帶臨界項的分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)的非平凡解

張 炫,馮曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

1 引言與主要結(jié)果

薛定諤-泊松系統(tǒng)廣泛地出現(xiàn)在量子力學(xué)和半導(dǎo)體理論中。根據(jù)經(jīng)典模型, 帶電粒子和電磁場的相互作用可以通過非線性薛定諤方程耦合泊松方程描述。文獻[1]研究了薛定諤麥克斯韋方程, 文獻[2]研究了模擬電磁波在等離子體中傳播的薛定諤方程。近年來, 由于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子被廣泛研究和應(yīng)用在金融、優(yōu)化、反應(yīng)擴散等許多領(lǐng)域中, 因此分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)受到許多數(shù)學(xué)家們廣泛關(guān)注。近幾年來, 許多數(shù)學(xué)家研究了如下薛定諤-泊松系統(tǒng)

(1)

解的存在性和多重性, 其中x∈R3,V、K、f是連續(xù)函數(shù)。此后,學(xué)者們對系統(tǒng)(1)在V、K、f的不同假設(shè)下展開深入研究[3-6]。當(dāng)V(x)≡1,

f(u)=|u|p-1u(1

時, 文獻[3]研究了系統(tǒng)(1)解的存在性和不存在性;當(dāng)f是周期漸近線性函數(shù)且滿足單調(diào)性條件, 文獻[4]運用Nehari流形方法獲得系統(tǒng)(1)基態(tài)解的存在性, 且當(dāng)f是奇函數(shù)時, 得到了系統(tǒng)(1)有無窮多解的存在性。

最近,臨界分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)被廣泛關(guān)注[7-10]。例如許多文獻研究了如下分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng):

(2)

(3)

利用集中緊性原理和變分方法得到了其基態(tài)解的存在性。

本文主要目的是研究具有雙臨界項的分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)

(4)

2 預(yù)備知識

(5)

記Br為以0為中心, 以r為半徑的閉球, 即Br={u∈Ds,2(R3):‖u‖≤r};記?Br={u∈Ds,2(R3):‖u‖=r}。用C>0表示不同的正常數(shù)。由Lax-Milgram定理,?u∈Ds,2(R3),系統(tǒng)(4)的第2個方程有唯一解φu∈Ds,2(R3)。將φu代入到系統(tǒng)(4)的第1個方程, 則系統(tǒng)(4)變?yōu)榉匠?/p>

(6)

方程(6)相應(yīng)的能量泛函為

?u,v∈Ds,2(R3),Iλ(u)∈C1(Ds,2(R3),R),成立

3 定理1的證明

為了證明主要結(jié)果,先給出以下引理, 然后利用在球上的Ekeland變分原理證明系統(tǒng)(4)有一個能量嚴(yán)格小于零的非平凡解,以及應(yīng)用山路定理證明系統(tǒng)(4)有另一個能量嚴(yán)格大于零的非平凡解。

引理1[11]下列性質(zhì)成立：

1) ?u∈Ds,2(R3),φu≥0;

3) ?u∈Ds,2(R3),

4) 若un在Ds,2(R3)中弱收斂于u, 則存在子列, 使得φun在Ds,2(R3)中弱收斂于φu。

時, 使得Iλ滿足(PS)c條件, 其中

證明設(shè){un}?Ds,2(R3)為Iλ的(PS)c序列, 則當(dāng)n→∞時,有

(7)

由式(7)知

(8)

因為un(x)→u(x),a.e.x∈R3，且

故

結(jié)合式(8),有

因為un(x)→u(x),a.e.x∈R3，且

即

利用式(7), 則

(9)

(10)

由式(9)和式(10),

(11)

由

和式(11)得

不失一般性,假設(shè)當(dāng)n→∞時,an→a,bn→b。注意到,

當(dāng)n→∞,得到

一方面, 由H?lder不等式和Young不等式, 根據(jù)式(9)得

另一方面, 由式(7)和式(11),有

這是矛盾的。故l=0, 因此在Ds,2(R3)中un→u。證畢。

證明?u∈Ds,2(R3), 有

令

根據(jù)文獻[14]中引理3.3,存在常數(shù)

使得

Iλ|‖u‖=R>0

顯然, 下式

于是, 當(dāng)t充分小時,有Iλ(tφ0)<0。因此, 存在充分小的u, 使得Iλ(u)<0, 即

(12)

證畢。

引理5假設(shè)λ∈(0,Λ0), 對給定的R, 泛函Iλ滿足下列的條件：

1) 若‖u‖=R, 則Iλ(u)>0;

2) ?e∈Ds,2(R3), 當(dāng)‖e‖>R時, 使得Iλ(e)<0成立。

證明1) 當(dāng)λ<Λ0時, 由引理4易知結(jié)論成立。

2) ?u∈Ds,2(R3){0},有

當(dāng)t→∞時,Iλ(tu)→-∞。因此,?e∈Ds,2(R3), 當(dāng)‖e‖>R時, 使得Iλ(e)<0成立。證畢。

定義

uε=η(x)Uε(x)

有下面的估計[14-15]:

其中Kp為正常數(shù)。

引理6[14]設(shè)

當(dāng)ε→0+,有

證明當(dāng)t→∞時, 有Iλ(tuε)→-∞, 則?tuε>0, 使得

?t≥0,下式

令

從而根據(jù)引理6,下式

因此, 當(dāng)λ∈(0,min{Λ0,Λ1})時,有

證畢。

為了方便,令

證明顯然, 當(dāng)0<λ<λ*時, 引理1、3、4,定理2、引理5和引理7都成立。應(yīng)用山路定理[16], 存在序列{un}?Ds,2(R3)，且

其中

和

Γ={γ∈C([0,1],Ds,2(R3)):

γ(0)=uλ,γ(1)=e}

定理1的證明:根據(jù)定理2和定理3,則對充分小λ*>0, 當(dāng)0<λ<λ*, 系統(tǒng)(4)至少有2個非平凡解。證畢。

4 結(jié) 語

通過應(yīng)用Ekeland變分原理和山路定理的方法,證明了分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)非平凡解的存在性和多重性。由于所研究的系統(tǒng)具有雙臨界項和擾動性,因此對于估計非緊性水平以及相應(yīng)泛函的能量在非緊性水平之下具有一定的困難;除此之外,對(PS)條件的成立也具有一定難度。