PWM低速爬行狀態(tài)系統(tǒng)波動(dòng)分析*

趙明翰，葛雨新，李夏菁，葛升民

(1.上海無線電設(shè)備研究所·上?！?01109；2.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院·哈爾濱·150001)

0 引 言

脈寬調(diào)制(Pulse Width Modulation，PWM)技術(shù)廣泛用于諸多場(chǎng)合，尤其是在電機(jī)驅(qū)動(dòng)方面。近幾年，國(guó)內(nèi)關(guān)于PWM的研究主要集中在電磁兼容和在電機(jī)矢量控制的過程中抑制共模電壓的方向，以及永磁電機(jī)的控制算法方面；國(guó)外關(guān)于PWM的應(yīng)用研究主要集中在矢量控制及三相永磁電機(jī)驅(qū)動(dòng)控制的方向。這些研究盡管有著較為重要的應(yīng)用意義，但對(duì)于應(yīng)用PWM驅(qū)動(dòng)的直流電機(jī)伺服控制系統(tǒng)在工程應(yīng)用中出現(xiàn)的問題仍缺乏相關(guān)的研究。

目前，電機(jī)驅(qū)動(dòng)電路絕大多數(shù)都采用PWM技術(shù)。但在實(shí)際的工程應(yīng)用中，PWM技術(shù)卻出現(xiàn)了一些出乎意料的問題，尤其是在低占空比的情況下，使用PWM驅(qū)動(dòng)電機(jī)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的力矩波動(dòng)和轉(zhuǎn)速波動(dòng)，嚴(yán)重影響了伺服系統(tǒng)的精度。目前對(duì)于這種問題產(chǎn)生的機(jī)理分析和解釋的相關(guān)文獻(xiàn)較少。W.Zhan給出了三點(diǎn)導(dǎo)致PWM驅(qū)動(dòng)出現(xiàn)波動(dòng)的原因：系統(tǒng)非線性、系統(tǒng)建模參數(shù)的不準(zhǔn)確性以及電壓源的波動(dòng)，但遺憾的是，這篇文章僅僅站在系統(tǒng)的層面上對(duì)這些問題進(jìn)行分析，并采用了蒙特卡羅方法進(jìn)行擬合，缺乏對(duì)于具體原因的剖析，無法從根本原理上揭示PWM在實(shí)際工程應(yīng)用中出現(xiàn)問題的原因。H.Sira-Ramirez和O.Llanes-Santiago提出了由于PWM不連續(xù)誘發(fā)系統(tǒng)產(chǎn)生高頻振蕩的問題，但從工程應(yīng)用的角度來看，僅考慮了系統(tǒng)非線性時(shí)PWM驅(qū)動(dòng)帶來的問題，缺乏對(duì)于一般性工程系統(tǒng)的分析與認(rèn)知。文獻(xiàn)[12]分別從純粹的理論角度分析了PWM驅(qū)動(dòng)時(shí)的頻域穩(wěn)定性準(zhǔn)則與狀態(tài)空間下穩(wěn)定性準(zhǔn)則及判別方法。文獻(xiàn)[13]從補(bǔ)償電機(jī)死區(qū)的角度對(duì)PWM驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，認(rèn)識(shí)相對(duì)單一，缺乏對(duì)于一般性系統(tǒng)使用PWM驅(qū)動(dòng)時(shí)的問題分析?？梢园l(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有的相關(guān)文獻(xiàn)大多缺乏對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用系統(tǒng)中PWM驅(qū)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)力矩轉(zhuǎn)速波動(dòng)問題的機(jī)理分析與解釋。為了解決這一問題，本文基于PWM的原理進(jìn)行分析，找出導(dǎo)致伺服系統(tǒng)出現(xiàn)力矩波動(dòng)和轉(zhuǎn)速波動(dòng)的機(jī)理，為解決PWM驅(qū)動(dòng)低速、小力矩波動(dòng)問題，以及提高驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)精度提供了理論基礎(chǔ)。

1 PWM的非線性特性

PWM技術(shù)得以實(shí)現(xiàn)的基本假設(shè)是：沖量相等而形狀不同的窄脈沖加在具有慣性的環(huán)節(jié)上時(shí)，其效果基本相同。其中沖量指的是窄脈沖的面積，也就是面積等效原理。例如：依據(jù)面積等效原理，可以用PWM波來代替正弦波(如圖1所示)。

圖1 PWM正弦波驅(qū)動(dòng)原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of PWM sine wave driving principle

大致來講，脈寬調(diào)制器等效一個(gè)比例環(huán)節(jié)。但是，為了理解含有脈寬調(diào)制器環(huán)節(jié)的系統(tǒng)發(fā)生的不理想現(xiàn)象，還需深入研究脈寬調(diào)制器的基本特性。

嚴(yán)格來講，脈寬調(diào)制器是一個(gè)非線性環(huán)節(jié)。圖2所示為脈寬調(diào)制器的函數(shù)圖像。

圖2 脈寬調(diào)制器的函數(shù)圖像Fig.2 Function image of pulse width modulator

從圖2可以看出：當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)大于

X

情況下，輸出脈沖寬度正比于輸入信號(hào)

X

(

t

)；當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)小于

X

情況下，輸出脈沖寬度等于

Y

。一般來說，

X

和

Y

等于零。也就是當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)小于零情況下，沒有脈沖輸出；當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)大于零情況下，輸出脈沖寬度正比于輸入信號(hào)

X

(

t

)的幅值。最后，該函數(shù)還有一個(gè)飽和特性，當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)大于全脈寬對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)

X

時(shí)，即使繼續(xù)增加輸入信號(hào)，輸出脈寬也不再變化。

2 PWM在含有噪聲的輸入信號(hào)驅(qū)動(dòng)下的行為

在工程實(shí)踐中，對(duì)于機(jī)電伺服系統(tǒng)而言，要想完成閉環(huán)控制，都需要使用測(cè)速傳感器或者測(cè)角傳感器。對(duì)于輸出為模擬信號(hào)的傳感器，其輸出值中本就疊加了噪聲信號(hào)，再加上模數(shù)轉(zhuǎn)換過程中引入的量化誤差，進(jìn)入控制器的信號(hào)不可避免地疊加了明顯的噪聲。對(duì)于輸出信號(hào)為數(shù)字信號(hào)的傳感器，其輸出的測(cè)量值也并非一個(gè)恒定的真實(shí)值，而是一個(gè)在真實(shí)值上疊加了白噪聲的信號(hào)。在這種情況下，不管選用的傳感器的輸出是數(shù)字量還是模擬量，進(jìn)入控制器的信號(hào)都是一個(gè)在真實(shí)值上疊加了噪聲的信號(hào)。為了解決這個(gè)問題，學(xué)者們提出了大量的濾波算法。但無論采用何種濾波算法，均不能獲得精確的真實(shí)值，只能盡可能抑制噪聲。

理想情況下，系統(tǒng)的輸入信號(hào)

X

(

t

)是低頻信號(hào)，可以看成是直流信號(hào)。但是，工程上實(shí)際的輸入信號(hào)

X

(

t

)往往是低頻信號(hào)疊加一個(gè)噪聲干擾信號(hào)，這個(gè)噪聲干擾信號(hào)是個(gè)有限帶寬的隨機(jī)信號(hào)，可以看成是白噪聲通過一個(gè)有限帶寬濾波器產(chǎn)生的。常見的隨機(jī)干擾信號(hào)符合均值為零的正態(tài)分布，幅值越大的信號(hào)，其出現(xiàn)概率越小(如圖3所示)。

圖3 隨機(jī)信號(hào)的正態(tài)分布Fig.3 Normal distribution of random signal

如果以一個(gè)幅度閾值來觀察的話，這個(gè)閾值越大，信號(hào)

X

(

t

)超過此閾值的概率越小，也就是超過此閾值的頻率低；這個(gè)閾值越小，信號(hào)

X

(

t

)超過此閾值的概率越大，也就是超過此閾值的頻率高。信號(hào)的時(shí)間特性如圖4所示。

(a) 隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域特性

參見圖1～圖4，PWM在含有噪聲的輸入信號(hào)驅(qū)動(dòng)下，當(dāng)輸入信號(hào)全部為正時(shí)，PWM工作都在比例特性的范圍內(nèi)，這樣的工作狀況下PWM是正常的；當(dāng)輸入信號(hào)出現(xiàn)負(fù)值時(shí)，PWM沒有脈沖輸出，出現(xiàn)輸出間斷的情況，這稱作信號(hào)截?cái)?。信?hào)出現(xiàn)負(fù)值越多，信號(hào)被截?cái)嗑驮蕉?，PWM輸出信號(hào)的頻率降低。所以由于PWM的截?cái)嗵匦裕诤性肼暤妮斎胄盘?hào)驅(qū)動(dòng)下，輸出出現(xiàn)低頻擾動(dòng)。這也是PWM的干擾移頻效應(yīng)。

由于PWM的濾波環(huán)節(jié)具有低通特性，低頻增益大，所以擾動(dòng)得到放大。在含有PWM環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)中，經(jīng)常出現(xiàn)零位附近工作不穩(wěn)定的問題，這正是由于PWM的干擾移頻效應(yīng)所致。

3 PWM輸入信號(hào)含有噪聲的行為分析

一般來講，PWM的生成方法主要有兩種：計(jì)算法和調(diào)制法。計(jì)算法是首先通過計(jì)算得出高低電平的時(shí)間，而后通過單片機(jī)內(nèi)部的計(jì)時(shí)器計(jì)時(shí)并完成電平翻轉(zhuǎn)，以實(shí)現(xiàn)PWM波；調(diào)制法是將希望輸出的波形作為調(diào)制信號(hào)，把接受調(diào)制的信號(hào)作為載波，通過信號(hào)波的調(diào)制得到所期望的PWM波形。兩種方法各有特點(diǎn)，但無論使用哪種方法均會(huì)在系統(tǒng)中引入噪聲和誤差。

為了方便后續(xù)的研究討論，本文在對(duì)相關(guān)問題進(jìn)行研究的過程中,選取調(diào)制法作為生成PWM的方法，這樣便于清晰展示低占空比情況下PWM的工程應(yīng)用問題。

利用調(diào)制法生成PWM的基本過程是:通過將希望輸出的波形(輸入信號(hào))作為調(diào)制信號(hào)，把接收調(diào)制的信號(hào)(一般選為三角波)作為載波，通過比較器得到PWM波形，如圖1所示。但是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，如果輸入信號(hào)

X

(

t

)的直流分量比較小，再加上噪聲擾動(dòng)，就會(huì)出現(xiàn)輸入信號(hào)

X

(

t

)在某個(gè)時(shí)刻小于零的情況，導(dǎo)致實(shí)際系統(tǒng)出現(xiàn)PWM輸出波形發(fā)生頻移的問題。在實(shí)際的工程應(yīng)用實(shí)踐中，輸入的直流信號(hào)往往都會(huì)疊加一個(gè)噪聲信號(hào)。噪聲

n

(

t

)是一個(gè)功率譜密度在頻域內(nèi)低頻分量大、高頻分量小、均值為0的信號(hào)。當(dāng)其疊加在直流輸入信號(hào)上時(shí)，不會(huì)影響直流信號(hào)的均值，但卻會(huì)使整體信號(hào)的方差變大，出現(xiàn)波動(dòng)。而這些波動(dòng)就會(huì)導(dǎo)致前面所說的問題——輸入信號(hào)跌至零以下，導(dǎo)致了部分周期的PWM輸出缺失(如圖5所示)，進(jìn)而影響了PWM的實(shí)際頻率，對(duì)后續(xù)的控制帶來一定困難。一個(gè)實(shí)際飛輪系統(tǒng)中的情況如圖6所示，其中1通道波形表示PWM波，2通道波形為原始輸入的直流信號(hào)(0.3V，存在干擾擾動(dòng))。可以明顯地看出，在輸入信號(hào)為一個(gè)小直流量且存在干擾時(shí)，實(shí)際輸出的PWM波形出現(xiàn)了明顯的部分脈沖缺失的現(xiàn)象。

圖5 輸入信號(hào)小于零時(shí)出現(xiàn)全零周期Fig.5 All zero period occurs when the input signal is less than zero

圖6 一個(gè)PWM系統(tǒng)出現(xiàn)輸出斷續(xù)的示波器圖Fig.6 Oscillograph of a PWM system with intermittent output

從頻率特性的角度來看，當(dāng)輸入信號(hào)

X

(

t

)直流分量較小時(shí)，疊加噪聲信號(hào)后的輸入信號(hào)

X

(

t

)會(huì)存在部分信號(hào)小于零的情況。而由于PWM固有的特點(diǎn)，輸入信號(hào)小于零時(shí)并不會(huì)有任何PWM輸出，這個(gè)階段實(shí)際的PWM輸出均為零。這相當(dāng)于增加了一個(gè)下限為零的飽和環(huán)節(jié)，對(duì)于輸入信號(hào)的頻率特性將不可避免地產(chǎn)生影響。同時(shí)，由于全零周期的存在，從局部來看，全零周期相當(dāng)于周期趨于無窮大，頻率趨于零。綜上所述，從整體上來看也在一定程度上拉低了整個(gè)PWM的頻率。從噪聲信號(hào)的無偏性角度來看，由于小于零的部分被截掉，白噪聲的無偏性遭到破壞，相當(dāng)于在輸入信號(hào)中疊加了一個(gè)正的偏置量。由于這個(gè)偏置量的存在，相當(dāng)于在原有的控制量上增加了一定的值，且增加的這個(gè)值并不是我們所期望的，也導(dǎo)致了對(duì)于后續(xù)被控對(duì)象控制困難的問題。

對(duì)于PWM在低占空比情況下存在的這些問題而言，究其根本，都是由于PWM對(duì)于信號(hào)的截取效應(yīng)導(dǎo)致。

4 PWM對(duì)于輸入信號(hào)頻率特性的影響計(jì)算仿真

通過前面的分析，由于PWM固有的限制，導(dǎo)致了存在噪聲干擾的直流量輸入信號(hào)在飽和環(huán)節(jié)的作用下發(fā)生畸變，頻率發(fā)生改變。為了驗(yàn)證這一現(xiàn)象，利用仿真軟件對(duì)一個(gè)算例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)一個(gè)輸入信號(hào)

X

(

t

)進(jìn)行快速傅里葉變換(Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)，得到結(jié)果如圖7所示。

(a) 噪聲信號(hào)FFT變換結(jié)果

通過圖7可以明顯看出，由于小于零的部分被截取切除，輸入信號(hào)的頻率分布出現(xiàn)了明顯的變化。未經(jīng)飽和濾波的輸入信號(hào)頻率主要集中在120～300Hz區(qū)間，高頻段420～480Hz區(qū)間也存在一定能量分布；而經(jīng)過飽和濾波后的輸入信號(hào)的直流分量顯著變大，360～420Hz區(qū)間的分量也有一定程度的增大，其他部分略有衰減。這個(gè)結(jié)果與之前的分析基本一致，即由于PWM對(duì)于小于零信號(hào)的截?cái)嘁祁l效應(yīng)，輸入信號(hào)的頻率成分出現(xiàn)了變化，低頻分量尤其是直流分量明顯增大，且呈現(xiàn)出一定程度的頻率降低現(xiàn)象。

由于PWM對(duì)于小于零信號(hào)的截取作用，導(dǎo)致了實(shí)際輸出的PWM信號(hào)中疊加了一個(gè)直流偏置量，因此就不可避免地影響到后續(xù)的被控對(duì)象。針對(duì)這個(gè)問題，這一節(jié)將在不施加控制器的情況下，以常見的電機(jī)模型為例進(jìn)行仿真，驗(yàn)證PWM截?cái)嘁祁l效應(yīng)帶來的影響。

利用仿真軟件進(jìn)行仿真，直流分量選取為0.01，添加方差為0.05的噪聲信號(hào)，通過將輸入信號(hào)與1kHz的三角波進(jìn)行比較來生成單相PWM波。被控對(duì)象部分選擇一個(gè)普通的電機(jī)模型，機(jī)械時(shí)間常數(shù)為15.1ms，電磁時(shí)間常數(shù)為1.3ms，電感為5mH，電阻為1.8Ω，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量選為8×10kg·m。得到的仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 PWM驅(qū)動(dòng)與直接驅(qū)動(dòng)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of PWM drive and direct drive results

通過前面的理論分析可知，當(dāng)PWM工作在低占空比小直流量的狀態(tài)時(shí)，相當(dāng)于在原始的輸入信號(hào)上疊加了一個(gè)正項(xiàng)的直流分量。通過圖8所示的仿真結(jié)果可以看出，在單相PWM信號(hào)驅(qū)動(dòng)的情況下，當(dāng)直流量較小時(shí)，實(shí)際的輸出量確實(shí)相當(dāng)于疊加了一個(gè)直流分量。從電機(jī)輸出轉(zhuǎn)速的頻率特性角度來看(圖9)，使用PWM輸出時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速頻率特性相較于直接驅(qū)動(dòng)時(shí)平滑了一些，可以認(rèn)為是PWM引入的濾波效果。但是從各頻率分量的幅值角度來看，PWM驅(qū)動(dòng)對(duì)于直流分量及低頻分量(<20Hz)影響不大，但是對(duì)于20～100Hz范圍內(nèi)的分量有著較為明顯的衰減效果，對(duì)于100Hz以上的高頻分量甚至存在一定的增強(qiáng)效果。這說明此時(shí)的PWM驅(qū)動(dòng)穩(wěn)定性出現(xiàn)下降，應(yīng)當(dāng)是由于此時(shí)PWM存在部分脈沖缺失導(dǎo)致其局部等效頻率下降，而頻率下降到一定程度后就會(huì)被電機(jī)響應(yīng)，由此引發(fā)了對(duì)于高頻分量的增強(qiáng)效果。但是由于脈沖缺失情況有限，所以局部頻率下降的程度也相應(yīng)有限，導(dǎo)致了此時(shí)的效果并不明顯；但如果繼續(xù)降低直流分量的幅值，將會(huì)導(dǎo)致脈沖缺失情況明顯加大，對(duì)應(yīng)的頻率下降現(xiàn)象就會(huì)更加明顯，此時(shí)的頻率分量變化也會(huì)隨之更加明顯。

(a) 直接驅(qū)動(dòng)時(shí)電機(jī)轉(zhuǎn)速FFT變換結(jié)果

5 總 結(jié)

為了提高含有PWM環(huán)節(jié)的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的精度，找出限制PWM系統(tǒng)精度的機(jī)理，本文針對(duì)工程中常用的PWM環(huán)節(jié)，分析了PWM的非線性特性，提出了PWM的截?cái)嗪碗S機(jī)信號(hào)頻移理論。本文指出了PWM小直流量輸入情況下，由于輸入信號(hào)存在噪聲導(dǎo)致PWM輸出波形出現(xiàn)缺失的機(jī)理：缺失調(diào)制脈沖的PWM輸出，從頻域角度來看，相當(dāng)于PWM的高頻干擾輸入折疊成低頻干擾輸出，導(dǎo)致PWM在驅(qū)動(dòng)電機(jī)等被控對(duì)象時(shí)會(huì)出現(xiàn)零位附近穩(wěn)定性下降的問題；同時(shí)，由于PWM截?cái)噍斎胄盘?hào)中小于零的部分，相當(dāng)于在輸入信號(hào)中疊加了一個(gè)直流分量，如果不對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)處理，勢(shì)必會(huì)影響到高精度伺服系統(tǒng)的低速性能。這為解決含有PWM環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)分析和系統(tǒng)性能提高提供了一種新的研究思路。