關(guān)于高中數(shù)學(xué)課堂例題變式設(shè)計的教學(xué)初探

李國安（福建省永春第二中學(xué)，福建 泉州 362600）

例題可以是對學(xué)生知識掌握水平的一種檢驗和深化，也可以作為知識方法教授的有效策略.高中階段的數(shù)學(xué)例題對于學(xué)生來說具有較高的難度，實際上，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度，而初高中數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸側(cè)重于學(xué)生對解題方法的靈活應(yīng)用，因此，學(xué)生不僅要找到例題涉及的知識點，還要找到正確的解題思路和計算方法，這也是對學(xué)生綜合數(shù)學(xué)能力的一種考查.然而，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)沿用的題海戰(zhàn)術(shù)從某個角度來看只能通過經(jīng)驗教學(xué)的途徑讓學(xué)生了解解題方法，卻難以真正實現(xiàn)融會貫通，學(xué)生需要的是能力上的提高，而非經(jīng)驗提升.通過例題變式設(shè)計，教師注重對學(xué)生能力的培養(yǎng)，對數(shù)學(xué)例題進行轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)一題多變，讓學(xué)生深入一道習(xí)題，拓展更多、更深的知識層面，避免對解題失去興趣，或者出現(xiàn)因?qū)W習(xí)轉(zhuǎn)移過快、例題難度過大而引發(fā)的畏難心理.

一、高中數(shù)學(xué)例題變式設(shè)計的應(yīng)用意義

（一）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、解決問題

問題是人學(xué)習(xí)的主要動力，有了問題就有了學(xué)習(xí)的方向和目的，因此，發(fā)現(xiàn)問題，探究問題，解決問題這一系列過程本身便是學(xué)習(xí)的理想狀態(tài).然而，根據(jù)目前高中階段學(xué)生的現(xiàn)狀分析，很多學(xué)生對于數(shù)學(xué)問題的認知多處于教材、教師、試卷之中，他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程也大多集中于這些來源的問題，但實際上學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題往往比教師提出的問題更具教育意義，效果也更為顯著.這樣引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題，主動探索問題，積極提問的良好習(xí)慣.例題變式教學(xué)對于學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題具有明顯的幫助.在應(yīng)用例題變式設(shè)計一段時間和學(xué)生了解例題變式設(shè)計的原理和方向后，教師可以將例題教學(xué)“交”給學(xué)生，讓學(xué)生嘗試根據(jù)一個例題發(fā)現(xiàn)另一個例題，主動組織學(xué)生一同探索，大膽向教師提問.對于教師來說，例題變式設(shè)計教學(xué)的應(yīng)用也要構(gòu)建良好的課堂氛圍，摒除“提問便是學(xué)習(xí)不好的表現(xiàn)”的認知，鼓勵學(xué)生“不恥下問”，這也有利于從例題變式向“教學(xué)變式”的轉(zhuǎn)變.例如，教材中的例題“畫出函數(shù)的圖像”，在帶領(lǐng)學(xué)生解決問題后，教師可以指導(dǎo)學(xué)生試著將原題變化一下，先為學(xué)生留出一定時間，讓學(xué)生以小組為單位，每個小組根據(jù)原題再出一道例題，而教師隨機選擇一個小組所提出的例題，交由其他小組作答，后續(xù)的結(jié)果和解題過程也完全可以交給設(shè)計該題的小組.這一活動的開展不僅能培養(yǎng)學(xué)生的思維靈活性，而且能促進學(xué)生的合作學(xué)習(xí)以及小組之間的互動.

（二）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

很多學(xué)生都會感覺高中階段的數(shù)學(xué)難度“更上一層樓”，其概念、公式及解題方法不僅繁多而且晦澀難懂，這不僅是學(xué)習(xí)方法不夠高效，而且說明了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力不強.如果只將高中數(shù)學(xué)知識點看作一個個獨立的“孤島”，那么學(xué)習(xí)難度無疑會進一步提高.實際上，高中階段的數(shù)學(xué)知識點的連貫性特點更加明顯，知識點與知識點之間的聯(lián)系更加緊密，因此，學(xué)生在理解知識以及解題時需要靈活應(yīng)用以往的知識點.教師培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力能幫助學(xué)生在掌握、歸納與總結(jié)知識點的基礎(chǔ)上融會貫通，靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，讓數(shù)學(xué)知識不再是單純的知識積累，形成解題能力.例題變式設(shè)計能夠通過靈活的例題變化讓學(xué)生從中“看”到以往的知識點和解題方法，也能讓學(xué)生從數(shù)學(xué)例題的靈活多變中看到靈活多變的解題方法，學(xué)會從多個角度分析問題，用以往的知識點來解決問題，在提高例題教學(xué)質(zhì)量的同時簡化學(xué)生的學(xué)習(xí)難度.

二、例題變式設(shè)計在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)思維的靈活發(fā)散

在新課改背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注學(xué)生能力的養(yǎng)成，因此，在課堂教學(xué)中，教師要充分貫徹生本理念，以學(xué)生作為教學(xué)的中心，引導(dǎo)學(xué)生探索例題，交流例題，在例題解題過程中實現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng).這本身也是傳統(tǒng)教學(xué)模式的理想狀態(tài)，但傳統(tǒng)教學(xué)模式本身壓制著這一趨向：過于關(guān)注解題的標準答案，學(xué)生因害怕出錯而不敢嘗試，甚至長時間養(yǎng)成的依賴心理導(dǎo)致不去主動探索例題，而是等待教師公布答案和解題過程.傳統(tǒng)教學(xué)模式本身并沒有給學(xué)生充足的課堂參與空間，導(dǎo)致學(xué)生在課堂中表現(xiàn)較為消沉，這對于學(xué)生能力的提高帶來了不利影響.對此，教師首先要做的是實現(xiàn)教學(xué)理念的積極創(chuàng)新，貫徹生本理念，應(yīng)用例題變式教學(xué)，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，通過例題變式設(shè)計的趣味性和靈活性讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，跟隨例題的變動和教師的引導(dǎo)靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力.

例如，在教學(xué)“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式”這一內(nèi)容時，教師需要確保課堂教學(xué)的靈活性，靈活設(shè)計內(nèi)容和過程，靈活應(yīng)對學(xué)生的課堂表現(xiàn).通過例題變式設(shè)計，教師能將原本枯燥無味的例題教學(xué)變得更加生動靈活.

例題變式設(shè)計的主旨在于引導(dǎo)學(xué)生探究三角函數(shù)關(guān)系，同時嘗試著證明關(guān)系，為之后的學(xué)習(xí)過程打好基礎(chǔ).上述例題變式通過循序漸進的方法手段讓學(xué)生們通過討論和計算嘗試著求解，三個變式的不斷深入讓學(xué)生靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力，每一道習(xí)題的成功解答都是下一道習(xí)題求解的基礎(chǔ)，這也更能激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

（二）通過例題變式設(shè)計開展概念教學(xué)

概念與公式都是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)部分，這一部分的知識點通常需要學(xué)生通過理解來消化，這時，教師可以通過例題進行概念的補充講解，讓學(xué)生通過例題思考來深化概念理解效率.然而，例題補充可能造成學(xué)生理解誤差的現(xiàn)象，因此，教師可以利用例題變式設(shè)計，在通過例題輔助理解概念知識時通過變式設(shè)計實現(xiàn)例題與概念的一同轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生能以更多的角度分析概念，掌握概念.例如，在教學(xué)“函數(shù)”這一內(nèi)容時，很多學(xué)生可能出現(xiàn)函數(shù)與方程分辨不清的現(xiàn)象，在解題時也可能出現(xiàn)混淆的現(xiàn)象，這主要是因為他們對兩個知識概念的掌握不夠扎實，也沒能明確概念的本質(zhì).函數(shù)與方程都會通過代數(shù)表達式進行表達，一些計算題看上去非常像方程，也類似函數(shù)，因此，學(xué)生往往滯留在例題的表面難以分辨，這時，教師可以通過例題變式設(shè)計來幫助學(xué)生區(qū)分函數(shù)與方程的不同，讓學(xué)生掌握兩者存在的聯(lián)系與共通點.多數(shù)情況下，方程都是求解未知數(shù)，而未知數(shù)本身并不會出現(xiàn)自變量和變異性的關(guān)系.函數(shù)中的所有自變量和因變量都是對應(yīng)的，并且方程可以求解而函數(shù)沒有固定的解.兩者也存在一定聯(lián)系，即在特殊情況下是可以轉(zhuǎn)換的.如果在解函數(shù)時遇到特殊值，那么可以將函數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)榻夥匠蹋业胶瘮?shù)的參數(shù)或特殊性質(zhì).在這之后，教師可以板書例題：y＝x2＋2x＋1，求函數(shù)圖像和y軸的交點坐標.實際上，這一例題也是求解x＝0 時y的值，而該題可以借此進行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠蘺＝0＋0＋1，解得坐標為（0，1），之后可以再轉(zhuǎn)換為函數(shù)進行求解.教師利用例題的變式設(shè)計能幫助學(xué)生明確函數(shù)和方程之間的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生將兩種思想通過變式設(shè)計代入例題中，通過例題的靈活轉(zhuǎn)換靈活思考，提高學(xué)生的思維能力和問題解決能力.

（三）設(shè)計開放性的變式例題

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生對于課堂學(xué)習(xí)的參與性往往決定了課堂教學(xué)質(zhì)量，而如何讓學(xué)生積極主動地參與學(xué)習(xí)則成為教師需要重點解決的問題.對此，興趣成為一個很好的著力點，教師可以通過趣味性的例題變式設(shè)計來提高學(xué)生的參與積極性，并設(shè)計開放性的例題，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動創(chuàng)新.教師需要在例題設(shè)計上注重解題方法的同時創(chuàng)設(shè)靈活的思維情境，通過開放性的例題讓學(xué)生脫離教材和傳統(tǒng)解題方法的制約，在解題過程中靈活創(chuàng)新.這一方法本身是將例題設(shè)計中的思維變式設(shè)計交給學(xué)生，由學(xué)生經(jīng)過思考提出變式的數(shù)學(xué)例題，再經(jīng)過教師的引導(dǎo)解決例題.這一過程不僅更具趣味性，而且能讓學(xué)生獲得成就感，激發(fā)學(xué)生的思維能力.如例題：

教師可以讓學(xué)生通過分析，嘗試舉出一個反例，對原本題型進行變換，如：

之后，教師可以鼓勵學(xué)生大膽猜想，主動探究，再找出一個漸近線方程為的雙曲線方程，求得＝1，（λ＝0）.之后，教師再對例題進行變換，讓學(xué)生試著找出其他的表示形式，并分析一下和漸近線方程有沒有什么區(qū)別，如漸近線方程為的雙曲線方程為（λ≠0）.教師通過開放性例題的設(shè)計能為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考拓展空間，而教師再引導(dǎo)學(xué)生的思維向著變式設(shè)計的方向遷移能發(fā)揮更為顯著的教學(xué)效果，不僅讓學(xué)生充分參與到例題教學(xué)過程中，而且能讓學(xué)生感受到其中的趣味性，在自主變式提問和解答問題后也能收獲成功解題的喜悅.

（四）利用問題內(nèi)容形式，使學(xué)生形成完整的知識系統(tǒng)

高中數(shù)學(xué)中存在許多變式潛能問題.這就要求教師從多個角度具體性分析，對該問題所包含的學(xué)科內(nèi)容以及知識內(nèi)容進行了解，從而對問題所包含的知識點進行挖掘與利用.具體來說，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，需要在備課期間內(nèi)根據(jù)數(shù)學(xué)知識點以及學(xué)生的理解能力，為學(xué)生設(shè)計合理的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生在問題分析中了解數(shù)學(xué)知識.同時，在教學(xué)過程中，教師需要在例題教學(xué)中對一些辨識內(nèi)容進行分析，使學(xué)生能在學(xué)習(xí)中掌握更多的解題思路，提高學(xué)生的解題自信心，全面提升教學(xué)效果，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中達到事半功倍的目的.

例如，在高中數(shù)學(xué)“余弦定理”的教學(xué)過程中，教師在備課時，可以針對內(nèi)容以及教學(xué)知識，為學(xué)生設(shè)計相應(yīng)的課題內(nèi)容，以使學(xué)生能在對理論知識理解的過程中對課題進行解答，從而使學(xué)生通過問題認證理論知識，使學(xué)生真正地掌握課堂教學(xué)知識.“已知，在三角形ABC中，∠B為60°，需要求證三角形的三條邊A，B，C滿足AC＝2A＋2C-B2.”

變式一：在三角形ABC中，在了解∠B為60°后，需要對三角形的三條邊A，B，C的滿足條件進行了解..

隨后，學(xué)生通過思考，對該問題的內(nèi)容進行了進一步分析.

變式二：在三角形ABC中，三角形的內(nèi)角為等差數(shù)列，需要對三條邊A，B，C滿足.

教師在課堂中通過課題問題，對變式一、二進行具體分析，并與教材中余弦定理知識進行對比分析，從而使學(xué)生對余弦定理充分了解.同時，教師在對例題講解的過程中，需要按照課題內(nèi)容，給予不同的變式，根據(jù)學(xué)生解答過程的情況進行剖析，給予學(xué)生一定的鼓勵，對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生進行進一步引導(dǎo)，使他們能在學(xué)習(xí)的過程中形成良好的數(shù)學(xué)知識體系，并對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容“余弦定理”全面了解，使他們深入了解數(shù)學(xué)知識，并提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，從而在學(xué)習(xí)中不斷進步.

（五）以問題背景進行變式教學(xué)，提高學(xué)生的應(yīng)變能力

教師應(yīng)進一步促使學(xué)生在高中數(shù)學(xué)課堂中對數(shù)學(xué)知識對象的本質(zhì)屬性全面了解，并在學(xué)習(xí)過程中對知識點的應(yīng)用變化具體分析，了解其中的變向因素以及不變因素，從而通過數(shù)學(xué)知識的發(fā)展現(xiàn)狀，了解數(shù)學(xué)知識點的本質(zhì)內(nèi)容.

例如，在高中數(shù)學(xué)“指數(shù)函數(shù)以及性質(zhì)”教學(xué)過程中，教師在課前備案時需要明確本節(jié)課的教學(xué)目標，促使學(xué)生在課堂中對指數(shù)函數(shù)的概念內(nèi)容深入理解，并通過問題內(nèi)容促使學(xué)生深入了解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從而掌握指數(shù)函數(shù).在課堂實踐過程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過對教材內(nèi)容的熟讀，對指數(shù)函數(shù)有了初步了解，隨后，教師為學(xué)生設(shè)置了問題內(nèi)容，使學(xué)生能通過問題內(nèi)容印證指數(shù)函數(shù)的改變與性質(zhì)，如“中國人口數(shù)量在2021 年已經(jīng)增長到14 億人，如果每年能將中國人口數(shù)量的增長率控制在1%，那么在10年后，中國人口數(shù)量將會達到多少人口（單位為億）？”該問題的背景屬于指數(shù)增長模型題.這主要是促使學(xué)生能根據(jù)題意列舉并總結(jié)出，在x年后，中國人口數(shù)量將會達到y(tǒng)人，那么可以得出y＝14（1＋1%）x，隨后，為了調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師要求學(xué)生能根據(jù)實際生活或其余學(xué)科的內(nèi)容，以此獲取其余變式內(nèi)容.

變式一：針對儲蓄中的復(fù)利計算利益，在已知條件本金為a，利息為r，本利為y下，需要求解出y與x之間的變量函數(shù)式.在不同的問題背景下，學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)進行了充分了解，并進一步總結(jié)了指數(shù)增長模型關(guān)系式，如在變式一中，設(shè)置原有量為n，年平均增長率為p，那么在x年后，y為多少，根據(jù)指數(shù)函數(shù)可以了解到y(tǒng)＝n（1＋p）x.在教學(xué)全面落實與實施的過程中，學(xué)生在指數(shù)函數(shù)學(xué)習(xí)過程中，通過問題背景進行辨識學(xué)習(xí)，不僅能深入地了解指數(shù)函數(shù)，而且能掌握本節(jié)課的教學(xué)知識點.

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)例題變式教學(xué)的應(yīng)用能夠?qū)崿F(xiàn)“一題多變”，同時在解題過程中能讓學(xué)生靈活發(fā)散數(shù)學(xué)思維能力，通過靈活的解題教學(xué)讓學(xué)生的思維也變得更加靈活.教師在教學(xué)過程中也要注重學(xué)生的解題過程，只有注重解題過程才有利于學(xué)生對例題變式的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和分析問題的積極性.