基于正交Hilbert時變功率譜的多分量完全非平穩(wěn)地震動模擬及驗證

黃天立，尚旭強，程順，徐兆恒，樓夢麟

(1.中南大學土木工程學院，湖南長沙，410075；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，上海，200092)

地震動是工程結構地震響應分析和抗震設計的基礎。由于記錄的具有相同統(tǒng)計特征的實際地震動時程不足，在結構地震響應分析和抗震設計中仍需采用人工模擬生成的地震動時程[1?2]。從20世紀70年代至今，國內(nèi)外學者提出了多種非平穩(wěn)地震動的模擬方法，大致可分為4大類，即基于時域調(diào)制的方法、基于演變譜的方法、基于自回歸滑移平均(ARMA)模型的方法和基于傅里葉相位差譜的方法等[3?9]。需指出的是，這些方法都有一定的局限性和適用范圍，如：基于時域調(diào)制生成的地震動常使得結構地震響應的計算結果具有較大的誤差；基于演變譜的方法合成人工地震動時，難以采用合理、準確的時頻譜表示地震動的時頻特性；基于ARMA 模型的方法其參數(shù)估算比較繁瑣，且存在計算量大和不能保證收斂等缺點；基于傅里葉相位差譜的方法僅能用于基巖場地的地震動模擬。

地震動具有明顯的強度和頻率非平穩(wěn)特性，對結構和土層的非線性響應具有顯著影響[10?14]。為使模擬生成的地震動時程較好地保持實測地震動記錄的時頻特征，結合各種信號時頻分析方法，WANG 等[10,15?18]提出了一些時頻完全非平穩(wěn)地震動的模擬方法。WANG 等[10]采用線調(diào)頻基信號近似方法模擬生成了具有完全非平穩(wěn)的地震動，并考慮了地震動頻率非平穩(wěn)特征對單自由度結構和框架結構非線性地震響應的影響。GIARALIS等[15]提出了采用小波變換模擬生成反應譜兼容的時頻完全非平穩(wěn)地震動的方法，并模擬生成了與歐洲抗震規(guī)范反應譜兼容的地震動時程。樊劍等[16]采用S變換提出了與抗震規(guī)范功率譜相容的非平穩(wěn)地震動合成方法，發(fā)現(xiàn)人工合成的地震波功率譜與目標譜較符合，且生成的地震波較好地繼承了實測地震波的非平穩(wěn)特性。ZHANG 等[17]提出了僅采用Hilbert 變換模擬生成非平穩(wěn)地震動的方法。何浩祥等[18]在基于小波包分解建立時變功率譜的基礎上，建立了包括地震動頻域譜和時域譜模型的統(tǒng)一時頻譜，并基于統(tǒng)一時頻譜人工合成地震動的方法。

Hilbert-Huang變換(HHT)方法具有良好的時頻局部化特性，可以更客觀地估計地震的時變功率譜，可用于模擬具有時頻完全非平穩(wěn)特性的地震動時程。WEN等[19]采用HHT變換估計得到天然地震動樣本的Hilbert 時變功率譜，建立了非平穩(wěn)隨機地震動的模擬方法，并且將該方法應用于多分量隨機地震動的模擬[20]。LI等[21]基于Hilbert時變功率譜建立了三向地震動的合成方法，通過HHT 變換調(diào)整合成地震動的時頻特性，生成了與目標反應譜兼容的地震動時程。

由于HHT 方法中經(jīng)驗模式分解(EMD)得到的固有模式分量(IMF)之間不完全正交，由此獲得的Hilbert 時頻譜存在能量泄漏問題，進而會影響Hilbert 時變功率譜的估計結果[22?23]。胡燦陽等[23]采用正交化HHT 方法[24]，解決了Hilbert 時變功率譜估計中存在的能量泄漏問題，將實測地震記錄估計得到的Hilbert 時變功率譜作為目標譜，提出了基于正交Hilbert 時變功率譜模擬單分量非平穩(wěn)隨機地震動的方法。陳清軍等[25]結合演變譜理論和正交HHT 法的優(yōu)點，提出了一種能同時反映強度和頻率非平穩(wěn)特性的類諧和長周期地震動合成方法。

本文將基于正交Hilbert 時變功率譜的單分量完全非平穩(wěn)地震動模擬方法進一步拓展，提出了基于正交Hilbert 時變功率譜的多分量完全非平穩(wěn)地震動模擬方法，該方法在確定描述各分量間相關性的互協(xié)方差函數(shù)時，假定各分量采用一組相同的隨機相位偏差。分別以EL Centro 地震動加速度時程記錄南北分量和Northridge 地震Newhall 臺站實測三分量地震動加速度時程記錄為單、多分量地震動時程模擬對象，模擬生成了具有完全非平穩(wěn)特征的單、多分量地震動時程；采用Hilbert時頻譜、累積歸一化Arias 強度指標、加速度反應譜、Renyi熵和分形維數(shù)指標驗證模擬生成的地震動時程的有效性。

1 基于正交化HHT 方法的時變功率譜估計

1.1 經(jīng)驗模式分解

為使基于Hilbert 變換獲得的信號瞬時頻率定義具有意義，HUANG 等[26]提出了固有模式函數(shù)(IMF)的概念，并給出了一種將任意信號x(t)分解成IMF 分量的方法，即經(jīng)驗模式分解(EMD)方法。EMD 方法通過一種被稱為“篩分”的過程，對信號逐步進行分解，最后得到一系列IMF 分量cj(t)(j=1,2,…,n)和1個趨勢項rn(t)之和，即

1.2 正交化經(jīng)驗模式分解

樓夢麟等[22]指出，經(jīng)驗模式分解(EMD)所得的固有模式分量(IMF)之間是不完全正交的，由此獲得的Hilbert 時頻譜存在能量泄漏問題，進而會影響Hilbert時變功率譜的估計。HUANG等[24]進一步提出了針對IMF 分量進行正交化處理的方法，即正交化HHT 方法，解決了Hilbert 時變功率譜估計中的能量泄漏問題，并可應用于地震加速度時程的譜分析。

通過對EMD 分解所得IMF 分量進行正交化處理，可得到完全正交的各階IMF 分量，詳細步驟見文獻[24]。式(1)中信號x(t)可被分解成為n個正交IMF 分量c*j(t)(j=1,2,…,n)和1 個趨勢項rn*(t)之和，即

式中：c*j(t)(j=1,2,…,n)之間是完全正交的。

1.3 Hilbert時變功率譜估計

對式(2)中任意一個正交IMF 分量(t)進行Hilbert變換，并構造解析信號zj(t)：

信號x(t)可表示為如下形式：

式中：Re(?)表示取實部。

將信號x(t)的振幅表示在時間?頻率平面上，可得到Hilbert 幅值譜H(t,ω)，稱為Hilbert 時頻譜，即

式中：ωj(t)為第j個頻率點。

Hilbert 時頻譜可由EMD 分解得到的IMF 分量或由正交EMD 分解得到的正交IMF 分量計算得到，其描述了信號幅值隨時間和頻率的變化規(guī)律。

考慮信號x(t)和解析信號的關系，可從能量角度估計得到反映信號時頻能量特性的Hilbert 時變功率譜f(t,ω)，即

基于正交IMF 分量確定Hilbert 時頻譜，并通過式(8)確定Hilbert 時變功率譜，不僅避免了能量泄漏，同時也使采用正交HHT 方法估計得到的正交Hilbert時變功率譜更準確。

2 基于正交Hilbert時變功率譜的單分量非平穩(wěn)地震動模擬驗證

2.1 模擬方法

基于三角級數(shù)法模擬地震動，陳清軍等[25]提出了結合演變譜和正交HHT方法的地震動模擬方法，其表達式如下：

式中：f(t,ωk)為采用式(8)估計得到的正交Hilbert時變功率譜；Δω=(ωk-ωk-1)為正交Hilbert 時變功率譜的頻率間隔；Φk為[0,2π]區(qū)間均勻分布、相互獨立的隨機相位角。該方法模擬得到的地震動時程同時具有較強的強度和頻率非平穩(wěn)特性。

采用正交HHT 方法估計得到的Hilbert 時變功率譜能很好地描繪地震動能量和頻率隨時間的變化特征，然而，模擬生成的地震動時程的Hilbert時頻譜不相同。對于地震動，往往只能實測到1個或者幾個時程，因此，可將某實測地震動時程的Hilbert時頻譜Hm(t,ω)視為模擬生成的地震動所有時程的Hilbert時頻譜的期望值E[H(t,ω)]，即

假設單變量隨機過程X(t)可以通過引入1個隨機變量來表示：

式中：Φj為獨立的隨機相位角，均勻分布于區(qū)間[0,2π]內(nèi)。隨機過程X(t)的均值μX、協(xié)方差KXX(t1,t2)和方差σ2x(t)分別表示為：

由此可見，模擬生成的所有地震動時程，其均值與實測記錄的均值相同，其協(xié)方差則主要取決于相位角的相關性和在每個瞬時頻率的瞬時幅值，方差則由瞬時幅值的平方?jīng)Q定。

選取實測EL Centro 地震動加速度時程南北分量為模擬對象，分別采用HHT和正交HHT方法估計Hilbert 時變功率譜，利用式(9)模擬生成人工地震動加速度時程，這里采用一組完全相同的隨機相位角。實測EL Centro 地震動加速度時程南北分量以及分別基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert時變功率譜模擬生成的1條地震動加速度時程如圖1所示。從圖1可以看出：基于Hilbert時變功率譜和基于正交Hilbert 時變功率譜模擬得到的地震動加速度時程都能很好地反映實測地震動加速度時程記錄的強度非平穩(wěn)特征。

圖1 實測和模擬的單分量地震動加速度時程Fig.1 Recorded and simulated single-component earthquake ground motion acceleration time histories

2.2 單分量非平穩(wěn)地震動時程模擬結果驗證

為了演示基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的單分量地震動加速度時程的準確性和有效性，分別采用Hilbert 時頻譜、累積歸一化Arias 強度指標、加速度反應譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標予以驗證。

2.2.1 Hilbert時頻譜

實測EL Centro 地震動加速度時程記錄南北分量、基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的單分量地震動加速度時程的Hilbert 時頻譜見圖2。從圖2可以看出：這2 種方法模擬生成的地震動加速度時程，其Hilbert 時頻譜都能有效地描述實測地震動時程的時頻非平穩(wěn)特性。

圖2 單分量地震動的Hilbert時頻譜Fig.2 Hilbert time-frequency amplitude spectra of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.2 累積歸一化Arias強度指標

累積歸一化Arias 強度指標(CNAI)可用于表征地震動時程的累計能量釋放特性，其計算式為[27]

式中：0 ≤t≤Td；Td為加速度時程的總持續(xù)時間；a(τ)為時間為τ時的加速度。

實測EL Centro 地震動加速度時程記錄南北分量、基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程的累積歸一化Arias強度指標見圖3。從圖3可以看出：基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程的CNAI 與實測地震動時程的CNAI 基本一致，兩者之間的差異可以忽略不計；而基于Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程的CNAI 與實測地震動時程的CNAI 差別較大，相差40%左右。由此表明，基于Hilbert 時變功率譜生成的地震動時程與實測地震動時程相比存在能量泄露現(xiàn)象，這主要是HHT 方法分解得到的IMF分量之間不完全正交所造成的。累積歸一化Arias強度指標表明，基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程與實測地震動時程更接近，模擬結果更準確，能更好地表征實測地震動時程的能量釋放特性。

圖3 單分量地震動的累積歸一化Arias強度指標圖Fig.3 Cumulative normalized Arias intensities of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.3 加速度反應譜

加速度反應譜可作為反映人工地震動加速度時程模擬效果的指標。當阻尼比為5%時，實測EL Centro 地震動加速度時程南北分量、基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程的彈性加速度反應譜如圖4所示。從圖4可以看出：在周期為0.5～2.0 s 時，基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程的反應譜與實測地震動時程的反應譜之間存在一定差異；當周期大于2 s 時，兩者之間吻合較好；在整個周期內(nèi)，基于Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程反應譜與實測地震動時程反應譜之間差別較大。由此表明，采用基于正交Hilbert 時變功率譜的人工地震動模擬方法可獲得與實測地震動時程更接近的模擬結果。

圖4 單分量地震動的加速度反應譜Fig.4 Pseudo-acceleration response spectra of singlecomponent earthquake ground motions

2.2.4 Renyi熵

Renyi熵是描述系統(tǒng)混亂度的指標，可用于描述信號的復雜度，本文將其作為驗證人工地震動模擬方法有效性的一種指標。Renyi 熵Hα由下式確定[27]：

式中：Wψ(a,b)為時頻表達系數(shù)；α為Renyi 熵的次數(shù)，本文取α=3。

實測EL Centro 地震動加速度時程記錄南北分量的Renyi熵、基于Hilbert時變功率譜、基于正交Hilbert 時變功率譜生成的50 條地震動加速度時程的Renyi 熵如圖5所示。從圖5可以看出：基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的50 條地震動加速度時程的Renyi熵在3.50上下波動，與實測地震動加速度時程的Renyi熵3.42較接近；而基于Hilbert時變功率譜模擬生成的50 條地震動加速度時程的Renyi熵在3.20上下波動，與實測地震動加速度時程記錄的Renyi 熵差別較大。此外，由圖5還可見50條白噪聲信號加速度時程的Renyi熵在5.00上下波動，遠遠高于實測地震動加速度時程的Renyi熵。

圖5 單分量地震動的Renyi熵Fig.5 Renyi entropies of single-component earthquake ground motions

2.2.5 分形維數(shù)

分形維數(shù)是估計數(shù)據(jù)自由度和表征數(shù)據(jù)在數(shù)據(jù)空間中分布方式的指標，也可用于驗證非平穩(wěn)地震動模擬的有效性。分形維數(shù)表征分形的任何維度包括容量維度、相關維數(shù)和信息維度，其中，Kolmogorov 容量(盒計數(shù)維度)得到普遍應用。通常，分形維數(shù)增加表明信息熵增加。本文采用盒計數(shù)方法計算地震動加速度時程的分形維數(shù)[27]。

設平面內(nèi)有一個長、寬分別為a和b的分形集M(a,b)，用邊長為ε的正方形網(wǎng)格覆蓋此分形集，則分形集M(a,b)與正方形網(wǎng)格相交的數(shù)量為M(a,b;ε)。定義分形集M(a,b)在標度為ε時的盒維數(shù)D為

對于地震動時程，盒維數(shù)D表明其在標度為ε時的不規(guī)則性，與地震動的頻譜分布有關。地震動時程的分形維數(shù)越大，表明地震動高頻分量越多；反之，表明地震動低頻分量越多。本文計算地震動時程的盒維數(shù)時，取a=0.08，b=0.1。

實測EL Centro 地震動加速度時程南北分量的分形維數(shù)圖、基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert時變功率譜模擬生成的100條地震動加速度時程的分形維數(shù)圖如圖6所示。從圖6可以看出：基于Hilbert 時變功率譜、正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動加速度時程，其分形維數(shù)圖與實測地震動時程的分析維數(shù)圖相差較小，這表明基于Hilbert 時變功率譜、正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動時程都能準確地描述實測地震動記錄的信號特征。

圖6 單分量地震動的分形維數(shù)Fig.6 Fractal dimensions of single-component earthquake ground motions

3 基于正交Hilbert時變功率譜的多分量非平穩(wěn)地震動模擬方法及其驗證

3.1 模擬方法

將基于Hilbert 時變功率譜的單分量非平穩(wěn)地震動模擬方法推廣到具有m個分量的多分量非平穩(wěn)地震動模擬，其關鍵在于確定各分量之間的互協(xié)方差函數(shù)。

假設多分量非平穩(wěn)隨機過程Y(t)的第k個分量Yk(t)表示為如下形式：

由式(12)，(13)和式(14)可求得Yk(t)的均值、協(xié)方差和方差。多分量非平穩(wěn)隨機過程Y(t)的第p和第q個分量之間的互協(xié)方差KYpYq(t1,t2)可表示為[19]

式中：E(?)表示取期望；ajp，θjp和?jp分別為第p個分量的第j階IMF 的幅值、相位角和隨機相位偏移；akq，θkq和?kq分別為第q個分量的第k階IMF的幅值、相位角和隨機相位偏移；rnp和rnq分別為第p和第q個分量的趨勢項。

互協(xié)方差取決于每一個分量的幅值、相位角和隨機相位偏移。若2個分量之間的隨機相位偏移?jp和?kq相互獨立，則這2 個分量之間的互協(xié)方差為0。通過建立2 個分量之間的互協(xié)方差，可確定兩分量之間的相關性。本文采用的方法是，使2個分量的兩組隨機相位偏移相關。2個分量相同序列的IMF的隨機相位偏移關系為

式中：ψjq為常數(shù)，表示2 個分量相同序列的IMF的隨機相位偏移是相關的，而不同序列的IMF 的隨機相位偏移是相互獨立的。多分量隨機過程的均值、協(xié)方差和方差均值也可由式(12)，(13)和式(14)求得，每個分量的Hilbert時頻譜保持不變。第p和第q個分量之間的互協(xié)方差為

式(21)取決于每個分量相同序列的IMF幅值函數(shù)、相位角之差和隨機相位偏移之差。當相位角之差和隨機相位偏移之差，即[θjp(t1)-θjq(t2)+ψjp-ψjq]很小時，余弦函數(shù)接近于1，互協(xié)方差取決于2個分量的IMF；當[θjp(t1)-θjq(t2)+ψjp-ψjq]接近于π/2 時，余弦函數(shù)接近于0，互協(xié)方差也接近于0。需指出的是，這僅是模擬多分量隨機過程各分量之間相關性的一種方法。

為了模擬多分量隨機過程，理論上需要知道各分量之間的互協(xié)方差，以此確定式(18)中各分量的隨機相位偏移。然而，對于大多數(shù)實際多分量地震動記錄而言，往往僅有1 個實測記錄可以采用，因此，本文假設多分量隨機過程各分量相同序號的IMF代表波形，則在同一時間，式(20)中ψjq為0。對于多分量隨機過程中的每一分量的模擬，假設采用一組相同的隨機相位偏移來模擬，因此，在(21)中，假設ψjp=ψjq=0。

基于這個假定，選擇Northridge 地震中Newhall臺站記錄的垂直(z)和2個水平(x，y)方向分量地震動時程為模擬對象，分別基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert時變功率譜，利用式(9)和(21)模擬生成多分量地震動加速度時程。

Northridge 地震中Newhall 臺站實測的垂直(z)和2 個水平(x，y)方向的地震動加速度、基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的1 條三分量地震動加速度時程如圖7所示。從圖7可以看出：基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert 時變功率譜模擬得到的三分量地震動時程均能客觀地描述實測地震動時程記錄，基于正交Hilbert 時變功率譜模擬得到的地震動時程與實測地震動時程差別更小，由此表明，對于多分量非平穩(wěn)地震動時程的模擬，基于正交Hilbert 時變功率譜的模擬方法比基于Hilbert 時變功率譜的模擬方法更優(yōu)，模擬生成的地震動時程也能更準確、全面地描述實測地震動時程。

圖7 實測和模擬的三分量地震動加速度時程Fig.7 Recorded and simulated tri-directional earthquake ground motion acceleration time histories

3.2 多分量非平穩(wěn)地震動時程模擬結果驗證

為了演示基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的多分量地震動加速度時程的準確性和有效性，分別采用Hilbert 時頻譜、加速度反應譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標予以驗證。

3.2.1 Hilbert時頻譜

Northridge 地震中Newhall 臺站實測的垂直(z)和2 個水平(x，y)方向的地震動加速度時程、基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的1條三分量地震動加速度時程的Hilbert時頻譜圖如圖8所示。

從圖8可以看出：與模擬生成單分量非平穩(wěn)地震動時程情況類似，基于Hilbert 時變功率譜和基于正交Hilbert時變功率譜這2種地震動模擬方法模擬生成的地震動時程都能有效地描述實測地震動時程的時頻非平穩(wěn)特性。基于Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動時程，其Hilbert 時頻譜的形狀雖然與實測地震動時程的Hilbert 時頻譜類似，但其峰值與實測地震動時程的峰值相差較大；而基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的地震動時程不僅在Hilbert 時頻譜的形狀上與實測地震動時程的Hilbert 時頻譜吻合，而且其峰值與實測地震動時程的峰值相差很小。由此表明，基于正交Hilbert 時變功率譜的多分量地震動模擬方法改進了基于Hilbert 時變功率譜的多分量地震動模擬方法，特別是在反映實測地震動時程記錄的時頻能量特征方面，基于正交Hilbert 時變功率譜方法模擬生成多分量地震動時程能更好地描述實測地震動時程的時頻能量特征。

圖8 三分量地震動的Hilbert時頻譜Fig.8 Hilbert time-frequency amplitude spectra of tridirectional earthquake ground motions

3.2.2 加速度反應譜

當阻尼比為5%時，Northridge 地震中Newhall臺站實測的垂直(z)和2 個水平(x，y)方向的地震動加速度時程、基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert時變功率譜模擬生成的1條三分量地震動加速度時程的加速度反應譜如圖9所示。

從圖9可以看出：基于Hilbert時變功率譜模擬生成的三分量地震動加速度時程的加速度反應譜與基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的三分量地震動加速度時程的加速度反應譜顯著不同；基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的三分量地震動加速度時程彈性反應譜與實測地震動時程彈性反應譜更接近。由此表明，基于正交Hilbert 時變功率譜的多分量非平穩(wěn)地震動模擬方法，可獲得與實測地震動時程更接近的模擬結果。

圖9 三分量地震動的加速度反應譜Fig.9 Pseudo-acceleration response spectra of tri-directional earthquake ground motions

3.2.3 Renyi熵

Northridge 地震中Newhall 臺站實測的垂直(z)和2 個水平(x，y)方向的地震動加速度時程和分別基于Hilbert 時變功率譜、正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的50條三分量地震動加速度時程的Renyi熵如圖10所示。從圖10可以看出：基于Hilbert時變功率譜模擬生成的50 條地震動加速度時程的Renyi 熵低于實測地震動加速度時程的Renyi 熵；基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的50 條地震動加速度時程的Renyi熵與實測地震動加速度時程的Renyi 熵更接近。由圖10還可見：50 條白噪聲信號加速度時程的Renyi熵遠遠高于實測地震動加速度時程的Renyi熵。

圖10 三分量地震動的Renyi熵Fig.10 Renyi entropies of tri-directional earthquake ground motions

3.2.4 分形維數(shù)

Northridge 地震中Newhall 臺站實測的垂直(z)和2 個水平(x，y)方向的地震動加速度時程記錄的分形維數(shù)圖、基于Hilbert 時變功率譜、正交Hilbert時變功率譜模擬生成的100條三分量地震動加速度時程的分形維數(shù)圖如圖11所示。表1所示為實測和基于Hilbert 時變功率譜、正交Hilbert 時變功率譜模擬得到的Northridge-Newhall 地震垂直(z)和2個水平(x，y)方向加速度時程的分形維數(shù)。

從圖11和表1可以看出：基于Hilbert 時變功率譜和正交Hilbert時變功率譜這2種模擬方法得到的多分量非平穩(wěn)地震動時程的分形維數(shù)與實測地震動時程的分形維數(shù)之間相差都比較小，這表明基于正交Hilbert 時變功率譜模擬生成的多分量地震動時程和基于Hilbert 時變功率譜模擬生成的多分量地震動時程都能準確地描述了實測地震動記錄的信號特征。

表1 實測和模擬的Northridge-Newhall地震三分量加速度時程的分形維數(shù)Table 1 Fractal dimensions of measured and simulated Northridge-Newhall tri-directional earthquake acceleration time history

圖11 三分量地震動的分形維數(shù)Fig.11 Fractal dimensions of tri-directional earthquake ground motions

4 結論

1)基于多分量隨機過程中各分量過程的模擬可采用一組相同隨機相位偏差的假定，確定了描述多分量非平穩(wěn)地震動各分量間相關性的互協(xié)方差函數(shù)。將基于正交Hilbert 時變功率譜模擬單分量完全非平穩(wěn)地震動模擬方法進一步拓展，提出了基于正交Hilbert 功率譜的多分量完全非平穩(wěn)地震動模擬方法。

2)分別以EL Centro 地震動加速度時程記錄南北分量和Northridge 地震Newhall 臺站實測三分量地震動加速度時程記錄為單、多分量地震動時程模擬對象，模擬生成了具有完全非平穩(wěn)特征的單、多分量地震動時程。采用Hilbert 時頻譜、累積歸一化Arias強度指標、加速度反應譜、Renyi熵和分形維數(shù)等指標驗證了模擬生成的地震動時程的有效性。

3)與基于Hilbert 時變功率譜生成的單、多分量地震動時程相比，基于正交Hilbert 時變功率譜生成的單、多分量非平穩(wěn)地震動時程能更真實地描述實測地震動記錄的強度和頻率非平穩(wěn)特性。