初中數(shù)學(xué)中的化歸思想案例分析

陳春宇（吉林師范大學(xué)，吉林 長春 130000）

一、引言

素質(zhì)教育正在逐步取代應(yīng)試教育，如何將學(xué)生的綜合能力提升，成為當(dāng)前教師需要解決的重點(diǎn)問題.我們知道數(shù)學(xué)這門學(xué)科是一個具有較強(qiáng)邏輯性的科學(xué)，數(shù)學(xué)中的知識大多都具有連貫性；教材中的數(shù)學(xué)知識編排也是由淺至深，由易到難.化歸思想貫串整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是一個極其重要的解題思想，那么這就要求教師能夠在教學(xué)過程中滲透化歸思想，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)了某些新的偏難的知識后，能夠自覺選擇并熟練運(yùn)用化歸思想將問題進(jìn)行簡單化處理.這樣來看，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的化歸思想，既有助于提升學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，又能夠有效地鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生能夠擁有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強(qiáng)課堂教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，這無疑是一種提升學(xué)生綜合能力的有效途徑.下面筆者將結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中所涉及的能夠充分體現(xiàn)化歸思想的案例來進(jìn)行具體分析.

二、在有理數(shù)的運(yùn)算中體現(xiàn)的化歸思想

在初中數(shù)學(xué)人教版教材中，七年級上冊第一章節(jié)的內(nèi)容就是有理數(shù)，初中階段最先接觸的數(shù)的運(yùn)算也是有理數(shù)的運(yùn)算.有理數(shù)的運(yùn)算包括有理數(shù)的加法、減法、乘法、除法以及乘方，在這些有理數(shù)的運(yùn)算過程中隱藏著許多化歸思想.

在進(jìn)行有理數(shù)的減法運(yùn)算時，我們應(yīng)先將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則來進(jìn)行計(jì)算.例如，當(dāng)計(jì)算8-(-2)時，我們要將括號之前的減號變?yōu)榧犹?，再將括號中的減數(shù)變成它的相反數(shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后得到8＋2 ＝10.因?yàn)闇p去一個負(fù)數(shù)這樣的逆向思維學(xué)生會很難理解，所以將減法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算就是一個化繁為簡的過程，學(xué)生更易接受.學(xué)生后面還要學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法混合運(yùn)算，這樣的轉(zhuǎn)化方法，使混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法運(yùn)算，再結(jié)合適當(dāng)?shù)募臃ㄟ\(yùn)算律來計(jì)算，就會使原本復(fù)雜的混合運(yùn)算變得容易計(jì)算.

有理數(shù)的除法運(yùn)算與有理數(shù)的減法運(yùn)算有著類似的轉(zhuǎn)化思路，就是先將除法轉(zhuǎn)換為乘法，再根據(jù)有理數(shù)的乘法法則來進(jìn)行計(jì)算.例如，當(dāng)計(jì)算時，我們要將除號先變?yōu)槌颂?，再將除?shù)變?yōu)樗牡箶?shù)，經(jīng)過轉(zhuǎn)化可以得到.學(xué)生先學(xué)習(xí)了乘法，自然會對乘法有著固化思維，除法是乘法的逆運(yùn)算.因此，將除法轉(zhuǎn)化為乘法更易讓學(xué)生理解和計(jì)算.

先學(xué)了加法，就把減法轉(zhuǎn)化為已熟悉的加法來計(jì)算；先學(xué)了乘法，就把除法轉(zhuǎn)化為已熟悉的乘法來計(jì)算.減法法則和除法法則是有理數(shù)運(yùn)算中最典型的化歸思想，是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須掌握的最基本的兩種運(yùn)算法則.

三、在代數(shù)式的運(yùn)算中體現(xiàn)的化歸思想

在初中階段的代數(shù)式的運(yùn)算過程中，課標(biāo)要求學(xué)生熟練掌握去括號法則、合并同類項(xiàng)法則以及整體代入法則，以實(shí)現(xiàn)整式的化簡求值.

將b＝2 代入，得原式＝8b＝8×2＝16.

該題要求“化簡”式子，顧名思義，就是將5（a＋b-c）-3（a-b-c）-2（a-c）化繁為簡，即要求運(yùn)用化歸思想來解決該問題.這類題的化歸思想為：當(dāng)遇到幾個整式相加減的式子，如果有括號的就先去掉括號，然后進(jìn)行合并同類項(xiàng)的過程，將同類項(xiàng)的系數(shù)相加減，字母連同它的指數(shù)都不變，最后將原來較為復(fù)雜的整式轉(zhuǎn)化為簡單的有理數(shù)相加減的形式來得到最簡代數(shù)式.

例2代數(shù)式x2＋4x-3 的值為3，則2x2＋8x-7 的值為多少？

解：由題意得x2＋4x-3＝3，則x2＋4x＝6.

又因?yàn)?x2＋8x-7＝2（x2＋4x）-7，

故原式＝2×6-7＝5.

本題是求代數(shù)式的值，但根據(jù)已知條件求出x的值再求代數(shù)式的值會很麻煩，所以本題中可以先根據(jù)已知條件求出x2＋4x的值，將x2＋4x看成一個整體，再找出2x2＋8x-7與x2＋4x的關(guān)系，目的是從2x2＋8x-7 中變出這個整體，即變?yōu)?(x2＋4x)-7，最后將x2＋4x整體代入后求值.整體代入法則是求代數(shù)式的值的一般方法，即將所求的代數(shù)式變形為已知的代數(shù)式表示的形式，然后代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算的解題方法.運(yùn)用這種化部分為整體的化歸思想來解決此類問題，可以使得解題步驟更為簡單.

四、在解方程與解方程組的運(yùn)算中體現(xiàn)的化歸思想

前面所學(xué)過的有理數(shù)和代數(shù)式的運(yùn)算均為接下來的解方程和解方程組奠定了化歸思想基礎(chǔ).解方程和解方程組的基本思路就是將未知數(shù)的次數(shù)由高次轉(zhuǎn)化為低次、將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程、將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以及將多元方程轉(zhuǎn)化為一元方程，在這些轉(zhuǎn)化過程中無一不是運(yùn)用了化歸思想，即不斷通過變形和轉(zhuǎn)化將原方程變成與它等價的最簡單的方程的過程.化歸思想是學(xué)生會求解方程和方程組的核心思想.

例3求一元二次方程x2-5x＝0 的根.

解：等式左邊提出公因式x，可得x（x-5）＝0，

解得x1＝0，x2＝5.

降次法是指將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，本題求一元二次方程，就是將一元二次方程降次為一元一次方程來求解.

例4解無理方程.

解：將等式兩邊分別平方，得x＋2＝16，解得，x＝14.

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝14 是原方程的根，所以原方程的根是x＝14.

本題原式為一個無理方程，解無理方程關(guān)鍵是要去掉根號，將其轉(zhuǎn)化為整式方程.經(jīng)過將等式兩邊平方后去掉了根號，得到了一個有理方程，再對等式兩邊進(jìn)行移項(xiàng)后得到了方程的根.

例5解分式方程.

解：將分式去分母，兩邊同乘x-1，得

1-2（x-1）＝-3，

將等式兩邊去括號，得1-2x＋2＝-3，

移項(xiàng)后整理，得2x＝6，

解得x＝3，

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝3 是方程的根，

所以x＝3 是原方程的解.

解分式方程最基本的思想就是將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.首先將方程的兩邊乘方程中各分式的最小公分母，通分去掉分母，將分式轉(zhuǎn)化為整式方程.再進(jìn)行去括號和合并同類項(xiàng)的運(yùn)算，從而求得方程的根.這里要注意整式方程的解不一定是分式方程的解，但整式方程的解中一定包含了分式方程的解，因此要逐一檢驗(yàn)所得到的整式方程的解，這個過程叫作驗(yàn)根，要檢驗(yàn)求出來的根是否為原式的增根，增根是在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的過程中產(chǎn)生的，要去掉增根才能得到原分式方程真正的根.

例6解二元一次方程組

解：令x＋2y＝9 為①式，3x-2y＝-1 為②式，

則①＋②得4x＝8，

解得x＝2.

把x＝2 代入①中，得2＋2y＝9，

消元法是指通過有限次變換，消去原式中的某些元素.本題求二元一次方程組的解，利用加減消元法和代入消元法將二元一次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程進(jìn)行求解.這種將未知數(shù)個數(shù)由多化少，逐一求解的消元思想，同樣也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的化歸思想.

五、在一元一次方程的應(yīng)用問題中體現(xiàn)的化歸思想

實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵.把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成一個數(shù)學(xué)問題，這個過程被稱為數(shù)學(xué)建模的過程.建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型要遵循簡化原則、可推導(dǎo)原則、反映性原則，其具體步驟如下：

①審題明意：從閱讀問題、理解問題的實(shí)際背景出發(fā)，看問題中一共涉及幾個量，分析已知條件，明確各數(shù)量間的關(guān)系，然后概括出問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì).

②數(shù)學(xué)建模：找出能夠表示實(shí)際問題中全部含義的一個等量關(guān)系，建立一個數(shù)學(xué)模型.

③問題標(biāo)準(zhǔn)化：將建好的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為方程（組）、不等式組、函數(shù)等常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而解決實(shí)際問題.

下面我們以解決實(shí)際問題中的商品打折促銷問題的過程為例，來深刻體會實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化中所滲透的化歸思想.

例7某商店將某種數(shù)碼相機(jī)按進(jìn)價提高了35%后，打出“九折酬賓，再讓利50 元運(yùn)輸費(fèi)”的廣告進(jìn)行促銷，結(jié)果這種數(shù)碼相機(jī)每臺仍可獲利208 元.問：每臺數(shù)碼相機(jī)的進(jìn)價是多少元？

解析：題目中涉及數(shù)碼相機(jī)的進(jìn)價、利潤率、折扣、讓利以及利潤這幾個量，然后找到本題的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：根據(jù)商品利潤＝商品售價-商品進(jìn)價，得到該相機(jī)的利潤＝［進(jìn)價＋（利潤率×進(jìn)價）］×折扣-讓利-進(jìn)價.

首先設(shè)每臺數(shù)碼相機(jī)的進(jìn)價為x元，然后將已知量代入建好的模型后得到一個一元一次方程：（x＋0.35x）×0.9-50-x＝208，解得x＝1200，故每臺數(shù)碼相機(jī)的進(jìn)價為1200 元.

實(shí)際數(shù)學(xué)問題的解決離不開數(shù)學(xué)建模，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)就是構(gòu)建適當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系，使得原來的問題情境轉(zhuǎn)化為容易解決的問題的方法，是化歸思想的集中體現(xiàn).數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目的就是讓學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用.

六、在幾何問題中體現(xiàn)的化歸思想

解決初中數(shù)學(xué)的幾何問題時，需要經(jīng)常與轉(zhuǎn)化思想相結(jié)合.在初中數(shù)學(xué)七年級上冊人教版教材中的第四章為幾何圖形初步，第一節(jié)的內(nèi)容就要求學(xué)生能夠識別立體圖形的展開圖.在探求立體圖形平面展開圖時，教師讓學(xué)生在頭腦中想象出沿著立體圖形的棱角適當(dāng)剪開的過程，這是由抽象到具體、由立體到平面的轉(zhuǎn)化過程.在幾何這一部分的學(xué)習(xí)中還有很多地方也滲透了化歸思想，例如，化曲為直的思想、合同變換的思想等.這些均能體現(xiàn)化歸思想在初中幾何中的重要地位.

例8如圖2，圓柱形的玻璃杯高為14 cm，底面周長為32 cm，在杯內(nèi)壁離杯底5 cm 的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3 cm 與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，求螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離（杯壁厚度不計(jì)）.

圖2

解：如圖3 所示，將該圓柱的側(cè)面展開，點(diǎn)A′為點(diǎn)A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)，

圖3

則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20 cm.

本題的情景設(shè)置在一個圓柱形的物體上，圓柱的表面是曲面，如果直接去思考問題會很抽象，不易理解.但是，只要我們想象這個圓柱側(cè)面展開后的樣子，將曲面化為“直線”平面圖形；將螞蟻的運(yùn)動軌跡由曲線變?yōu)橹本€.經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)化后再對問題進(jìn)行思考就會覺得清楚易懂了.運(yùn)用化曲為直的思想能夠訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.

例9已知梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＋∠B＝90°，M，N分別為AB和CD的中點(diǎn)，求證：MN＝.

圖4

合同變換的思想是指圖形在進(jìn)行平移、對稱、旋轉(zhuǎn)的變換下，與其本身全等的變換.本題的證明中首先過點(diǎn)N分別作NE∥AD，NF∥BC，交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，這也可以等同于NE是AD向右平移后的線段，NF是BC向左平移后的線段.因?yàn)椤螦＋∠B＝90°，所以∠NEF＋∠NFE＝90°，所以兩線段平移之后形成的△NEF是一個直角三角形.于是，解題思路就轉(zhuǎn)化為證明MN為Rt △NEF斜邊上的中線，又轉(zhuǎn)化為2MN＝EF＝AB-CD，即可證明結(jié)論.合同變換思想在初中數(shù)學(xué)的平面幾何中比較常見，所以也是要求學(xué)生能夠領(lǐng)悟的一個思想方法.

七、在找規(guī)律問題中體現(xiàn)的化歸思想

解答探索數(shù)學(xué)規(guī)律的問題時，我們要認(rèn)真觀察題目中給出的數(shù)字、式子或圖形的變化規(guī)律，在閱讀和觀察的基礎(chǔ)上理解其實(shí)質(zhì)、方法和思想，再結(jié)合數(shù)字、式子或圖形的特征和意義解題.這類問題的主要類型有：閱讀和觀察特殊范例，推出一般結(jié)論再運(yùn)用；閱讀解題過程，總結(jié)解題思路和方法，再進(jìn)行運(yùn)用；閱讀新知識，研究新問題等.下面給出一道運(yùn)用“閱讀和觀察特殊范例，推出一般結(jié)論再運(yùn)用”的典型化歸思想方法來解決問題的例題：

例10一個自然數(shù)的立方，可以“分裂”成若干個連續(xù)奇數(shù)的和.例如：23，33和43分別可以按如圖5 所示的方式“分裂”成2 個、3 個和4 個連續(xù)奇數(shù)的和，即23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19……若113也按照此規(guī)律來進(jìn)行“分裂”，則113“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是什么？

圖5

解析：23＝3＋5，“分裂”的第一個數(shù)是3＝2×1＋1，33＝7＋9＋11“分裂”的第一個數(shù)是7＝3×2＋1，43＝13＋15＋17＋19“分裂”的第一個數(shù)是13＝4×3＋1，從而可知n3“分裂”出的奇數(shù)中第一個數(shù)是n（n-1）＋1.通過觀察還可知，每組數(shù)的底數(shù)是幾就“分裂”出幾個奇數(shù)，又因?yàn)槊績蓚€相鄰的奇數(shù)之間相差2，并且從第一個奇數(shù)往后數(shù)還有（n-1）個奇數(shù)，則n3“分裂”出的最后一個奇數(shù)是n（n-1）＋1＋2（n-1），故113按照此規(guī)律“分裂”出的奇數(shù)中，最大的奇數(shù)是n（n-1）＋1＋2（n-1）＝11×（11-1）＋1＋2×（11-1）＝131.

該例題的解題方法就是通過觀察題目中給出的三個自然數(shù)的立方“分裂”的特殊的情形，總結(jié)出兩個一般規(guī)律，即n3“分裂”出的第一個奇數(shù)n（n-1）＋1 和最后一個奇數(shù)n（n-1）＋1＋2（n-1），這是從特殊到一般的轉(zhuǎn)化過程.總結(jié)出自然數(shù)的立方“分裂”的一般規(guī)律后，再將題目中所要求出的特殊值113的底數(shù)11 代入最后一個奇數(shù)n（n-1）＋1＋2（n-1）這個一般規(guī)律中求出最后結(jié)果，此過程為從一般到特殊的轉(zhuǎn)化過程.

從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考方式是化歸思想中重要的一部分，也就是從特殊的事例中總結(jié)出一般規(guī)律的過程，這種數(shù)學(xué)思考方式就叫作從特殊到一般.從特殊到一般再從一般到特殊這種反復(fù)的認(rèn)識過程正是人們認(rèn)識事物的基本過程，在數(shù)學(xué)中也不例外，我們可以讓學(xué)生充分發(fā)揮自己的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在認(rèn)識數(shù)學(xué)的活動中起到重要的作用.

八、結(jié)束語

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有很多問題都蘊(yùn)含著化歸思想，靈活地運(yùn)用化歸方法能夠幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和理解各種數(shù)學(xué)知識.本文詳細(xì)闡述了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的化歸思想的內(nèi)涵以及對典型的化歸思想案例進(jìn)行分析，希望可以為廣大數(shù)學(xué)教師提供參考，促進(jìn)我國教育事業(yè)的發(fā)展和進(jìn)步.經(jīng)過分析表明，無論是在有理數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的運(yùn)算、解方程與解方程組的運(yùn)算中，還是在方程的應(yīng)用、幾何的構(gòu)成和變化的規(guī)律問題中，都有極其明顯的體現(xiàn).我們也可以清楚地看出化歸思想的運(yùn)用可以讓解題思路更加靈活，讓解題方法更加多樣.這也更加印證了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想的重要性.因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)多挖掘、多思考培養(yǎng)學(xué)生化歸思想的教學(xué)方法，讓學(xué)生能夠熟練掌握化歸思想，使學(xué)生能夠通過化歸思想解決各種問題，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考的意識，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣.