角接觸球軸承旋轉(zhuǎn)精度數(shù)值仿真分析*

王曉明，余永健，王東峰，薛玉君,2，李濟(jì)順

(1.河南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，洛陽(yáng) 471003；2.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽(yáng) 471003；3.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，洛陽(yáng) 471039；4.高性能軸承數(shù)字化設(shè)計(jì)國(guó)家國(guó)際科技合作基地，洛陽(yáng) 471039；5.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，洛陽(yáng) 471039)

0 引言

角接觸球軸承具有良好的承載性能，且旋轉(zhuǎn)精度高，廣泛應(yīng)用于精密機(jī)械領(lǐng)域，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)、高精度機(jī)床和精密磁盤等。軸承旋轉(zhuǎn)精度對(duì)機(jī)械運(yùn)行精度有重要影響，軸承各元件的幾何誤差又會(huì)對(duì)軸承的旋轉(zhuǎn)精度產(chǎn)生決定性影響[1-3]。因此，研究軸承元件幾何誤差與軸承旋轉(zhuǎn)精度的關(guān)系，對(duì)高精度軸承的研發(fā)有重要意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者以滾子軸承和球軸承為研究對(duì)象，分析軸承元件幾何誤差對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響，取得了大量研究成果。余永健等[4-7]根據(jù)圓柱滾子軸承的幾何和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，分別建立了軸承內(nèi)圈、外圈徑向跳動(dòng)數(shù)學(xué)模型，分析了內(nèi)、外圈滾道圓度誤差幅值、階次、徑向游隙和滾子個(gè)數(shù)對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響；進(jìn)一步研究了滾子誤差和內(nèi)外圈誤差耦合作用對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響。李傳順、吳柏華等[8-9]分別建立了深溝球軸承回轉(zhuǎn)精度模型，吳柏華等[9]研究了軸承元件誤差對(duì)軸承回轉(zhuǎn)精度的影響。留劍等[10]通過(guò)建立角接觸球軸承五自由度擬靜力學(xué)模型，分析了內(nèi)外圈溝道徑向、軸向波紋度和鋼球波紋度對(duì)軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響。NOGUCHI等[11-12]建立了角接觸球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)理論和試驗(yàn)分析了球軸承內(nèi)外圈溝道幾何誤差、鋼球直徑誤差和鋼球個(gè)數(shù)對(duì)軸承非重復(fù)性跳動(dòng)(NRRO)的影響。

縱觀已有文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于角接觸球軸承外圈幾何誤差對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度影響的研究目前相對(duì)不足。本文以角接觸球軸承為研究對(duì)象，只考慮外圈溝道圓度誤差，建立了外圈旋轉(zhuǎn)精度數(shù)值仿真模型，分析了外圈溝道圓度誤差階次、圓度誤差幅值、鋼球個(gè)數(shù)和徑向游隙對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)精度的影響，并驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

1 外圈旋轉(zhuǎn)精度數(shù)值仿真模型

本文建立的軸承外圈徑向、軸向跳動(dòng)數(shù)值仿真模型假設(shè)條件為：①軸承內(nèi)圈靜止，外圈轉(zhuǎn)動(dòng)，鋼球與內(nèi)、外圈溝道不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，外圈與鋼球穩(wěn)定接觸后不發(fā)生傾斜；②只考慮外圈溝道圓度誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)精度的影響，不考慮軸承內(nèi)部彈流潤(rùn)滑條件；③只考慮軸承元件間的幾何和運(yùn)動(dòng)關(guān)系，鋼球在內(nèi)、外圈溝道之間均勻分布。

軸承內(nèi)圈靜止，外圈每次轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為定值，外圈溝道輪廓曲線方程隨著旋轉(zhuǎn)角度的變化而變化，鋼球公轉(zhuǎn)到新的位置，然后沿著法線方向移動(dòng)，直到與內(nèi)圈溝道接觸；外圈從初始位置朝鋼球方向按設(shè)定步長(zhǎng)平移，每一個(gè)位置都判斷外圈溝道和鋼球的接觸情況，找出外圈處于穩(wěn)定接觸狀態(tài)的位置，再通過(guò)軸承最優(yōu)穩(wěn)定接觸狀態(tài)判據(jù)找到最優(yōu)外圈位置，即可求得外圈最優(yōu)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)；外圈旋轉(zhuǎn)一周，求出每個(gè)角度下外圈最優(yōu)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)，找出所有坐標(biāo)中Y坐標(biāo)和Z坐標(biāo)的最大值、最小值，它們的差值就是軸承外圈的徑向跳動(dòng)和軸向跳動(dòng)。

1.1 軸承三維坐標(biāo)系的建立

為了表示角接觸球軸承鋼球與內(nèi)、外圈溝道接觸的幾何關(guān)系，本文建立了三維坐標(biāo)系，如圖1所示。

圖1 角接觸球軸承三維坐標(biāo)系 圖2 軸承軸向平面幾何關(guān)系

鋼球與內(nèi)、外圈溝道理想接觸時(shí)，接觸點(diǎn)法線相交于軸線上同一點(diǎn)，即負(fù)荷中心T。以T為原心建立坐標(biāo)系，其中，Z軸與軸承軸線重合，Y軸豎直向上，X軸垂直于YOZ平面。在軸承軸向平面內(nèi)，鋼球與內(nèi)、外圈溝道的理想接觸點(diǎn)分別是a和b，接觸角為α，外圈溝道上理想接觸點(diǎn)為c，如圖2所示。

1.2 外圈溝道輪廓曲線方程

角接觸球軸承外圈溝道每點(diǎn)的圓度誤差均沿各自法線方向，用傅里葉級(jí)數(shù)表示外圈溝道圓度誤差，外圈溝道圓度誤差方程為：

(1)

式中，ΔS(θ1)為外圈溝道圓度誤差；θ1為外圈溝道上的點(diǎn)在徑向平面的位置角；m為圓度誤差階次；Am為圓度誤差幅值，由式(2)計(jì)算；φ為初始相位角，由式(3)計(jì)算。

(2)

φ=arctan(bm/am)

(3)

式中，am、bm分別為第m階諧波分量的正弦項(xiàng)系數(shù)和余弦項(xiàng)系數(shù)。

軸承外圈溝道輪廓曲線由外圈溝道理想圓和圓度誤差相加而成。求解外圈溝道輪廓曲線方程時(shí)，首先在軸承軸向平面建立局部坐標(biāo)系Y1OZ1，如圖3所示。鋼球與內(nèi)圈溝道沒有誤差，接觸角為理想接觸角，外圈在初始位置，此時(shí)內(nèi)、外圈旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)的Y1值相等。根據(jù)軸承的幾何關(guān)系，求出外溝道曲率中心oe在Y1OZ1平面的坐標(biāo)。

圖3 外圈溝道曲線方程求解示意圖

(4)

式中，de為外溝道溝底直徑；Re為外溝道曲率半徑；di為內(nèi)溝道溝底直徑；Ri為內(nèi)溝道曲率半徑；α為軸承理想接觸角。

外圈溝道上點(diǎn)c到外溝道曲率中心oe的距離與水平方向的夾角為θ2，點(diǎn)c在Y1OZ1平面的坐標(biāo)為：

(5)

點(diǎn)c到軸承軸線的距離為Y1c，給出該點(diǎn)在徑向平面的位置角θ1，即可求出點(diǎn)c在三維坐標(biāo)系中的X、Y坐標(biāo)值，如圖4所示。所以，外圈溝道輪廓曲線方程可以表示為：

圖4 軸承徑向平面幾何關(guān)系

(6)

考慮圓度誤差后，外圈溝道與鋼球的接觸點(diǎn)可能不在同一條輪廓曲線上，仿真計(jì)算時(shí)給定多條輪廓曲線，如圖5所示。令θ2在理想角度附近按設(shè)定步長(zhǎng)變化，可以得到外圈溝道上多條輪廓曲線，這些輪廓曲線的圓度誤差具有相同的圓度誤差階次和初始相位。

圖5 外圈溝道輪廓曲線

1.3 計(jì)算外圈最優(yōu)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)

外圈溝道旋轉(zhuǎn)某一角度后，從初始位置按設(shè)定步長(zhǎng)向鋼球方向平移，每移動(dòng)一個(gè)位置，判斷外圈溝道和鋼球的接觸情況。

首先計(jì)算鋼球球心坐標(biāo)，鋼球隨著外圈旋轉(zhuǎn)公轉(zhuǎn)至新的位置，球心X、Y坐標(biāo)值變化；鋼球與內(nèi)圈溝道理想接觸，在軸線方向不移動(dòng)，球心Z坐標(biāo)值不變。在Y1OZ1平面內(nèi)，第j個(gè)鋼球球心坐標(biāo)為：

(7)

式中，Dw為鋼球直徑。

鋼球球心到軸承軸線的距離為Y1Oj，計(jì)算出球心在徑向平面的位置角βj，即可求出球心在三維坐標(biāo)系中的X、Y坐標(biāo)值，如圖6所示。

圖6 鋼球在徑向平面的分布

第j個(gè)鋼球的三維坐標(biāo)為：

(8)

其次，計(jì)算外圈溝道在每個(gè)平移步長(zhǎng)下的輪廓曲線方程，外圈在X、Y、Z方向發(fā)生位移，曲線方程為：

(9)

考慮圓度誤差后，外圈溝道與鋼球的實(shí)際接觸點(diǎn)可能會(huì)發(fā)生變化。在外圈溝道上選取多個(gè)點(diǎn)，選取方法以理想接觸點(diǎn)為中心作網(wǎng)格劃分，令θ1和θ2在各自理想角度兩側(cè)按設(shè)定步長(zhǎng)變化。依次計(jì)算選取的每個(gè)點(diǎn)到鋼球表面的距離，判斷外圈溝道和鋼球是否接觸。

設(shè)外圈溝道上的點(diǎn)到鋼球表面的距離為L(zhǎng)。

(10)

計(jì)算外圈溝道上選取的每個(gè)點(diǎn)到鋼球表面的距離，求出一系列L值，比較得出其中的最小值Lmin。設(shè)ε為允許干涉誤差，當(dāng)Lmin<-ε時(shí)，外圈溝道與鋼球干涉；當(dāng)|Lmin|<ε時(shí)，外圈溝道與鋼球接觸；當(dāng)Lmin>ε時(shí)，外圈溝道與鋼球分離。

依次計(jì)算外圈溝道與每個(gè)鋼球的接觸情況，判斷外圈是否處于穩(wěn)定接觸狀態(tài)。外圈處于穩(wěn)定接觸狀態(tài)的條件為：不能與鋼球發(fā)生干涉；有效接觸鋼球個(gè)數(shù)在3個(gè)及以上；有效接觸鋼球在徑向平面內(nèi)至少在3個(gè)象限內(nèi)分布。判斷有效接觸鋼球象限分布的方法如圖6所示，有效接觸的鋼球?yàn)?、2和3，這3個(gè)鋼球分布在3個(gè)象限，此時(shí)外圈溝道處于穩(wěn)定接觸狀態(tài)。

滿足穩(wěn)定接觸狀態(tài)的外圈位置可能有多個(gè)，當(dāng)存在多個(gè)位置時(shí)，通過(guò)外圈最優(yōu)穩(wěn)定接觸狀態(tài)判據(jù)找到最優(yōu)外圈位置。即比較外圈穩(wěn)定接觸位置中，每個(gè)位置有效接觸鋼球個(gè)數(shù)，選擇接觸鋼球個(gè)數(shù)最多的位置；如果有效接觸鋼球個(gè)數(shù)同為最多，取外圈位移最小的位置為最優(yōu)外圈位置。最優(yōu)外圈位置的旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)即為外圈最優(yōu)旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)。

2 數(shù)值仿真模型理論驗(yàn)證

為了驗(yàn)證仿真模型的準(zhǔn)確性，以圓度誤差階次為18和36進(jìn)行理論計(jì)算，求出外圈每一轉(zhuǎn)動(dòng)角度下的軸向跳動(dòng)值，選用的角接觸球軸承幾何參數(shù)如表1所示。圓度誤差階次為18和36時(shí)，外圈沿Z軸移動(dòng)即可與所有鋼球接觸，所以外圈只有軸向跳動(dòng)，沒有徑向跳動(dòng)。

表1 軸承幾何參數(shù)

首先，計(jì)算外圈軸向跳動(dòng)值歷程中的周期和最大值點(diǎn)，外圈溝道輪廓曲線的初始相位角設(shè)為0。在初始位置，外圈沿Z軸移動(dòng)，外圈溝道的波峰與鋼球1接觸，此時(shí)外圈移動(dòng)量最大，在該角度下外圈軸向跳動(dòng)值最大，如圖7所示。

圖7 外圈溝道與鋼球的運(yùn)動(dòng)關(guān)系

外圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼球公轉(zhuǎn)速度為[13]：

(11)

式中，Vm為鋼球公轉(zhuǎn)速度；Ve為外圈公轉(zhuǎn)速度；dm為軸承節(jié)圓直徑，求得dm=(di+de)÷2。

單位時(shí)間內(nèi)，外圈轉(zhuǎn)動(dòng)角度γe等于公轉(zhuǎn)速度Ve，鋼球轉(zhuǎn)動(dòng)角度γm等于公轉(zhuǎn)速度Vm，設(shè)外圈公轉(zhuǎn)速度Ve為1。外圈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)外圈溝道的波峰再次與鋼球接觸時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)值完成一個(gè)周期，外圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為γ，由式(12)計(jì)算。外圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，軸向跳動(dòng)值歷程周期T由式(13)計(jì)算。

(12)

T=360/γ

(13)

圓度誤差階次為18時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)值歷程近似有7.8個(gè)周期，且外圈溝道波峰與鋼球接觸8次，外圈軸向跳動(dòng)值最大值出現(xiàn)8次。圓度誤差階次為36時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)值歷程近似有15.7個(gè)周期，且外圈溝道波峰與鋼球接觸16次，外圈軸向跳動(dòng)值最大值出現(xiàn)16次。

然后進(jìn)行理論驗(yàn)證公式推導(dǎo)，外圈只沿Z軸平移，外圈溝道輪廓曲線方程為：

(14)

當(dāng)外圈溝道與鋼球接觸時(shí)，外圈溝道上的點(diǎn)到鋼球球心的距離等于鋼球半徑，可得表達(dá)式：

(15)

由式(14)和式(15)聯(lián)立可以求得：

(16)

分別求出外圈溝道每個(gè)點(diǎn)與鋼球接觸時(shí)在Z軸的移動(dòng)量Δz，找出最小移動(dòng)量Δzmin，當(dāng)外圈移動(dòng)Δzmin時(shí)，外圈溝道與鋼球接觸。外圈旋轉(zhuǎn)一周，求出每一個(gè)角度外圈軸向跳動(dòng)值。

如圖8所示可知，外圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周，在初始位置外圈軸向跳動(dòng)值最大，最大值點(diǎn)有8個(gè)，外圈軸向跳動(dòng)值歷程有7個(gè)整周期。如圖9所示可知，外圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周，在初始位置外圈軸向跳動(dòng)值最大，最大值點(diǎn)有16個(gè)，外圈軸向跳動(dòng)值歷程有15個(gè)整周期。如圖8和圖9所示，說(shuō)明仿真計(jì)算與理論計(jì)算歷程一致，并且每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)角度下，理論計(jì)算和仿真計(jì)算的軸向跳動(dòng)值相差很小。

圖8 m=18時(shí)理論與仿真結(jié)果對(duì)比

圖9 m=36時(shí)理論與仿真結(jié)果對(duì)比

由表2結(jié)果可知，仿真計(jì)算的軸向跳動(dòng)相較理論計(jì)算值誤差小于3%，誤差范圍合理。綜上所述，本文提出的軸承外圈徑向、軸向跳動(dòng)預(yù)測(cè)模型合理準(zhǔn)確，可以用來(lái)預(yù)測(cè)角接觸球軸承的旋轉(zhuǎn)精度。

表2 結(jié)果對(duì)比

3 數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果及分析

根據(jù)上文中建立的外圈旋轉(zhuǎn)精度數(shù)值仿真模型，編寫相應(yīng)程序，分析外圈溝道圓度誤差階次、圓度誤差幅值、鋼球個(gè)數(shù)和徑向游隙與外圈旋轉(zhuǎn)精度的傳遞規(guī)律。

3.1 圓度誤差階次對(duì)軸承徑向、軸向跳動(dòng)的影響

圖10為鋼球數(shù)Z為18時(shí)，外圈溝道圓度誤差階次對(duì)外圈旋轉(zhuǎn)精度的影響；圖11為鋼球數(shù)Z為17時(shí)，外圈溝道圓度誤差階次對(duì)外圈旋轉(zhuǎn)精度的影響。其中，圓度誤差幅值為0.002 mm，徑向游隙為0.04 mm。由圖10和圖11可以看出，隨著外圈溝道圓度誤差階次的變化，外圈的徑向跳動(dòng)和軸向跳動(dòng)呈現(xiàn)周期性變化規(guī)律，周期為鋼球個(gè)數(shù)。

(a)徑向跳動(dòng)

(a)徑向跳動(dòng)

對(duì)于徑向跳動(dòng)，當(dāng)圓度誤差階次為(nZ±1,nZ±2)(n=1,2)時(shí)，外圈徑向跳動(dòng)明顯增大。對(duì)于軸向跳動(dòng)，當(dāng)圓度誤差階次為鋼球數(shù)的整數(shù)倍時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)取得最大值；當(dāng)圓度誤差階次和鋼球數(shù)有公約數(shù)時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)取得極大值，且公約數(shù)越大，外圈軸向跳動(dòng)越大。

綜合考慮外圈溝道圓度誤差階次對(duì)外圈徑向、軸向跳動(dòng)的共同影響，當(dāng)圓度誤差階次分布在合理區(qū)間內(nèi)，外圈徑向跳動(dòng)和軸向跳動(dòng)都取得較小值。這說(shuō)明通過(guò)諧波控制理論，使階次分布在合理區(qū)間內(nèi)，可以有效提高軸承旋轉(zhuǎn)精度。

3.2 圓度誤差幅值對(duì)軸承徑向、軸向跳動(dòng)的影響

圖12為外圈溝道圓度誤差幅值對(duì)外圈徑向、軸向跳動(dòng)的影響。其中，鋼球個(gè)數(shù)為18個(gè)，圓度誤差階次為8階，徑向游隙為0.04 mm。從圖中可以看出，軸承外圈徑向跳動(dòng)和軸向跳動(dòng)隨著誤差幅值的增大而增大；軸向跳動(dòng)呈近似線性增長(zhǎng)，徑向跳動(dòng)的增長(zhǎng)幅度相比軸向跳動(dòng)更大。這說(shuō)明外圈溝道圓度誤差幅值對(duì)軸承外圈旋轉(zhuǎn)精度有很大影響，這是因?yàn)檎`差幅值增大使外圈溝道波峰和波谷的距離增大，外圈的位移隨之增大，軸承跳動(dòng)明顯。因此，可以通過(guò)減小軸承套圈圓度誤差幅值提高軸承旋轉(zhuǎn)精度。

圖12 圓度誤差幅值對(duì)外圈旋轉(zhuǎn)精度的影響

3.3 鋼球個(gè)數(shù)對(duì)軸承徑向、軸向跳動(dòng)的影響

圖13為鋼球個(gè)數(shù)對(duì)軸承外圈徑向、軸向跳動(dòng)的影響。其中，圓度誤差幅值為0.002 mm，圓度誤差階次為2階，徑向游隙為0.04 mm。從圖中可以看出，隨著鋼球數(shù)量的增加，外圈徑向、軸向跳動(dòng)呈減小趨勢(shì)。這是因?yàn)樵黾愉撉騻€(gè)數(shù)可以減小鋼球間的跨距，外圈溝道在軸向、徑向方向移動(dòng)時(shí)與鋼球接觸的幾率增大，使外圈在軸向、徑向方向的位移減小，所以外圈軸向、徑向跳動(dòng)減小。因此，在角接觸球軸承設(shè)計(jì)時(shí)，可以通過(guò)適當(dāng)增加鋼球個(gè)數(shù)，以提高軸承的旋轉(zhuǎn)精度。

圖13 鋼球個(gè)數(shù)對(duì)外圈旋轉(zhuǎn)精度的影響

4 結(jié)論

(1)角接觸球軸承外圈徑向、軸向跳動(dòng)隨著外圈溝道圓度誤差階次的變化呈周期性變化，周期為鋼球個(gè)數(shù)。

(2)當(dāng)圓度誤差階次與鋼球個(gè)數(shù)相差1時(shí)，外圈徑向跳動(dòng)取得最大值；當(dāng)圓度誤差階次和鋼球數(shù)有公約數(shù)時(shí)，外圈軸向跳動(dòng)取得極大值，且公約數(shù)越大，外圈軸向跳動(dòng)越大，圓度誤差階次為鋼球數(shù)整數(shù)倍時(shí)，軸向跳動(dòng)取得最大值。

(3)通過(guò)諧波控制理論，抑制外圈溝道上特定的圓度誤差階次，可以有效提高軸承旋轉(zhuǎn)精度。