滾珠絲杠副軸向靜剛度確信可靠性建模與分析*

龔夢(mèng)輝，韓 軍，周長(zhǎng)光，馮虎田，歐 屹

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引言

滾珠絲杠副是一種能將直線運(yùn)動(dòng)與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)相互轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵傳動(dòng)功能件，因其傳動(dòng)效率高、驅(qū)動(dòng)速度快、定位精度高等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于數(shù)控機(jī)床、航空航天、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域。滾珠絲杠副的剛性是衡量其綜合性能的重要的指標(biāo)之一,不僅影響滾珠絲杠副的精度、承載能力和使用壽命，還影響裝備的工作效率和使用壽命。因此，對(duì)滾珠絲杠副的剛度進(jìn)行可靠性分析及優(yōu)化，對(duì)于提高裝備的可靠性具有重要意義。

目前很多學(xué)者在滾珠絲杠副剛性的理論建模方面做了大量研究。例如黃金寶建立雙螺母墊片預(yù)緊滾珠絲杠副的剛度模型時(shí)考慮了滾珠絲杠副在受軸向載荷時(shí)接觸角的變化對(duì)其影響[1]；劉濤[2]在建立自適應(yīng)預(yù)緊滾珠絲杠副剛度模型時(shí)，分析了預(yù)緊力與變形之間的關(guān)系；張義民等[3]建立了單螺母滾珠絲杠副軸向靜剛度模型；DIEGO等[4]基于接觸應(yīng)力建立了一種新型的滾珠絲杠副接觸變形與優(yōu)化模型；DADALAU等[5]提出了一種有效的計(jì)算滾珠絲杠副剛度的方法。

以上研究對(duì)滾珠絲杠副的剛度可靠性計(jì)算奠定了良好的理論基礎(chǔ)。例如魏宗平[6]采用區(qū)間理論的方法計(jì)算了軸向接觸靜剛度的可靠度；張義民等[3]采用改進(jìn)的一次二階矩法對(duì)單螺母滾珠絲杠副的軸向靜剛度的可靠性進(jìn)行了研究，該方法對(duì)參數(shù)的信息量要求較高；王丹等[7]采用蒙特卡洛仿真法對(duì)滾珠絲杠副的軸向靜剛度進(jìn)行了分析，但是需要較大的樣本量；黃寬等[8]提出的基于Halton序列擬蒙特卡洛方法雖然克服了這些缺點(diǎn)，但是僅考慮了參數(shù)的不確定性。

在研究滾珠絲杠副的剛度可靠性時(shí)，除了需要考慮參數(shù)固有不確定性外，還需考慮因技術(shù)人員的知識(shí)不完備而造成的認(rèn)知不確定性[9]。確信可靠度理論的提出為可靠性分析打開了新的思路，該理論能對(duì)隨機(jī)不確定性和認(rèn)知不確定性進(jìn)行量化。LIU[10]首次提出了確信可靠度的概念，并建立了確信可靠度度量體系。ZENG等[11]提出了設(shè)計(jì)裕量、隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子的確定方法。

本文基于確信可靠性理論，考慮固有不確定性和認(rèn)知不確定性，對(duì)雙螺母墊片預(yù)緊式滾珠絲杠副的軸向靜剛度進(jìn)行可靠性分析，并與現(xiàn)階段常用的蒙特卡洛仿真法計(jì)算的可靠度進(jìn)行對(duì)比。并基于確信可靠性模型，對(duì)隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子進(jìn)行靈敏度分析，以提出行之有效的滾珠絲杠副可靠性增長(zhǎng)策略。

1 確信可靠度分析方法

確信可靠度理論是以不確定度理論[12]、概率論和機(jī)會(huì)理論[13]三大數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)的可靠性理論，可用不確定度理論描述認(rèn)知不確定度，用概率論描述隨機(jī)不確定度，用機(jī)會(huì)理論描述隨機(jī)不確定度和認(rèn)知不確定度同時(shí)存在的混合不確定度。確信可靠性的度量框架圖，如圖1所示。

圖1 確信可靠性度量框圖

在確信可靠性理論中性能裕量m是描述系統(tǒng)功能行為的狀態(tài)變量，表征的是性能參數(shù)p與其故障閾值pth之間的距離或相對(duì)距離。根據(jù)性能參數(shù)p和故障閾值pth的關(guān)系，性能參數(shù)的類型有3種：

(1)望小性能參數(shù)(STB)：當(dāng)p≥pth時(shí)，產(chǎn)品發(fā)生故障，則性能參數(shù)為望小性能參數(shù)；

(2)望大性能參數(shù)(LTB)：當(dāng)p≤pth時(shí)，產(chǎn)品發(fā)生故障，則性能參數(shù)為望大性能參數(shù)；

(3)望目性能參數(shù)(NTB)：當(dāng)p≤pth,L或p≥pth,U時(shí)，產(chǎn)品發(fā)生故障，則性能參數(shù)為望目性能參數(shù)；

不同類型的性能參數(shù)，其對(duì)應(yīng)的性能裕量也不同：

(1)

基于康銳等建立的系統(tǒng)確信可靠度評(píng)估計(jì)算方法[11]，本文將同時(shí)考慮滾珠絲杠副的參數(shù)和模型不確定性對(duì)性能裕量模型的影響，在建立滾珠絲杠副剛度模型的基礎(chǔ)上，從設(shè)計(jì)裕量、隨機(jī)不確定性因子(aleatory uncertainty factor，AUF)和認(rèn)知不確定性因子(epistemic uncertainty factor，EUF)的角度出發(fā)，建立基于性能裕量的滾珠絲杠副確信可靠性模型，計(jì)算滾珠絲杠副軸向靜剛度的可靠性指標(biāo)。

2 滾珠絲杠副軸向靜剛度建模

滾珠絲杠副的剛度是指其抵抗變形的能力，表示為單位載荷下的變形量，因此本文以滾珠絲杠副的軸向變形量來對(duì)剛度進(jìn)行量化。對(duì)于雙螺母墊片預(yù)緊式滾珠絲杠螺母，在空載情況下，左右兩邊螺母只受初始預(yù)緊力Fp作用，受力如圖2所示。圖3為以滾珠中心為原點(diǎn)建立的坐標(biāo)系，圖中α為滾珠與滾道之間的接觸角，β為螺旋升角，滾珠與左右螺母滾道接觸面的法向載荷為：

圖2 空載下墊片預(yù)緊式雙螺母滾珠絲杠副示意圖

圖3 滾珠坐標(biāo)系

(2)

式中，i為單個(gè)螺母滾珠循環(huán)圈數(shù)；z為單圈承載滾珠數(shù)。

對(duì)單個(gè)滾珠而言，其法向變形量為滾珠與螺母滾道、絲杠滾道法向變形量之和。根據(jù)赫茲定理，在初始預(yù)緊力作用下，滾珠絲杠副的法向變形量為：

(3)

式中，∑ρs、∑ρn分別為絲杠和螺母與滾道接觸點(diǎn)處的主曲率和；μ1、μ2為泊松比；E1、E2為彈性模量；E′為當(dāng)量彈性模量；ma為接觸橢圓長(zhǎng)軸系數(shù)；e為橢圓偏心率；K(e)為第一類完全橢圓積分。

在彈性范圍內(nèi)，滾珠絲杠副軸向變形量與法向變形量的關(guān)系[14]為：

(4)

滾珠絲杠副軸向變形量為：

(5)

當(dāng)滾珠絲杠副承受軸向載荷Fa時(shí)，其受力如圖4所示，此時(shí)螺母2為工作螺母，所受力由Fp增加為F2，螺母1為預(yù)緊螺母，所受力由Fp減小為F1。

圖4 受軸向載荷墊片預(yù)緊式雙螺母滾珠絲杠副示意圖

根據(jù)受力平衡條件：

F2-F1=Fa

(6)

根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系[6]：

(7)

對(duì)于式(7)的非線性方程，可用Newton-Raphson迭代法[6]求解。

由靜力平衡方程，螺母1中滾珠承受的法向力為：

(8)

螺母2中滾珠承受的法向力為：

(9)

螺母1和2相對(duì)于絲杠的軸向變形量為：

(10)

由于螺母1、2及滾珠的材料參數(shù)相同，且滾珠絲杠本身存在預(yù)緊力，因此兩螺母軸向剛度一致，即螺母1和2軸向變形量變化相同：

Δ1=Δ2=δp-δ1=δ2-δp

(11)

因此，在軸向載荷Fa作用下，雙螺母墊片預(yù)緊式滾珠絲杠副軸向變形量為：

(12)

從式(12)看出，雙螺母墊片預(yù)緊式滾珠絲杠副的軸向變形量與結(jié)構(gòu)參數(shù)、材料參數(shù)、預(yù)緊力和軸向載荷有關(guān)。

3 滾珠絲杠副確信可靠性建模

滾珠絲杠副在加工制造過程中，由于存在誤差，其相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)與理論值存在一定的偏差，如節(jié)圓直徑D、壓力角α、適應(yīng)比f、滾珠直徑d、螺旋升角β等?，F(xiàn)階段，對(duì)于滾珠絲杠副的可靠性計(jì)算，都是基于經(jīng)驗(yàn)假設(shè)，其分布模型和分布參數(shù)都是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)所得，缺乏理論依據(jù)，因此，必須考慮參數(shù)不確定性和模型不確定性對(duì)滾珠絲杠副可靠度的影響。

根據(jù)定義可知，滾珠絲杠副的軸向變形量為望小性能參數(shù)，其故障閾值為pth=Δ，性能參數(shù)為p:

p=Δa(D,α,β,f,d,Fa,Fp)

(13)

則性能裕量為：

(14)

為計(jì)算考慮參數(shù)和模型不確定性的確信可靠度，首先得明確設(shè)計(jì)裕量、隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子。

3.1 設(shè)計(jì)裕量

滾珠絲杠副的設(shè)計(jì)裕量md定義為：

md=gm(xN)

(15)

式中，xN為D、α、β、f、d、Fa、Fp的均值組成的向量。

3.2 滾珠絲杠副隨機(jī)不確定性因子的確定方法

隨機(jī)不確定性因子描述了滾珠絲杠副參數(shù)隨機(jī)變化的分散性，例如制造誤差、材料特性變化等。根據(jù)定義[11]，隨機(jī)不確定性因子為：

(16)

式中，ZRp為標(biāo)準(zhǔn)概率正態(tài)分布的累積函數(shù)在Rp處的取值：

(17)

理論上可靠度Rp可通過概率密度求得，但由于滾珠絲杠副剛性的影響因素較多，求解聯(lián)合密度式較困難。目前，求解經(jīng)典概率可靠度較常用的方法是蒙特卡洛仿真法[15]和結(jié)構(gòu)可靠性方法[16]，本文將采用蒙特卡洛仿真法求解Rp。

3.3 滾珠絲杠副認(rèn)知不確定性因子的評(píng)估方法

認(rèn)知不確定性描述性能裕量分布的分散性，其分散程度的大小取決于產(chǎn)品故障過程及規(guī)律的認(rèn)知程度。一般來說對(duì)產(chǎn)品故障的認(rèn)知越充分，認(rèn)知不確定性因子的值越小。在工程上，技術(shù)成熟度等級(jí)系統(tǒng)[17]描述了典型產(chǎn)品制造和加工過程，描述了技術(shù)從基本概念發(fā)展到成功實(shí)踐的全過程，反映了人們對(duì)相關(guān)技術(shù)的認(rèn)知從無到逐漸完善的過程，已被廣泛應(yīng)用于航空航天等多個(gè)領(lǐng)域[18]。技術(shù)成熟度等級(jí)(technology readiness level，TRL)能夠很好地刻畫人們的認(rèn)知不確定度水平，因此可以基于技術(shù)成熟度等級(jí)來對(duì)滾珠絲杠副的認(rèn)知不確定性因子進(jìn)行量化。

(1)基于條件距離的專家權(quán)重的計(jì)算

邀請(qǐng)n位專家對(duì)滾珠絲杠副的技術(shù)成熟度等級(jí)條件質(zhì)量進(jìn)行打分，需打分的條件有m個(gè)，則第i個(gè)條件的分?jǐn)?shù)記為：Qi,1，Qi,2，…，Qi,n。第i個(gè)條件的平均條件質(zhì)量為：

(18)

條件距離為：

(19)

基于條件距離的專家權(quán)重為：

(20)

(2)基于貢獻(xiàn)的條件權(quán)重計(jì)算

第i個(gè)條件的條件質(zhì)量為：

(21)

條件權(quán)重為：

(22)

(3)計(jì)算等級(jí)得分

技術(shù)等級(jí)得分表示滾珠絲杠副在某一技術(shù)成熟度等級(jí)下的表現(xiàn)，假設(shè)滾珠絲杠副當(dāng)前技術(shù)成熟度等級(jí)為N，則其等級(jí)得分為：

(23)

(4)計(jì)算技術(shù)成熟度得分

技術(shù)成熟度得分表征的是在技術(shù)發(fā)展周期內(nèi)，滾珠絲杠副的成熟程度。假設(shè)滾珠絲杠副技術(shù)成熟度共有Nmax級(jí)，則技術(shù)成熟度得分為：

(24)

(5)計(jì)算認(rèn)知不確定性因子

求得技術(shù)成熟度得分后，滾珠絲杠副的認(rèn)知不確定性因子為：

(25)

圖5為認(rèn)知不確定性與技術(shù)成熟度得分的關(guān)系圖。從圖中可以看出，不同技術(shù)成熟度等級(jí)下，技術(shù)成熟度得分不同，呈現(xiàn)分段特性。技術(shù)成熟度等級(jí)越高，技術(shù)成熟度得分越大，認(rèn)知不確定性因子也就越低，且在同一技術(shù)成熟度等級(jí)下，當(dāng)技術(shù)成熟度得分較小時(shí)，其對(duì)認(rèn)知不確定性因子的影響較大，隨著技術(shù)成熟度得分的增大，這種影響會(huì)顯著減小，說明在同一個(gè)技術(shù)成熟度等級(jí)下，單靠提升技術(shù)成熟度得分只能在一定程度上提升產(chǎn)品的可靠性。

圖5 認(rèn)知不確定性因子與技術(shù)成熟度得分關(guān)系圖

3.4 滾珠絲杠副確信可靠度計(jì)算

將設(shè)計(jì)裕量md、隨機(jī)不確定性因子σm、認(rèn)知不確定性因子σe代入式(26)，即可算出滾珠絲杠副確信不確定度。

(26)

式中，Φ(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。

4 滾珠絲杠副確信可靠性實(shí)例分析

本次計(jì)算采用絲杠型號(hào)為FC1Z-4010-3，相關(guān)參數(shù)如表1所示。假設(shè)滾珠絲杠副的節(jié)圓直徑D、接觸角α、螺旋升角β、滾珠適應(yīng)比f、滾珠直徑d、軸向載荷Fa、初始預(yù)緊力Fp等參數(shù)服從正態(tài)分布，取均值的5%作為其標(biāo)準(zhǔn)差。

表1 滾珠絲杠副參數(shù)表

采用蒙特卡洛仿真法，取100 000次抽樣得到概率可靠度Rp=0.920 41，其分布圖如圖6所示。從圖中可以看出，滾珠絲杠副的軸向變形量的分布呈近似正態(tài)分布。

圖6 蒙特卡洛法分布圖

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得ZRp=1.407。計(jì)算得設(shè)計(jì)裕量為md=0.197 4，隨機(jī)不確定性因子為：σm=0.140 3。

根據(jù)GJB7688[17]可知，成熟滾珠絲杠副產(chǎn)品的技術(shù)成熟度等級(jí)為9級(jí)，設(shè)計(jì)階段滾珠絲杠副產(chǎn)品的技術(shù)成熟度等級(jí)則在1～8級(jí)。根據(jù)不同的等級(jí)條件，通過專家打分，計(jì)算得9種技術(shù)成熟度等級(jí)下的等級(jí)得分、技術(shù)成熟度得分、認(rèn)知不確定性因子如表 2所示。

表2 不同技術(shù)成熟度等級(jí)條件下認(rèn)知不確定性數(shù)值

基于蒙特卡洛法計(jì)算的可靠度及基于不同技術(shù)度成熟度等級(jí)下的確信可靠性方法計(jì)算的可靠度如表3所示，從表3中，我們可以得出：確信可靠性理論計(jì)算的結(jié)果比蒙特卡洛法更加保守，說明在考慮認(rèn)知不確定后，滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠性會(huì)降低，也說明由于認(rèn)知不足產(chǎn)生的認(rèn)知不確定性對(duì)滾珠絲杠副的可靠性提升具有阻礙作用，隨著技術(shù)成熟度等級(jí)的提高，人們對(duì)于滾珠絲杠副的認(rèn)知更充分，認(rèn)知不確定性因子會(huì)降低，滾珠絲杠副的確信可靠度會(huì)顯著提高，可見通過系統(tǒng)學(xué)習(xí)，彌補(bǔ)對(duì)絲杠認(rèn)知上的缺陷對(duì)于滾珠絲杠副可靠性提升是十分必要的。

表3 可靠度計(jì)算值

5 滾珠絲杠副確信可靠性靈敏度分析

為研究隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定對(duì)因子對(duì)滾珠絲杠副確信可靠度的影響，本節(jié)對(duì)其進(jìn)行靈敏度分析。首先確定這兩個(gè)參數(shù)的取值范圍。計(jì)算設(shè)計(jì)裕量md為0.197 4；取滾珠絲杠副概率可靠度Rp為范圍為[0.7,1]，對(duì)應(yīng)隨機(jī)不確定性因子σm范圍為[0,0.379 6]；通過仿真可得，式(23)中的等級(jí)得分LN的取值范圍為[0,1]，取技術(shù)成熟度為5～9級(jí)，認(rèn)知不確定性因子范圍為(0,0.555 6)。

圖7為不同認(rèn)知不確定性因子下滾珠絲杠副的確信可靠度隨著隨機(jī)不確定性因子變化情況；圖8為不同技術(shù)成熟度等級(jí)下所能達(dá)到的最大確信可靠度曲線圖；圖9為技術(shù)成熟度等級(jí)從5級(jí)到9級(jí)時(shí)滾珠絲杠副確信可靠度隨認(rèn)知不確定性因子σe和隨機(jī)不確定性因子σm變化圖，其中圖9a為三維圖，圖9b為等值線圖，圖中虛線表示滾珠絲杠副的軸向靜剛度確信可靠度RB為0.9的等值線。

圖7 確信可靠度隨σm和σe變化曲線圖

圖8 各技術(shù)成熟度等級(jí)最大確信可靠性

(a)三維圖

通過圖7可以看出，當(dāng)隨機(jī)不確定性因子較大時(shí)，認(rèn)知不確定性因子對(duì)滾珠絲杠副的確信可靠度影響較小。當(dāng)隨機(jī)不確定性因子減小時(shí)，認(rèn)知不確定性因子對(duì)滾珠絲杠副確信可靠度影響程度增大。因此，在對(duì)滾珠絲杠副剛性進(jìn)行可靠性提升時(shí)，在初期，應(yīng)通過優(yōu)化滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)來減小隨機(jī)不確定性因子，提高滾珠絲杠副的確信可靠度。當(dāng)隨機(jī)不確定性因子減小到一定值后，若通過優(yōu)化滾珠絲杠副的結(jié)構(gòu)參數(shù)來提高可靠度，成本將會(huì)激增，提升效果也不明顯，因此，后期應(yīng)加強(qiáng)對(duì)員工的培訓(xùn)，完善其知識(shí)體系，減小認(rèn)知不確定性的影響，達(dá)到確信可靠度增長(zhǎng)的目的。

通過圖8可以看出當(dāng)技術(shù)成熟度等級(jí)小于8級(jí)時(shí)，最大可靠度均小于0.9，這是因?yàn)楫?dāng)技術(shù)成熟度較低時(shí)我們對(duì)滾珠絲杠副的了解還不夠深入，從而制約了滾珠絲杠副的可靠性增長(zhǎng)，因此，減小認(rèn)知不確定性的影響是保證滾珠絲杠副可靠性增長(zhǎng)的必經(jīng)之路。

從圖9中可以看出，隨著隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子的減小，滾珠絲杠副的確信可靠度能夠得到顯著提升。且由于認(rèn)知不確定性的存在，滾珠絲杠副的確信可靠度總是比概率可靠度小，只有當(dāng)認(rèn)知不確定性因子趨近于0時(shí)，確信可靠度才趨于概率可靠度；當(dāng)隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子都趨于0時(shí)，若md>0，則確信可靠度趨向于1，此時(shí)確信可靠度幾乎不受不確定性的影響，只由設(shè)計(jì)裕量決定，即初始設(shè)計(jì)是可靠的(md>0)，則滾珠絲杠副就是可靠的。一般情況下，滾珠絲杠副的可靠性應(yīng)保證在0.9以上，從圖9b中可以看出，必須使認(rèn)知不確定性因子σe小于0.15，才能保證滾珠絲杠副的可靠度滿足規(guī)定要求。

6 結(jié)束語

本文在滾珠絲杠副剛度模型中，考慮了參數(shù)和模型不確定導(dǎo)致的認(rèn)知不確定性對(duì)性能裕量的影響，從設(shè)計(jì)裕量、隨機(jī)不確定性因子、認(rèn)知不確定性因子出發(fā)，建立了基于性能裕量的確信可靠性模型，求得在不同技術(shù)成熟度等級(jí)下雙螺母墊片預(yù)緊式滾珠絲杠副的軸向靜剛度確信可靠度并對(duì)其進(jìn)行了靈敏度分析，通過分析得出：

(1)考慮了認(rèn)知不確定性后，滾珠絲杠副的軸向靜剛度可靠度明顯降低，只有當(dāng)認(rèn)知不確定性因子趨于0時(shí)，確信可靠度才趨于概率可靠度，當(dāng)隨機(jī)不確定性因子和認(rèn)知不確定性因子都趨于0時(shí)，若md>0，則確信可靠度趨向于1。提高技術(shù)成熟度等級(jí)能夠減小認(rèn)知不確定性的影響，提升可靠性，隨著技術(shù)成熟度等級(jí)從1級(jí)提升到9級(jí)，確信可靠度從0.586 795顯著提升到0.920 284，且達(dá)到9級(jí)時(shí)，可靠度與采用蒙特卡洛法所求的0.920 410接近。

(2)當(dāng)滾珠絲杠副可靠性較小時(shí)，隨機(jī)不確定性因子對(duì)其確信可靠性影響較大，當(dāng)其可靠性提升到一定程度后，認(rèn)知不確定性因子對(duì)確信可靠度影響更大。

(3)當(dāng)滾珠絲杠副可靠性較低時(shí)應(yīng)通過優(yōu)化絲杠結(jié)構(gòu)參數(shù)來獲得可靠性增長(zhǎng)，當(dāng)可靠性增長(zhǎng)到一定值時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)技術(shù)人員培訓(xùn)，以減小認(rèn)知不確定性的影響，獲得可靠性增長(zhǎng)，且為了保證滾珠絲杠副可靠度達(dá)到0.9以上，必須確保認(rèn)知不確定因子小于0.15。