臥式加工中心空間精度預(yù)測(cè)及量化驗(yàn)證*

陳廷兵，李志強(qiáng)，敬正彪

(1.成都工業(yè)學(xué)院智能制造學(xué)院，成都 611730；2.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院裝備制造學(xué)院，成都 610218)

0 引言

由機(jī)床各項(xiàng)幾何誤差元素耦合而成的空間精度是影響機(jī)床加工精度的關(guān)鍵因素，因此，精確構(gòu)建機(jī)床完備空間精度模型以及準(zhǔn)確溯源機(jī)床關(guān)鍵幾何誤差元素對(duì)提高機(jī)床加工精度具有重要意義?？蔀檫M(jìn)一步探索空間精度補(bǔ)償以及精度分配重要理論依據(jù)與工程技術(shù)支撐。

針對(duì)數(shù)控機(jī)床空間精度建模方面，主流模型搭建體系多以多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)矩陣變換為理論基礎(chǔ)。曲興田等[1]利用均勻變換矩陣(HTMS)建立了九軸機(jī)床空間精度模型，借助梯度下降算法對(duì)某旋轉(zhuǎn)磁臺(tái)的位置坐標(biāo)指令進(jìn)行了實(shí)時(shí)修正補(bǔ)償。YUEN等[2]針對(duì)三軸數(shù)控銑床提出了一種由反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)確定的幾何誤差估計(jì)方法，并將其單獨(dú)應(yīng)用于幾何誤差補(bǔ)償模型中。RAKSIRI等[3]同樣以多體系統(tǒng)理論結(jié)合齊次坐標(biāo)矩陣變換為理論基礎(chǔ)，建立了機(jī)床通用空間精度模型。馮文龍等[4]以旋量理論與多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論為基礎(chǔ)，從機(jī)床單個(gè)運(yùn)動(dòng)鏈到機(jī)床整體進(jìn)行分析并建立了一種通用的誤差模型，該模型可分離出影響可補(bǔ)償與不可補(bǔ)償位姿誤差的幾何誤差源。在機(jī)床空間精度模型預(yù)測(cè)驗(yàn)證方面，提出了一種基于梯度下降算法的空間精度補(bǔ)償方法。之后通過(guò)測(cè)量補(bǔ)償前后機(jī)床進(jìn)給軸的定位誤差，驗(yàn)證了空間精度模型的正確性。黃華、GIVI等[5-6]通過(guò)引入誤差相關(guān)性和誤差補(bǔ)償兩個(gè)概念得到了一種優(yōu)化的補(bǔ)償方案，通過(guò)對(duì)比補(bǔ)償前后工件加工精度，驗(yàn)證了所建空間精度模型。

綜上所述，傳統(tǒng)基于多體系統(tǒng)結(jié)合DH運(yùn)動(dòng)學(xué)構(gòu)建機(jī)床空間精度模型已較為成熟，但主流建模方法因其需要建立多個(gè)局部坐標(biāo)系存在奇異性的局限性，難以保證空間精度模型的完備性，同時(shí)已有研究大多沿用“補(bǔ)償測(cè)量”或“補(bǔ)償試切”的驗(yàn)證思想存在難以量化驗(yàn)證機(jī)床空間精度模型的局限性。因此，本文基于旋量理論建立了臥式加工中心空間精度預(yù)測(cè)模型且實(shí)現(xiàn)了模型的完備性，同時(shí)在借助“十二線法”分離幾何誤差的基礎(chǔ)上輸出了臥式加工中心空間精度預(yù)測(cè)模型，最終提出了一種新的模型量化驗(yàn)證方法，借助體對(duì)角線實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性。

1 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解

已知任意剛體運(yùn)動(dòng)基本定義：剛體繞空間中某一個(gè)固定軸線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)結(jié)合直線運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)空間中某初始位置到結(jié)束位置的運(yùn)動(dòng)?；谛坷碚揫5,7]以幾何形式描述旋量運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖1所示。其中，ω為旋轉(zhuǎn)軸單位向量；q為截取空間軸線任意點(diǎn)；p取機(jī)器人末端位置(p0→pt)；t為時(shí)間段；d為移動(dòng)距離。

圖1 旋量運(yùn)動(dòng)

基于基本旋量運(yùn)動(dòng)基礎(chǔ)理論，推導(dǎo)某多自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解如圖2所示，首先定義了某多自由度機(jī)器人兩個(gè)重要坐標(biāo)系，定義基座標(biāo)系R在機(jī)器人底座中心位置，機(jī)器人末端執(zhí)行器中心為末端坐標(biāo)系E，假定在基座標(biāo)系參考下的末端執(zhí)行器位姿為E0，則γn為各關(guān)節(jié)單位旋量(微小變量)，φn為相對(duì)參考坐標(biāo)系的各關(guān)節(jié)名義運(yùn)動(dòng)。因此某多自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解Eφ為：

圖2 多自由度機(jī)器人

(1)

值得說(shuō)明的是，基于旋量理論的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解在計(jì)算過(guò)程中全部以“矩陣左乘”為標(biāo)準(zhǔn)，而傳統(tǒng)基于DH理論建模的推導(dǎo)過(guò)程全部以“矩陣右乘”為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)榛谛坷碚摰男窟\(yùn)動(dòng)均以機(jī)器人基座標(biāo)系為參考，而基于DH建模過(guò)程均以前一個(gè)關(guān)節(jié)坐標(biāo)系為參考，因此矩陣相乘過(guò)程中存在差異，旋量理論建模的最大優(yōu)勢(shì)在于理論上僅設(shè)定一個(gè)基座標(biāo)系為參考即可，規(guī)避了傳統(tǒng)建模理論因多個(gè)局部坐標(biāo)系建立存在的奇異性，規(guī)避了模型參數(shù)丟失的可能性。

2 臥式加工中心空間精度建模

2.1 幾何誤差分析

基于笛卡爾坐標(biāo)系下的三軸臥式加工中心，主要以銑床為參考一般有X、Y、Z三個(gè)直線運(yùn)動(dòng)軸。以X軸為例描述幾何元素，X軸進(jìn)給時(shí)共計(jì)6項(xiàng)幾何誤差：δx(x)、δy(x)、δz(x)、εx(x)、εy(x)、εz(x)，同理Y軸、Z軸共計(jì)12項(xiàng)幾何誤差，共計(jì)18項(xiàng)與位置相關(guān)幾何誤差，與位置相關(guān)定義為幾何誤差隨著機(jī)床進(jìn)給存在變化[8]；與位置無(wú)關(guān)即為垂直度誤差εxy、εyz、εzx，因此，三軸臥式加工中共計(jì) 21 項(xiàng)幾何誤差如表1所示；圖3為21項(xiàng)幾何誤差原理圖。

表1 21項(xiàng)幾何誤差

圖3 幾何誤差原理圖

2.2 運(yùn)動(dòng)鏈分析

為便于計(jì)算與理解機(jī)床空間精度基本原理，將機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈分為工件運(yùn)動(dòng)鏈與刀具運(yùn)動(dòng)鏈。工件運(yùn)動(dòng)鏈主要描述工件坐標(biāo)系到床身參考坐標(biāo)系，刀具運(yùn)動(dòng)鏈主要描述刀具坐標(biāo)系到床身參考坐標(biāo)系，一般地，理論初始位姿下工件坐標(biāo)系與刀具坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，設(shè)機(jī)床基座標(biāo)系(床身位置)為C_xyz，坐標(biāo)原點(diǎn)為C0，一般認(rèn)為機(jī)床開(kāi)機(jī)啟動(dòng)回零后的位置為參考坐標(biāo)系原點(diǎn)；工件坐標(biāo)系設(shè)為W_xyz，一般將刀尖點(diǎn)設(shè)為刀具坐標(biāo)系T_xyz，如圖4所示。

圖4 機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈簡(jiǎn)圖

為實(shí)現(xiàn)機(jī)床空間精度建模的完備性，有必要確定刀具坐標(biāo)系與工件坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的初試位姿，三軸機(jī)床不存在姿態(tài)變化，因此得出刀具和工件坐標(biāo)系在基坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)分別為：

(2)

(3)

式中，xT、yT、zT為刀尖點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下各軸的投影位置坐標(biāo)；xW、yW、zW為工件切削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下各軸的投影位置坐標(biāo)。

理想狀態(tài)下(幾何誤差未參與)，基于第1節(jié)旋量理論結(jié)合式(2)和式(3)，不難得出刀具運(yùn)動(dòng)鏈與工件運(yùn)動(dòng)鏈末端理想運(yùn)動(dòng)矩陣為：

(4)

(5)

式中，ECT為刀具相對(duì)基坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)矩陣；ECW為工件相對(duì)基坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)矩陣。

實(shí)際狀態(tài)下(幾何誤差參與)，機(jī)床進(jìn)給過(guò)程中存在幾何誤差，將幾何誤差以旋量形式帶入式(4)和式(5)中，不難得出實(shí)際刀具鏈與工件鏈運(yùn)動(dòng)矩陣為：

(6)

(7)

式中，ECT為刀尖相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣；ECW為工件切削點(diǎn)相對(duì)機(jī)床坐標(biāo)系的實(shí)際運(yùn)動(dòng)矩陣。

2.3 空間精度預(yù)測(cè)建模

機(jī)床空間精度的基本定義為：機(jī)床實(shí)際進(jìn)給過(guò)程中因?yàn)閹缀握`差的存在，導(dǎo)致了機(jī)床刀尖點(diǎn)偏離了工件切削點(diǎn)的過(guò)程視為機(jī)床空間精度。結(jié)合2.1節(jié)、2.2節(jié)中分析，推導(dǎo)出了該臥式加工中心空間精度模型ΔE為：

ΔE=ECW-ECT=[ΔxΔyΔz0]T=

(8)

式中，x、y、z為各軸設(shè)定進(jìn)給行程；Δx、Δy、Δz為各軸空間精度分量。

綜上所述，該臥式加工中心空間精度建模過(guò)程首先推導(dǎo)了基于旋量理論的機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)學(xué)正解過(guò)程，然后將旋量理論推廣到機(jī)床領(lǐng)域，通過(guò)分析三軸臥式加工中心21項(xiàng)幾何誤差，機(jī)器人結(jié)合機(jī)床兩條運(yùn)動(dòng)鏈建立了運(yùn)動(dòng)鏈理論與實(shí)際運(yùn)動(dòng)學(xué)矩陣，兩條運(yùn)動(dòng)鏈運(yùn)動(dòng)矩陣建立過(guò)程即為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)而基于機(jī)床空間精度基本定義構(gòu)建了該臥式加工中心空間精度模型，不難看出，空間精度模型包含了21項(xiàng)幾何誤差，保證了模型的完備性，規(guī)避了傳統(tǒng)建模方法因奇異性導(dǎo)致的幾何誤差丟失的可能性，同時(shí)減少了局部坐標(biāo)系的建立；此時(shí)，模型僅為函數(shù)參數(shù)模型，為實(shí)現(xiàn)機(jī)床空間精度預(yù)測(cè)模型，因此有必要開(kāi)展幾何誤差辨識(shí)研究。

3 幾何誤差辨識(shí)

3.1 空間理想位置與實(shí)際位置模型

圖5 理想與實(shí)際位置

(9)

因誤差存在的原因，實(shí)際點(diǎn)P0′(x0，y0，z0)至P′(x，y，z)的距離為：

(10)

則理想距離與實(shí)際距離之差為：

ΔL=L′-L

(11)

ΔLi=[Δxi-Δx0,Δyi-Δy0,Δzi-Δz0,1]=

[ΔLxcosα,ΔLycosβ,ΔLzcosγ,1]T

(12)

式中，ΔLi為空間中任意一條有限線段的實(shí)際測(cè)量誤差值。

3.2 定位誤差元素辨識(shí)

通過(guò)測(cè)量機(jī)床軸線方向偏差，得到各軸定位誤差δrri為：

δrri=ΔLi(ri),r=x,y,z

i=1,2,…,n

(13)

式中，ΔLi(ri)為各軸測(cè)量線上任意測(cè)量點(diǎn)。

3.3 俯仰與偏擺誤差元素辨識(shí)

通過(guò)測(cè)量軸線方向以及空間中與此軸線平行的偏差從而辨識(shí)直線度誤差元素εsti為：

i=1,2,…,n

(14)

式中，ΔLi(si，t0)和ΔLi(si)均為空間中與某軸線平行測(cè)量線上的任意測(cè)量點(diǎn)，當(dāng)s=y，t=x；s=z，t=y；s=x，t=z時(shí)，等式取正，其余取負(fù)。

3.4 直線度誤差元素辨識(shí)

直線度誤差元素辨識(shí)借助已辨識(shí)俯仰與偏擺誤差元素計(jì)算得出：

i=1,2,…,n

(15)

式中，δuw為w軸u方向上的直線度誤差元素，εvw為偏擺或俯仰誤差元素，Pvw為εvw積分結(jié)果，并且εvw以n階多項(xiàng)式形式輸出為：

εvwi=a0+a1x+…+anxn

(16)

Nvwi為Pvwi一階擬合曲線，不難得出：

Pvwi=c0+c1vi

(17)

基于最小二乘法求解常數(shù)項(xiàng)c0、c1即可。

3.5 分離滾角與垂直度誤差元素

滾角誤差元素為εrri，同樣以n階多項(xiàng)式形式給出：

(18)

式中，assi為常數(shù)項(xiàng)。

將已辨識(shí)誤差元素以及未知的滾角和垂直度誤差元素帶入ΔLi中，通過(guò)測(cè)量三條面對(duì)角線(i+1)個(gè)點(diǎn)的偏差，帶入ΔLi中解耦出三個(gè)相互獨(dú)立的(i+1)階方程組，求解方程組分離滾角誤差元素εrri與垂直度誤差元素Suv，(uv=x,y,z)。

此處值得說(shuō)明的是，某些機(jī)床進(jìn)給方向并不符合笛卡爾坐標(biāo)系X、Y、Z方向，因此基于“十二線法”實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)該保證機(jī)床實(shí)際切削進(jìn)給方向與笛卡爾坐標(biāo)系保持一致，規(guī)避實(shí)際進(jìn)給方向與G代碼運(yùn)動(dòng)軌跡相反導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)失敗的可能性。

4 空間精度量化驗(yàn)證

4.1 空間精度預(yù)測(cè)

機(jī)床空間精度預(yù)測(cè)模型為后續(xù)空間精度補(bǔ)償提供了一定的可能性，但少有研究學(xué)者提供其空間精度預(yù)測(cè)云圖，本位為直觀表示機(jī)床空間精度預(yù)測(cè)趨勢(shì)，基于第3節(jié)中“十二線法”幾何誤差辨識(shí)理論，設(shè)定該臥式加工中心加工空間范圍為600×600×600 mm，輸出了機(jī)床加工空間精度預(yù)測(cè)云圖如圖6所示。

圖6 加工空間空間精度預(yù)測(cè)云圖

云圖中接近紅色區(qū)域代表該區(qū)域空間精度較差，靠近深藍(lán)色區(qū)域代表該區(qū)域空間精度較好，加工空間精度預(yù)測(cè)云圖直觀描述了機(jī)床工作區(qū)域內(nèi)部的精度變化，同時(shí)可以看出，該臥式加工中心正極限位置加工精度較優(yōu)，反之則較差；該預(yù)測(cè)云圖同樣實(shí)現(xiàn)了機(jī)床工作空間內(nèi)任意點(diǎn)空間精度預(yù)測(cè)，即提供任意位置獲取該點(diǎn)空間精度預(yù)測(cè)結(jié)果，為后續(xù)空間精度補(bǔ)償?shù)於肆己玫睦碚撆c數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。

此處空間精度預(yù)測(cè)結(jié)果僅基于“十二線法”辨識(shí)結(jié)果給出，并未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，因此有必要開(kāi)展體對(duì)角線實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)工作保證該預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

完備空間精度模型是實(shí)現(xiàn)空間精度補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)，但前提條件必須證明模型準(zhǔn)確、合理。因此，在基于ISO230-6:2002[6]的基礎(chǔ)上提出一種新的空間精度預(yù)測(cè)模型驗(yàn)證策略，開(kāi)展體對(duì)角線實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證空間精度模型的準(zhǔn)確性。

如圖7所示，借助雷尼紹激光干涉儀為測(cè)試儀器，搭建如PPN空間體對(duì)角線定位精度測(cè)試平臺(tái)，開(kāi)展4條空間體對(duì)角線定位精度測(cè)試實(shí)驗(yàn)，測(cè)量時(shí)，各對(duì)角線均布選取21個(gè)采樣點(diǎn)，其中，D0為實(shí)驗(yàn)測(cè)量起始點(diǎn)，即工件坐標(biāo)系原點(diǎn)C0。

圖7 空間體對(duì)角線測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

現(xiàn)以對(duì)角線PPP舉例說(shuō)明，如圖8所示。設(shè)iDi、iDi+1為PPP上理想(ideal)任意相鄰兩點(diǎn)，ΔiDi,i+1(虛線)為其空間矢量；因空間精度作用，測(cè)試PPP對(duì)角線定位誤差時(shí)，實(shí)際(reality)兩點(diǎn)間的空間矢量為ΔrDi,i+1(實(shí)線)；同樣，所建立完備空間精度模型可預(yù)測(cè)(predictin)兩點(diǎn)間的空間矢量為ΔpDi,i+1(點(diǎn)劃線)。因此，以ΔiDi,i+1為理論參考基準(zhǔn)，對(duì)比ΔrDi,i+1、ΔpDi,i+1與ΔiDi,i+1之間的偏差，根據(jù)實(shí)際需求，保證相對(duì)誤差在合理范圍內(nèi)，即可驗(yàn)證所建空間精度模型的完備性。

圖8 驗(yàn)證策略

該驗(yàn)證策略具體實(shí)施步驟如下：

①計(jì)算理想矢量ΔiDi,i+1。理想狀態(tài)下，未有空間精度參與，輸入任意相鄰采樣點(diǎn)iDi、iDi+1名義坐標(biāo)，即可得出ΔiDi,i+1；

②計(jì)算預(yù)測(cè)矢量ΔpDi,i+1。將空間精度作用下的兩點(diǎn)rDi、rDi+1坐標(biāo)帶入空間精度模型式(8)中，即可預(yù)測(cè)ΔpDi,i+1；

③計(jì)算實(shí)際矢量ΔrDi,i+1。借助圖7中體對(duì)角線定位誤差測(cè)試實(shí)驗(yàn)，獲取實(shí)測(cè)采樣點(diǎn)rDi、rDi+1，計(jì)算實(shí)測(cè)矢量ΔrDi,i+1；

④計(jì)算偏差。為保證計(jì)算結(jié)果以微米數(shù)量級(jí)輸出，ΔrDi,i+1、ΔpDi,i+1均減去公共部分理想矢量ΔiDi,i+1得出相對(duì)偏差，如圖9所示。

圖9 空間矢量對(duì)比

結(jié)果顯示，由于所得數(shù)據(jù)為微米級(jí)別，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相差甚微，極限偏差僅為3.9 μm，PPP、NPP、PNP、PPN平均偏差分別為-0.21 μm、-1.06 μm、-1.68 μm、-0.05 μm，由此可以看出，實(shí)際上模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)符合程度較高，因此，驗(yàn)證了所建基于旋量理論的空間精度完備預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確、合理，可為后續(xù)機(jī)床空間精度補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)，具有實(shí)際工程意義。

5 結(jié)論

基于旋量理論推導(dǎo)多自由度機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，將其推廣到機(jī)床領(lǐng)域后，通過(guò)分析機(jī)床21項(xiàng)幾何誤差和機(jī)床運(yùn)動(dòng)鏈分析，同時(shí)基于機(jī)床空間精度定義，實(shí)現(xiàn)了該臥式加工中心空間精度模型的搭建。

借助“十二線法”完成了幾何誤差辨識(shí)理論推導(dǎo)過(guò)程，為該臥式加工中心空間精度預(yù)測(cè)提供理論基礎(chǔ)，同時(shí)輸出了該機(jī)床空間精度預(yù)測(cè)云圖?；贗SO230-6:2002體對(duì)角線空間精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)比了對(duì)角線模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值。結(jié)果顯示四條體對(duì)角線符合程度較高，驗(yàn)證了所建基于旋量理論的空間精度完備預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確、合理，可為后續(xù)機(jī)床空間精度補(bǔ)償?shù)於ɑA(chǔ)，具有實(shí)際工程意義。