*

趙永勝，丁紫遠，楊聰彬，程 強，劉志峰

(北京工業(yè)大學 a.先進制造與智能技術(shù)研究所；b.先進制造技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100124)

0 引言

可靠性分配是產(chǎn)品設計和開發(fā)階段最重要的內(nèi)容，是將系統(tǒng)中重要的任務指標，采用合適的方法分配給組成系統(tǒng)的各個子系統(tǒng)及元部件，其過程是由整體到局部的過程。選取合適的方法是至關(guān)重要的。常見的可靠性分配方法有等分配法、評分分配方法、AGREE分配方法、FOO分配方法[1-3]。其中AGREE分配方法是由美國防部的電子設備可靠性分配小組提出，考慮了各個單元的重要度和復雜度以及運行時間上的差別。在此基礎(chǔ)上工程設計指南《可靠性設計手冊》采用了FOO方法(目標可行性)考慮了4個影響因素。CHANG等[4]將OWGA算子與猶豫模糊語言相結(jié)合解決FOO一些缺點。

另外隨著模糊理論的發(fā)展，黃洪鐘等[5]提出一種模糊綜合判斷的可靠性分配方法并將其應用到機械系統(tǒng)中；LEE等[6]從層次分析的角度出發(fā)，考慮專家意見和客觀邏輯推理，來完成可靠性分配。

然而這些方法不能解決模糊區(qū)間信息，沒有考到影響因素各自權(quán)重。本文提出可靠性分配方法是通過將專家語言變量轉(zhuǎn)化模糊數(shù)，通過ME-OWA算子計算影響因素的權(quán)重，運用TOPSIS方法得到產(chǎn)品的可靠性指標。

1 方法介紹

1.1 FOO方法

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 直覺梯形模糊數(shù)集

直覺梯形模糊數(shù)集可以表示了不同維度的決策信息，運用這些梯形模糊數(shù)可以避免大量判斷矩陣運算，能將專家的決策信息反映出來，由文獻[7]可定義如下。

定義1:設Ai=〈(ai1,ai2,ai3,ai4),(bi1,bi2,bi3,bi4)〉(i=1,2)為兩個直覺梯形模糊數(shù)，則:

A1+A2=〈(a11+a21,a12+a22,a13+a23,a14+a24),

(b11+b21,b12+b22,b13+b23,b14+b24)〉

(7)

λA1=〈(λa1,λa2,λa3,λa4),(λb1,λb2,λb3,λb4)〉λ>0

(8)

根據(jù)文獻[8]可以設Ai(i=1,2,…,n)是一組直覺梯形模糊數(shù)集合，ω=(ω1,ω2,…,ωn)T是Ai的權(quán)重向量，則直覺梯形模糊加權(quán)平均算子(TrIFWA)定為：

(9)

對于TrIFWA算子集結(jié)還是直覺梯形模糊數(shù)。根據(jù)文獻[9]可以得到直覺梯形模糊數(shù)A=〈(a1,a2,a3,a4),(b1,b2,b3,b4)〉的期望值可以從以下公式獲得：

(10)

1.3 最大熵有序加權(quán)算子(ME-OWA)

有序加權(quán)平均算子(OWA)可以通過聚合后的權(quán)重向量等級得出屬性的最佳權(quán)重，被廣泛應用到?jīng)Q策理論，根據(jù)文獻[10]定義如下。

(11)

根據(jù)文獻[11]結(jié)合最大熵原理得到以下公式：

(1)若φ=0，則α=[0,0,…,1]T，φ=1，則α=[1,0,…,0]T；

(2)若n=2，則，α1=φ，α2=1-φ；

(3)若n≥3，0≤φ≤1則有：

(12)

(13)

α1[(n-1)φ+1-nα1]n=((n-1)φ)n-1[((n-1)φ-n)α1+1]

(14)

其中，n為分配影響因素；φ為給定的情景參數(shù)。

1.4 逼近理想點排序法(TOPSIS)

TOPSIS是一種常用的多屬性決策方法，運用該方法選擇出最優(yōu)方案與正理想點之間距離最近與負理想點距離最遠，根據(jù)貼近度確定可靠性分配過程中權(quán)重大小。由文獻[8]和文獻[12]可以得出理想排序法步驟如下：

(1)確定加權(quán)矩陣Ck。

(15)

(2)確定正理想解決方案C+和負理想解決方案C-。

(16)

(17)

(18)

(4)對于兩個梯形模糊數(shù)為：

(19)

則梯形模糊距離計算為[13]：

(20)

(5)計算貼近度λk。

(21)

(6)按貼近度選出最理想方案。

1.5 基于直覺梯形模糊數(shù)與熵權(quán)-TOPSIS的可靠性分配

軍事和工業(yè)上使用FOO方法來進行可靠性分配，其需要清晰的語言值，但是無法解決設計和開發(fā)的模糊區(qū)間信息，另外考慮可靠性分配因素過少，造成結(jié)論偏差。因此為了解決這些問題。提出了基于直覺梯形模糊數(shù)與熵權(quán)-TOPSIS的可靠性分配方法，來提高產(chǎn)品可靠性分配的準確性。

該可靠性分配方法步驟如下：

步驟1：根據(jù)機床的結(jié)構(gòu)原理，對其劃分子系統(tǒng)并列舉出來。

步驟2:確定機床系統(tǒng)可靠性要求和運行時間。

步驟3:確定機床系統(tǒng)的可靠性分配原則和機床可靠性分配的影響因素n個。有6個影響因素分別為:復雜度(C),維修(M),技術(shù)水平(T),工作環(huán)境(W),成本(Co),工作時間(H)。

步驟4:確定m個專家對各個子系統(tǒng)的決策意見。

步驟5:利用式(22)集結(jié)所有專家決策。

(22)

步驟6：根據(jù)維度,可以運用式(12)～式(14)計算可以得到ME-OWA的權(quán)重。并根據(jù)以往故障數(shù)據(jù)和專家經(jīng)驗確定影響因素的重要性順序。

步驟7：根據(jù)式(16)確定方案的正負理想點，本文以整機可靠度為基準，即子系統(tǒng)對整機影響度小，復雜性低，技術(shù)水平高，工作環(huán)境好，維修性高，成本低，工作時間長為理想目標解。根據(jù)文獻[14]可以確定正負理想解為：

C+=([1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1])

C-=([0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])

步驟8：根據(jù)式(17)和式(18)計算正負距離測度，然后通過式(23)和式(24)集結(jié)所有影響因素對子系統(tǒng)正負加權(quán)距離。

(23)

(24)

其中，αj為影響因素權(quán)重；

步驟9：根據(jù)式(21)計算所有子系統(tǒng)對應方案的貼近度為λ。

步驟10：根據(jù)式(25)計算可靠性分配的系數(shù)Z。

(25)

步驟11：將得到可靠性分配系數(shù)，根據(jù)式(26)完成數(shù)控機床的可靠性分配計算，得到各個子系統(tǒng)的可靠性指標。

(26)

式中，RS為整機的可靠度；Ri為第i個子系統(tǒng)的可靠度。

2 實例分析

在本章節(jié)中，某系列數(shù)控機床為示例，來說明所提出方法的有效性。數(shù)控機床分類如表1所示，有8個子系統(tǒng)。根據(jù)任務要求和運行環(huán)境，數(shù)控機床整機可靠度為0.875，運行時間為1000 h。

表1 機床子系統(tǒng)劃分

表2 語言變量轉(zhuǎn)化模糊信息

表3 三位專家評價意見

2.1 基于FOO方法分析

FOO方法使用I,S,P,E值進行可靠性系統(tǒng)分配，不考慮專家成員之間的分歧，存在主觀差異,進行分配主要依靠平均權(quán)重，沒有考慮到不同影響因素下權(quán)重并不一樣，存在局限性。

對于ISPE取值來說，根據(jù)以下原則決定。對于復雜度(I),越復雜的系統(tǒng)等級評定越高；對于技術(shù)水平(S)，越不發(fā)達的評定等級越高；對于性能時間(P),工作時間越多評定等級越高；對于工作環(huán)(E),環(huán)境越惡劣評定值越高；它們?nèi)≈捣秶?～10。根據(jù)式(1)～式(6)可以計算各個子系統(tǒng)的評價等級，權(quán)重因子和分配可靠度，如表4所示。

表4 FOO方法可靠性分配結(jié)果

2.2 基于模糊分配的可靠性分配方法

模糊分配的方法[15]的可靠性分配因子必須是準確的語言變量，所以根據(jù)公式需要對表中的數(shù)據(jù)進行去模糊化處理求得各自專家對影響因素評價，再根據(jù)式(22)匯總專家各個意見得到各個因素對子系統(tǒng)影響因子。

在運用式(27)求得模糊分配的比列因子FZ，再根據(jù)式(28)求得子系統(tǒng)分配可靠性權(quán)重因子P，最后根據(jù)式(29)求得模糊分配的各個子系統(tǒng)的可靠度，如表5所示。

表5 模糊分配法結(jié)果

(27)

(28)

Ri=(R)Pi

(29)

2.3 基于所提出方法可靠性分配實例

提出的方法整合了直覺梯形模糊數(shù)與ME-OWA算子和TOPSIS方法來靈活完成機床系統(tǒng)的可靠性評估，具體步驟如下：

步驟1：根據(jù)機床的結(jié)構(gòu)原理，將數(shù)控機床劃分為8個子系統(tǒng)，分別為：主軸系統(tǒng)，進給系統(tǒng),冷卻系統(tǒng)，伺服系統(tǒng)，自動換刀系統(tǒng)，液壓系統(tǒng)，數(shù)控系統(tǒng)，潤滑系統(tǒng)。其對子系統(tǒng)分配為表1。

步驟2:確定機床系統(tǒng)可靠性要求和運行時間。根據(jù)專家意見整機運行時間為1000 h，數(shù)控機床可靠度為0.875。

步驟3:確定機床系統(tǒng)的可靠性分配原則和機床可靠性分配的影響因素n個。有6個影響因素分別為:復雜度(C),維修(M),技術(shù)水平(T),工作環(huán)境(W),成本(Co),工作時間(H)。

2016年5月初將取回的3種沉水植物進行預培養(yǎng)，到6月從中選取長勢良好，大小基本一致的幼苗進行移栽。實驗裝置選取上口徑62cm、下口徑52cm、高45cm的白色塑料圓桶進行3×3分組，9組簡稱分別為苦泥、苦草、苦沙、黑泥、黑草、黑沙、馬泥、馬草、馬沙，放置于空曠區(qū)域，如圖1所示。2016年7月10日至2017年6月10日，共采集樣品12次，每次采集均隨機選取3株沉水植物，將對應的水、泥、沉水植物全部采出。沉水植物分離出底質(zhì)后用少量超純水洗凈植株上附著的底質(zhì)；底質(zhì)采集后充分混勻，風干，研磨過篩(100目篩)用于營養(yǎng)鹽測定。

步驟4:確定專家對各個子系統(tǒng)的決策意見,并且利用公式化簡梯形模糊數(shù)，如表3所示。

步驟5:利用式(19)和式(22)集結(jié)所有專家決策，如表6和表7所示。

表6 綜合決策

表7 綜合決策

步驟6：根據(jù)影響因素為6,并根據(jù)以往故障數(shù)據(jù)和專家經(jīng)驗確定影響因素的重要性順序[16]，可以運用式(12)～式(14)計算可以得到ME-OWA的權(quán)重，如表8所示，為不同情景參數(shù)φ下權(quán)重。

表8 不同情景參數(shù)下的ME-OWA權(quán)重

成本>技術(shù)水平>工作時間>維修>工作環(huán)境>復雜度。

舉例于情景參數(shù)φ為0.6，其對應成本權(quán)重影響因素為0.246 8，技術(shù)水平權(quán)重為0.207 2，工作時間權(quán)重為0.173 9，維修權(quán)重為0.146 1，工作環(huán)境權(quán)重為0.122 6，復雜度情景參數(shù)為0.103 1。

情景參數(shù)φ值取值范圍取值為0.5～0.9范圍，其表示當前決策者對于當前可靠性分配的樂觀狀態(tài)，當φ為代表抉擇者表示可靠性分配成中立狀態(tài)。當φ越來越大，表示決策者對當前可靠性系統(tǒng)分配越來越樂觀。當φ=1為表示絕對樂觀，基本不再考慮范圍之內(nèi)。

步驟7：根據(jù)式(16)確定方案的正負理想點，本文以整機可靠度為基準，即子系統(tǒng)對整機影響度小，復雜性低，技術(shù)水平高，工作環(huán)境好，維修性高，成本低，工作時間長為理想目標解。可以確定正負理想解為：

C+=([1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1])

C-=([0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0])

步驟8：根據(jù)式(17)和式(18)計算正負距離測度，然后通過式(23)和式(24)集結(jié)所有影響因素對子系統(tǒng)正負加權(quán)距離，舉例情景參數(shù)為0.7，如表9所示。

表9 情景參數(shù)為0.7

步驟9：根據(jù)式(21)計算所有子系統(tǒng)對應方案的貼近度為λ。

步驟10：根據(jù)式(25)計算可靠性分配的系數(shù)Z。

步驟11：將得到可靠性分配系數(shù)，根據(jù)式(26)完成數(shù)控機床的可靠性分配計算，得到各個子系統(tǒng)的可靠性指標，如表10所示。

表10 各自方法對比

2.4 方法比較討論

為了證明提出方法的正確性和優(yōu)越性，將FOO分配方法，模糊分配方法和本方法放入同一個表10中便于觀察，同時對比了三種方法的優(yōu)缺點，如表11所示。

表11 方法優(yōu)缺點

根據(jù)表對比可以得出，所提出的方法具有以下優(yōu)點?？紤]多方面的影響因素從復雜度,維修,技術(shù)水平,工作環(huán)境,成本,工作時間等6個方面考慮對子系統(tǒng)的影響，F(xiàn)OO方法只是簡單的考慮了4個影響因子，不夠全面；考慮了多位專家的決策信息，根據(jù)他們各自的領(lǐng)域權(quán)威賦予不同的權(quán)限，將語言變量轉(zhuǎn)化梯形模糊區(qū)間，避免了主觀經(jīng)驗造成誤差分配，F(xiàn)OO方法沒有考慮多位專家的意見并且語言變量上只是單個數(shù)值不能很好表達專家的意見，容易造成分配的錯誤；考慮了有序的加權(quán)權(quán)重，通過確定各個影響因素的重要程度排序，以最大熵的形式賦予不同影響因素不同的權(quán)重，客觀表達影響因素對子系統(tǒng)影響的重要性，方便決策者對不同情景參數(shù)可靠性分配賦值，這一點是FOO和模糊分配法沒有考慮到；最后考慮與理想解的差異性，保證分配結(jié)果向著理想解靠齊，這更能展現(xiàn)方法的客觀性和準確性，對于此FOO和模糊分配法也沒有考慮到。

3 結(jié)論

本文針對機床可靠性分配問題，提出直覺梯形模糊數(shù)與熵權(quán)-TOPSIS的可靠性分配方法，考慮了多個復雜因素的影響，運用直覺梯形模糊區(qū)間表達專家的判斷，減少主觀經(jīng)驗，采用理想逼近的方法尋找最佳分配方案，最后在不同的情景參數(shù)下進行靈活分配。該方法不局限機床系統(tǒng)，也可以對于任意的復雜系統(tǒng)。文中以數(shù)控機床為例，跟FOO和模糊分配法比較，驗證提出方法的有效性。