非圓齒輪往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)反求設(shè)計(jì)及運(yùn)動(dòng)分析

史 諾,劉 瓊,楊曉龍 ,李 篤

(西安航空學(xué)院 a.機(jī)械工程學(xué)院；b.計(jì)算機(jī)學(xué)院，西安 710077)

0 引言

往復(fù)擺動(dòng)是常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式，目前應(yīng)用較多的機(jī)構(gòu)是連桿機(jī)構(gòu)和凸輪機(jī)構(gòu)。在高速運(yùn)動(dòng)條件下，連桿機(jī)構(gòu)的慣性力不易平衡，且一般只能近似實(shí)現(xiàn)給定運(yùn)動(dòng)規(guī)律；凸輪機(jī)構(gòu)往往需要借助于彈簧來(lái)形成力的封閉，額外的動(dòng)載荷會(huì)導(dǎo)致沖擊、噪聲增大，影響運(yùn)動(dòng)特性[1]。齒輪機(jī)構(gòu)的動(dòng)載平衡、傳動(dòng)精確，但是單純采用圓柱齒輪的機(jī)械機(jī)構(gòu)很難生成復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，非圓齒輪是一種瞬時(shí)傳動(dòng)比按一定規(guī)律變化的機(jī)械零件[2]，將其作為一種函數(shù)發(fā)生裝置運(yùn)用在輪系當(dāng)中[3-4]，可以生成往復(fù)擺動(dòng)規(guī)律，且具有較為優(yōu)良的動(dòng)力學(xué)特性。

戴威駿[5]采用三個(gè)非圓齒輪與三個(gè)圓柱齒輪構(gòu)成定軸輪系，可以輸出規(guī)律的變速擺動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了無(wú)游梁式抽氣機(jī)的平穩(wěn)換向；劉永平等[6]構(gòu)建了行星輪系使輸出端做往復(fù)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了抽油機(jī)的機(jī)械式換向，在此結(jié)構(gòu)中，非圓齒輪采用的是橢圓齒輪，通過(guò)改變橢圓齒輪的偏心率實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的調(diào)節(jié)；章偉[7]利用行星輪系構(gòu)造了織機(jī)打緯機(jī)構(gòu)，打緯揺軸的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能達(dá)到了理想狀態(tài)，在該機(jī)構(gòu)中，兩對(duì)嚙合的齒輪均采用了非圓齒輪，機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)難度較大。

上述研究對(duì)于非圓齒輪往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)奠定了一定的理論基礎(chǔ)并提供了典型范式，為了進(jìn)一步降低設(shè)計(jì)難度，本文通過(guò)反求設(shè)計(jì)方法構(gòu)建W-W型非圓齒輪行星輪系，其分析過(guò)程簡(jiǎn)單，設(shè)計(jì)結(jié)果可靠。

1 往復(fù)擺動(dòng)原理

圖1為一個(gè)典型的W-W型非圓齒輪行星輪系，由行星架及4個(gè)齒輪構(gòu)成，行星架H是輸入端，其轉(zhuǎn)速恒定，轉(zhuǎn)角為φH，非圓齒輪1、2、3、4構(gòu)成了外嚙合的齒輪副G12、G34，其中齒輪1固定不動(dòng)、齒輪2與3同軸相連，齒輪4是輸出端，其轉(zhuǎn)角為φ4，對(duì)非圓齒輪行星輪系采用速度矢量圖的方式進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析[8-9]。

(a)初始時(shí)刻

從理論上來(lái)講，圓柱齒輪是非圓齒輪的一種特殊形式，若齒輪副G12與齒輪副G34之一為圓柱齒輪副，另一個(gè)為非圓齒輪副，則每對(duì)齒輪副嚙合點(diǎn)K、M之間的相對(duì)位置變化規(guī)律就會(huì)更明確，設(shè)計(jì)非圓齒輪行星輪系的難度就大為降低，因此選定齒輪1、2為圓柱齒輪，3、4為非圓齒輪，后文中對(duì)輪系的運(yùn)動(dòng)分析在此條件下進(jìn)行。

2 運(yùn)動(dòng)分析及反求步驟

非圓齒輪往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)要解決的關(guān)鍵問(wèn)題是：在根據(jù)實(shí)際工況確定輸出運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及根據(jù)實(shí)際傳動(dòng)空間確定大致幾何尺寸的約束條件下，反求出非圓齒輪3、4的節(jié)曲線。

2.1 運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)行星輪系采用反轉(zhuǎn)法進(jìn)行分析，即對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)施加旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)速為-dφH/dt，則行星架H是靜止的，行星輪系轉(zhuǎn)化成為定軸輪系[10]，在定軸輪系中可忽略行星架H，如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)化輪系結(jié)構(gòu)示意圖

(1)

(2)

在原有行星輪系中，齒輪1是固定不動(dòng)的，故

(3)

(4)

式中，i4H是原有行星輪系的整體傳動(dòng)比。

(5)

根據(jù)式(4)、式(5)，整理可得：

(6)

根據(jù)行星輪系的結(jié)構(gòu)構(gòu)型，4個(gè)齒輪向徑之間的關(guān)系為：

r1+r2=r3+r4=a

(7)

式中，a為常數(shù)，是齒輪副G12、G34的中心距。

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

(9)

又齒輪3的轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足的關(guān)系為：

(10)

從而得到了轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)當(dāng)中非圓齒輪3的節(jié)曲線方程為：

(11)

將式(9)代入式(7)，并與式(2)聯(lián)立，得到轉(zhuǎn)化機(jī)構(gòu)當(dāng)中非圓齒輪4的節(jié)曲線方程為：

(12)

2.2 反求計(jì)算流程

如圖3所示，求解非圓齒輪3、4的節(jié)曲線的主要步驟如下所述：

圖3 非圓齒輪節(jié)曲線繪制流程圖

(1)根據(jù)實(shí)際工況要求確定行星架H在一個(gè)回轉(zhuǎn)周期內(nèi)非圓齒輪4的轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

(5)對(duì)節(jié)曲線進(jìn)行封閉性校核、壓力角校核、根切校核，若符合傳動(dòng)與制造要求，將步驟(4)獲得的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)采用三次樣條插值后繪制出非圓齒輪的節(jié)曲線，若不符合要求，優(yōu)化參數(shù)后從步驟(1)開(kāi)始重新計(jì)算，直至校驗(yàn)通過(guò)。

2.3 設(shè)計(jì)實(shí)例

設(shè)定在行星架H的一個(gè)回轉(zhuǎn)周期內(nèi)，非圓齒輪4往復(fù)等角擺動(dòng)，其角位移呈簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，最大轉(zhuǎn)角φ4m為π/3，最大轉(zhuǎn)角φ4m所對(duì)應(yīng)的行星架H回轉(zhuǎn)角度φH為π。根據(jù)上述運(yùn)動(dòng)要求，則行星輪系的轉(zhuǎn)角關(guān)系為：

(13)

根據(jù)圖3所示的流程，當(dāng)圓柱齒輪1、2均采用模數(shù)為2 mm、齒數(shù)為30的結(jié)構(gòu)參數(shù)，計(jì)算得到中心距a為60 mm，此時(shí)反求得到的非圓齒輪3、4的節(jié)曲線如圖4所示。

(a)非圓齒輪3的節(jié)曲線 (b)非圓齒輪4的節(jié)曲線

3 齒輪構(gòu)型

對(duì)非圓齒輪的范成法加工過(guò)程進(jìn)行模擬可以得到包絡(luò)模型，在此基礎(chǔ)上可以生成非圓齒輪的三維實(shí)體[11-13]。如圖5所示，在非圓齒輪的中心建立固定坐標(biāo)系XOY，在插齒刀中心建立隨動(dòng)坐標(biāo)系X0O0Y0，X0軸是插齒刀中心軌跡的切線，Y0軸是插齒刀與非圓齒輪瞬時(shí)嚙合點(diǎn)的法線，范成加工過(guò)程可以視為插齒刀的節(jié)圓沿著非圓齒輪節(jié)曲線的純滾動(dòng)，當(dāng)初始嚙合點(diǎn)E滾動(dòng)至E′時(shí)，插齒刀轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，非圓齒輪對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為φ，隨動(dòng)坐標(biāo)系X0O0Y0中的Y0軸與固定坐標(biāo)系XOY的X軸之間的夾角為β。

圖5 非圓齒輪的范成法加工原理

在固定坐標(biāo)系XOY下，插齒刀的中心坐標(biāo)x0、y0可以表示為：

(14)

式中，x、y是非圓齒輪節(jié)曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)；rd為插齒刀節(jié)圓半徑。

非圓齒輪節(jié)曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)x、y計(jì)算公式為：

(15)

式中，r為非圓齒輪的向徑。

隨動(dòng)坐標(biāo)系X0O0Y0中的Y0軸與固定坐標(biāo)系XOY的X軸之間的角度為β，計(jì)算公式為：

(16)

將式(15)、式(16)帶入式(14)，可以求得在固定坐標(biāo)系XOY下，插齒刀的中心坐標(biāo)x0、y0。

將隨動(dòng)坐標(biāo)系X0O0Y0中插齒刀的齒廓坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至固定坐標(biāo)系XOY中，其計(jì)算公式如下：

(17)

式中，xd、yd是隨動(dòng)坐標(biāo)系X0O0Y0下插齒刀的齒廓點(diǎn)坐標(biāo)；X、Y是固定坐標(biāo)系XOY下插齒刀的齒廓點(diǎn)坐標(biāo)。

由于在范成過(guò)程中插齒刀轉(zhuǎn)角θ對(duì)應(yīng)的節(jié)圓弧長(zhǎng)與非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ對(duì)應(yīng)的節(jié)曲線弧長(zhǎng)是相等的，故以插齒刀轉(zhuǎn)角θ為自變量，可以計(jì)算出非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ：

(18)

依據(jù)式(17)計(jì)算固定坐標(biāo)系XOY下，不同的非圓齒輪轉(zhuǎn)角φ所對(duì)應(yīng)的插齒刀的齒廓點(diǎn)坐標(biāo)，連點(diǎn)成線后即可得出非圓齒輪的包絡(luò)模型，如圖6所示。依據(jù)包絡(luò)模型提取齒廓，并賦予一定的齒寬，可得到非圓齒輪的實(shí)體模型。

(a)非圓齒輪3的包絡(luò)模型 (b)非圓齒輪4的包絡(luò)模型

4 虛擬樣機(jī)與仿真

在UG NX軟件平臺(tái)的裝配模塊中將齒輪1與2、3與4進(jìn)行裝配，齒輪副G12與齒輪副G34構(gòu)建完成后再與機(jī)架之間進(jìn)行約束，得到非圓齒輪往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，如圖7所示，保存模型后切換到運(yùn)動(dòng)仿真模塊進(jìn)行分析。

圖7 往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)的三維模型

設(shè)定行星架的輸入轉(zhuǎn)速為360 °/s，仿真時(shí)間為1 s，仿真步數(shù)為1000步，測(cè)定非圓齒輪4的輸出轉(zhuǎn)角曲線，并對(duì)輸出轉(zhuǎn)角曲線關(guān)于時(shí)間進(jìn)行微分處理，得到角速度曲線，將仿真得到的輸出響應(yīng)與理論值進(jìn)行對(duì)比，如圖8所示。

(a)角位移曲線

從圖8a可以看出，角位移理論值與仿真值較為接近，在0.5 s時(shí)理論值與仿真值均達(dá)到了最大，角位移的理論最大值為60°，仿真最大值為61.792 6°，誤差為2.99%，誤差是由節(jié)曲線的設(shè)計(jì)精度造成的，節(jié)曲線是由離散點(diǎn)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)三次樣條插值后擬合得到的，離散點(diǎn)越多，則節(jié)曲線的精度越高，要降低誤差，需要增大節(jié)曲線的數(shù)據(jù)計(jì)算量；從圖8b可以看出，角速度的理論值與仿真值的變化趨勢(shì)是一致的，說(shuō)明行星輪系的設(shè)計(jì)是正確的，但是角速度仿真值一直是波動(dòng)狀態(tài)，造成這種現(xiàn)象的主要原因一是每一次輪齒的嚙合均會(huì)形成剛性碰撞；二是非圓齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的重合度不斷變化。在多重影響因素下整個(gè)行星輪系產(chǎn)生了非規(guī)律性的振動(dòng)，在此激勵(lì)下角速度仿真值呈明顯的鋸齒狀。根據(jù)行星輪系運(yùn)行時(shí)的工況，仿真值相對(duì)于理論值更能反映出實(shí)際狀態(tài)[14]。

5 結(jié)束語(yǔ)

從往復(fù)擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)原理出發(fā)，利用非圓齒輪構(gòu)建W-W型行星輪系，并建立虛擬樣機(jī)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)分析，可以得到如下結(jié)論：

(1)W-W型非圓齒輪行星輪系中兩個(gè)齒輪副嚙合點(diǎn)之間的相對(duì)位置變化是產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的原因，將其中的一對(duì)非圓齒輪副特殊化為圓柱齒輪副，則嚙合點(diǎn)之間的相對(duì)位置變化規(guī)律較為明確，大大降低了機(jī)構(gòu)的分析與設(shè)計(jì)難度。

(2)根據(jù)擺角運(yùn)動(dòng)規(guī)律反求非圓齒輪節(jié)曲線，在此基礎(chǔ)上模擬范成加工過(guò)程獲取非圓齒輪包絡(luò)模型，提取齒廓并賦予一定的齒寬，可得到非圓齒輪的實(shí)體模型。

(3)非圓齒輪往復(fù)擺動(dòng)機(jī)構(gòu)仿真測(cè)試輸出的角位移曲線、角速度曲線與理論分析的吻合度較高，在變化趨勢(shì)上是一致的。

(4)W-W型非圓齒輪行星輪系不僅可以實(shí)現(xiàn)往復(fù)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)而且可以完成擺動(dòng)—回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、間歇旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、間歇擺動(dòng)等，這就需要將節(jié)曲線表示成分段函數(shù)的形式，再進(jìn)行齒輪構(gòu)型后完成機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)，其基本分析流程與設(shè)計(jì)步驟與本文一致。