作戰(zhàn)試驗樣本量的通用化估算方法*

薄 云，廖學軍，白 宇

（1.航天工程大學研究生院，北京 101416；2.中國白城兵器試驗中心，吉林 白城 137001；3.航天工程大學航天裝備保障系，北京 102206；4.國防大學聯(lián)合勤務學院，北京 100858）

0 引言

作戰(zhàn)試驗以模擬實戰(zhàn)的方式，考察武器裝備是否適用于期望的作戰(zhàn)環(huán)境并完成既定的作戰(zhàn)任務［1］。它為軍方預測武器裝備未來的戰(zhàn)場表現(xiàn)，并據(jù)此決策是否批量采購工業(yè)部門的武器裝備，提供了最公正客觀的數(shù)據(jù)支撐。當前的作戰(zhàn)試驗研究，主要集中在概念內(nèi)涵、目標任務、管理機制和實施流程等方面，雖然有文獻指出阻礙作戰(zhàn)試驗科學發(fā)展的瓶頸之一是樣本量的控制問題［2-6］，但尚未明確提出作戰(zhàn)試驗樣本量的估算標準和方法。

考慮到統(tǒng)計學對于試驗鑒定的基礎性支撐作用，從控制兩類錯誤的角度給出了作戰(zhàn)試驗的樣本量估算準則；通過分類研究作戰(zhàn)試驗三類考核的數(shù)學模型，推導了它們的一般化形式，并據(jù)此設計了作戰(zhàn)試驗樣本量的通用估算方法，可為作戰(zhàn)試驗的后續(xù)開展提供良好參考。

1 估算標準的探討

1.1 兩類錯誤

統(tǒng)計學中的假設檢驗指的是先對被研究對象的總體參數(shù)提出一個假設，然后通過樣本的信息來推斷這一假設是否成立，這一過程即被稱為假設的統(tǒng)計檢驗［7］。它的論證過程類似于反證法，即在原假設H0成立的前提下，如果出現(xiàn)試驗樣本的概率極低，則認為原假設H0非?？梢?，故支持它的被擇假設Ha，即研究希望證明的假設。

很顯然，由于試驗的隨機性，依據(jù)樣本推斷總體必定存在出錯概率。在假設檢驗中，把H0為真時，拒絕H0的情況稱為第1 類錯誤；把Ha為真時，不拒絕H0的情況稱為第2 類錯誤。它們是研究人員基于樣本數(shù)據(jù)推斷總體信息時會遇到的兩類風險。

1.2 樣本量估算的客觀準則

在假設檢驗當中，控制第1 類錯誤發(fā)生概率的統(tǒng)計工具是顯著性水平［7］。它是第1 類錯誤出現(xiàn)概率的可接受水平，記為α?？刂频? 類錯誤發(fā)生概率的統(tǒng)計工具是統(tǒng)計功效［7］。它是不出現(xiàn)第2 類錯誤的概率，記為（1-β），其中，β 是犯第2 類錯誤的概率。

實際的研究普遍關注顯著性水平，卻常常忽略統(tǒng)計功效［8-11］。由于研究經(jīng)費限制，很多試驗的統(tǒng)計功效低下，加之這些研究的備擇假設并不一定成立，因此，報告的很多結(jié)果是第1 類，或第2 類錯誤。這種情況在研究界非常普遍，甚至很多頂級刊物也無法避免［8-11］。如圖1 所示，對某一個特定的研究問題而言，所有正確的備擇假設占所有假設的比例分別為50 豫和10 豫時，通過α 為0.05 的假設檢驗找出正確結(jié)論的比例PPV（Positive Predictive Value），會隨著統(tǒng)計功效的降低而迅速降低。

圖1 中的綠色色塊代表沒有效應并被正確識別的結(jié)論，紅色色塊代表沒有效應但被錯誤識別的結(jié)論（第1 類錯誤），藍色色塊是存在效應并被正確識別的結(jié)論，灰色色塊是存在效應但被錯誤識別的結(jié)論（第2 類錯誤）?？梢钥闯觯詷颖就茢嗫傮w，其正確率隨著統(tǒng)計功效的提升而提升（圖中的左、中、右對比），并且這種情況會隨著正確結(jié)論占所有結(jié)論的比例的降低而迅速惡化（圖中的上、下對比）。

由于被試武器裝備是否具備宣稱的創(chuàng)新成效關系到戰(zhàn)爭勝敗和人員安危，因此，試驗結(jié)論的重要性不言而喻。如圖1 的左下分圖所示，當（1-β）為0.2 時，PPV 僅為0.31，即在10 型通過作戰(zhàn)試驗的武器裝備中，大約僅有3 型才真正具備宣稱的作戰(zhàn)效能和作戰(zhàn)適用性。這種結(jié)果顯然是災難性的。

由于假設檢驗一般令顯著性水平為0.05，而統(tǒng)計功效隨樣本量的增加而增加［12］，故鑒于其重要影響，可把統(tǒng)計功效作為樣本量估算的客觀準則。

2 作戰(zhàn)試驗考核模型的研究

為估算作戰(zhàn)試驗的樣本量，必須明確其指標考核的數(shù)學模型，然后才能具體問題具體分析。故首先把作戰(zhàn)試驗的指標考核分為三類，并分別對其建模，考慮到構(gòu)建通用的樣本量估算方法的需求，探討了三類模型的一般化形式。

2.1 作戰(zhàn)試驗指標考核的分類與建模

作戰(zhàn)試驗考察的指標雖然數(shù)量眾多，但從統(tǒng)計學的視角來看，大體可歸為三類統(tǒng)計模型。

2.1.1 與閾值進行比較的模型

2.1.2 與基線進行比較的模型

2.2 三類模型的一般化形式

可以看出，式（1）、式（4）～式（6）是逐步一般化的，即前一個模型是后一個模型的特殊形式。

如果把被試武器裝備之外的所有作戰(zhàn)因素綜合起來，當成被考察指標Y 的干擾因素，在作戰(zhàn)試驗中開展假設檢驗基于的模型即為式（1）。用到的檢驗方法主要是t 檢驗，其檢驗過程如圖2 所示。

圖2 與閾值比較的檢驗過程

如果考慮到基線作戰(zhàn)力量與被試武器裝備在被考察指標方面確實存在差異，并將這種差異加入式（1），并體現(xiàn)出一個基線作戰(zhàn)力量或多個基線作戰(zhàn)力量的差別，在作戰(zhàn)試驗中開展假設檢驗基于的模型即為式（4）或式（5），用到的檢驗主要是t 檢驗、方差分析（ANOVA）和Turkey-Kramer HSD 檢驗，其檢驗過程如圖3 所示。

圖3 與（多）基線比較的檢驗過程

圖4 作戰(zhàn)要素研究的初始模型

圖5 作戰(zhàn)要素研究的精確模型

考慮到基于式（4）或式（5）所示數(shù)學模型開展的假設檢驗分別為t 檢驗和方差分析。而該兩種檢驗方法從本質(zhì)上與基于式（6）開展的檢驗方法并沒有本質(zhì)區(qū)別。因此，式（6）即為作戰(zhàn)試驗指標考核的一般化模型。

3 基于F 分布的樣本量通用估算方法

它反映了指標Y 的總變異。如令SSR 為其第1項，則它反映了該模型對于指標Y 變異情況的解釋程度，令SSE 為其第2 項，則它反映了模型未能對指標Y 進行解釋的程度大小。于是，因為SST 的自由度為n-1，SSR 的自由度為p-1，SSE 的自由度n-p，令SSR 和SSE 分別除以其各自的自由度，則得到回歸均方MSR 和殘差均方MSE：

顯然，MSE 是σ2的無偏估計。而當模型6 不具備對于指標Y 的解釋能力時，MSR 的數(shù)學期望也是σ2，且MSE 和MSR 相互獨立，分別服從自由度為n-p 和p-1 的卡方分布。因此，定義統(tǒng)計量F：

圖6 樣本量估算的過程演示

4 算例演示

當作戰(zhàn)試驗進入樣本量估算環(huán)節(jié)，已經(jīng)確定的內(nèi)容包括影響因素、考核模型，需要確認的內(nèi)容是給定顯著性水平和統(tǒng)計功效條件下的試驗次數(shù)。于是，dfhyp是常數(shù)，待求的樣本量等于dfhyp與dferr的和加1。待求的樣本量問題則轉(zhuǎn)化為求取給定顯著性水平和統(tǒng)計功效條件下的dferr。文獻［15］在其附錄E中提供了一份針對不同顯著性水平、統(tǒng)計功效、PV情況下dferr的調(diào)查表。所以，為了驗證武器裝備作戰(zhàn)試驗定量指標考核樣本量估算通用算法的有效性，可以對照調(diào)查表，分析比較兩種算法。即按照前文討論的樣本量通用估算方法計算了PV 從0.01 變化到0.7，dfhyp從1 變化到10，顯著性水平為0.05，統(tǒng)計功效為0.8 的370 種情況下的dferr，其與調(diào)查表對應結(jié)果的差值Δdferr如表1 所示，Δdferr隨不同PV 和dfhyp的變化趨勢如圖7、圖8 所示。

圖7 Δdferr在各dfhyp 下的集中趨勢

圖8 Δdferr在各PV 下的集中趨勢

分析表1 可以看出二者計算結(jié)果非常接近，且差異隨PV 增加迅速減小，當PV ＞0.1 時，與各PV對應的dferr的差異迅速降為0；兩者結(jié)果的差異隨dfhyp變化而發(fā)生變化的幅度較小，與各dfhyp對應的dferr的差異的平均值未超過4，中位數(shù)更是沒有超過2，并且兩者結(jié)果的差異隨著dfhyp的減小而迅速降為0。另外，從圖7、圖8 和表1 也可以看出二者計算結(jié)果差異變化范圍很小，差異變化的幅度隨PV的增大和/或dfhyp的減小而迅速減小，即圖7、圖8的經(jīng)驗概率分布在此處的概率密度迅速提升。

表1 殘差項自由度計算結(jié)果的差值

5 結(jié)論

本文針對我軍武器裝備作戰(zhàn)試驗指標考核的3種基本形式，推導了它們的統(tǒng)計學模型，依據(jù)統(tǒng)計功效分析，設計了通用化的樣本量估算方法，通過算例對其進行了演示分析。主要結(jié)論有：

1）作為我軍武器裝備作戰(zhàn)試驗各類評估的數(shù)據(jù)來源，它的指標考核主要有“與閾值比較”、“與基線比較”、“考察作戰(zhàn)要素”3 種基本形式；

2）這3 類基本形式的作戰(zhàn)試驗指標考核可以統(tǒng)一到式（6）所示的回歸模型，并由此構(gòu)建武器裝備作戰(zhàn)試驗樣本量估算的通用化算法；

3）通過算例可以看出，本文算法在精度上可替代查表法，但與覆蓋范圍有限的樣本量查表相比，靈活性更好，可無縫嵌入作戰(zhàn)試驗設計軟件系統(tǒng)，更適合相關策劃的決策輔助。