對(duì)蘇州2020 年中考數(shù)學(xué)壓軸題第28 題的思考
——借題論數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的重要性

莊光新（蘇州市工業(yè)園區(qū)朝前路實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 蘇州 215125）

一、從心培育轉(zhuǎn)化恐懼，引領(lǐng)數(shù)學(xué)人生觀

中考最后一題是壓軸題，只要學(xué)生聽到這樣的詞語，無不從心理上產(chǎn)生深深的恐懼，畏懼心理嚴(yán)重.中考最后壓軸題信息量大，題目長(zhǎng)，數(shù)形閱讀理解轉(zhuǎn)移標(biāo)記多，大多數(shù)中等學(xué)生經(jīng)常在審題這一關(guān)就被卡在門外，從而無法深層地研究學(xué)習(xí).久而久之，學(xué)生的綜合分析能力就會(huì)大打折扣，挑戰(zhàn)自我的信念嚴(yán)重下降.面對(duì)這樣的教學(xué)實(shí)情，教師要從平時(shí)的點(diǎn)滴學(xué)習(xí)中，分解復(fù)雜，拆分試題，小層次遞進(jìn)，以小層次的成就感從心理上培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)恐懼.慢審題、畫關(guān)鍵、數(shù)形結(jié)合標(biāo)參數(shù)、題目一次讀不明白，再來一次，細(xì)品條件、慢悟關(guān)系、深入試題，對(duì)試題有一個(gè)熟悉的環(huán)境認(rèn)識(shí)，增加親近感.對(duì)于綜合幾個(gè)小問題的，學(xué)生雖然不能同時(shí)解決，但可以完成第一小問，并順利得分，為中考總分添一分精彩.同時(shí)，學(xué)生要明白壓軸題的小問是層層遞進(jìn)的，有著重要的承上啟下的意圖，往往是第一小問對(duì)下面的第二小問有引導(dǎo)作用，要從簡(jiǎn)入手，明白問題的引導(dǎo)性.不舍不棄，努力做到更好，這不僅是學(xué)習(xí)，也是一種人生態(tài)度：成功來自前期的點(diǎn)滴積累，當(dāng)前期的努力日積月累到一定的量時(shí)，量變會(huì)產(chǎn)生質(zhì)變，敞亮的人生自然水到渠成.從而灌輸學(xué)生正確的人生價(jià)值觀.讓所有學(xué)生從學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟做人生的道理.

二、試題是載體，化難為易，分解試題

基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法必須以試題為著手點(diǎn)、為載體，把教育目標(biāo)中所蘊(yùn)含的理論目標(biāo)、意識(shí)形態(tài)落實(shí)到學(xué)生看得見、摸得著的實(shí)體數(shù)學(xué)問題中，數(shù)學(xué)離開具體的試題載體，什么思想，什么意識(shí)，什么方法都無立足之本，高談闊論的專家教學(xué)不如讓學(xué)生動(dòng)筆實(shí)踐的效果更實(shí)效.讓學(xué)生從實(shí)際的試題出發(fā)：哪些話是有效的，哪些話是擾亂迷惑我們表象思維的，這些話中，關(guān)鍵詞是什么？這兩句話是什么意思？你能通過這兩句話聯(lián)想到什么與主題關(guān)聯(lián)的隱性內(nèi)容，這些內(nèi)容對(duì)本題有沒有用？比如，初三數(shù)學(xué)中，如果見到直角這個(gè)概念，我們要求學(xué)生必須聯(lián)系到如下知識(shí)點(diǎn)：1：垂線段最短；2：垂直平分線的性質(zhì)與“三線合一”；3：直角三角形以及勾股定理、圓中的垂徑定理、設(shè)未知數(shù)組建勾股定理；4：構(gòu)造圓并找到直徑；等等.利用這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)題目，有用的重點(diǎn)關(guān)注，沒用的先暫時(shí)放一邊，你必須想到這方面的知識(shí)，由條件聯(lián)想它的結(jié)論？求這個(gè)問題，等價(jià)于求另一個(gè)什么問題？這個(gè)問題無法直接解決，能不能“圍魏救趙”先解決別的問題.這樣的設(shè)疑能訓(xùn)練學(xué)生擴(kuò)散思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生由擴(kuò)散思維轉(zhuǎn)向聚焦思維，將某些正面問題轉(zhuǎn)化為反面問題，從而從思想與行動(dòng)上讓解題更有效、更簡(jiǎn)單，思維更清晰明了，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.比如，下面分析推理蘇州2020 年中考題28 題的過程如下：

1.慢審題，標(biāo)條件轉(zhuǎn)化為自我語言表述問題

在具體審題時(shí)，做到慢審題速表達(dá).學(xué)生讀一句中文表達(dá)，就在圖形中用自我熟悉的數(shù)學(xué)符號(hào)標(biāo)識(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)條件，并對(duì)某個(gè)特定的條件瞬間聯(lián)想某個(gè)相關(guān)聯(lián)的結(jié)論，把問題條件內(nèi)化為自我認(rèn)識(shí)，拓展問題的聯(lián)系性.學(xué)生最好能用自我的數(shù)學(xué)語言或者白話語言表示出來，或者動(dòng)作形態(tài)展示題目的意思，轉(zhuǎn)化陌生內(nèi)化親近，讀不懂的地方反復(fù)讀，品不全的地方再領(lǐng)悟，有沒有條件遺漏的，遺漏條件將會(huì)直接導(dǎo)致解題無法進(jìn)行.當(dāng)學(xué)生卡住的時(shí)候，需要回頭看，不能一味地死盯牛角尖.

如圖1 所示，由角平分線OT和直角∠QOP，得∠1 ＝2 ＝45°，由同弧所對(duì)的圓周角，得∠1 ＝∠2 ＝∠3 ＝∠4 ＝45°.利用坐標(biāo)系會(huì)有Rt△QOP，并聯(lián)想直徑QP，利用∠3 ＝∠4 ＝45°得到等腰直角三角形QCP，內(nèi)接四邊形QCPO，初步厘清各條件的作用與關(guān)聯(lián).這些條件要讓學(xué)生結(jié)合圖形直接表達(dá)，不能再依靠文字條件.數(shù)形結(jié)合是一種重要的理解能力的轉(zhuǎn)化，即把文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，更是對(duì)文字語言的深層次的理解，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須堅(jiān)持和長(zhǎng)期訓(xùn)練學(xué)生重要環(huán)節(jié).

圖1

2.動(dòng)中有靜，問題遞進(jìn)式轉(zhuǎn)化問題

第一問：求OP＋OQ的值.

明確兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的方向、速度，標(biāo)記Q的行程和P的行程和余程，因?yàn)镻，Q的速度一樣，而行程也一樣，此時(shí)可把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)模型問題，則PA＝QO，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，可設(shè)SPA＝x，則SOQ＝x，OP＝8-x，所以O(shè)P＋OQ＝8 是一個(gè)定值，第一問輕易而解.但不能高興太早，在移動(dòng)的過程中，∠QOP永遠(yuǎn)是直角，QP永遠(yuǎn)是圓的直徑，∠QCP也是直角，這些都是固化的定量.QP也是Rt△QOP所在圓的直徑.△QOP和△QCP永遠(yuǎn)是直角三角形.變量有弦OC，弦OC無論怎么變最多和QP一樣長(zhǎng)，這些聯(lián)想思維為第二問做鋪墊.從而體現(xiàn)試題中小問引領(lǐng)的用途.學(xué)生要學(xué)會(huì)利用這種承上啟下的引問過渡.

第二問：?jiǎn)朞B的長(zhǎng)度變化情況，有無最大？

師：可想而知，OB是弦OC的一部分，如果變化過程中OB變大，轉(zhuǎn)化為BC會(huì)如何變化呢？

生：（猜測(cè)性地回答）變小.

師：那么BC最小的值在何方呢？為什么最小呢？

生：直角三角形中直角頂點(diǎn)到斜邊垂線段最短（如圖2所示）.

圖2

引導(dǎo)學(xué)生正反思維，轉(zhuǎn)移思路.在等腰直角三角形QCP中，BC是斜邊的高時(shí)最小.

師：無獨(dú)有偶，此時(shí)的OC是圓的什么呢？

生：直徑.

生：∠2＝∠OCP＝45°，則∠OPC＝90°.

再深入探討.

師：那此時(shí)∠OQC是多少度呢？

生：90°.

師：那么此時(shí)的四邊形OQCP是什么圖形呢？

生：正方形.

師：那么OP＝OQ了，而由第一問，OP＋OQ＝8，可得OP＝4，則此時(shí)的t等于多少呢？

生：4 秒.

詳細(xì)解答過程：

當(dāng)OC是圓的直徑時(shí)，OB最大.

此時(shí)，∠OQC＝90°＝∠QOP＝∠QCP，

且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°，

則QC＝PC，

故四邊形OQCP為正方形，

所以O(shè)Q＝OP.

由第一問OQ＋OP＝8，得OP＝4，

則PA＝4，

故t＝4÷1＝4.

綜上所述，在第二環(huán)節(jié)的思維過程中，通過層層疑問，層層遞進(jìn)轉(zhuǎn)化，我們將正向問題OB的大小轉(zhuǎn)化為BC的大小研究.使問題限制在等腰直解三角形QCP中，從而使動(dòng)態(tài)研究變成靜態(tài)研究.完全把二次函數(shù)的復(fù)雜計(jì)算（見官方答案）轉(zhuǎn)化為學(xué)生的分析推理，簡(jiǎn)化了大量的計(jì)算，鍛煉了學(xué)生的思維，把轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想提升了一個(gè)質(zhì)的高度.雖然這樣的解答并非中考出題者的真實(shí)意圖，但在教學(xué)中，教師偶爾以異樣的思維與常態(tài)化思維進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，更能促進(jìn)學(xué)生多思考，多創(chuàng)新.在以求同思維為基礎(chǔ)上開拓個(gè)性的求異思維，把轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想深耕于學(xué)生知識(shí)能力體系中，并引領(lǐng)學(xué)生在以后的生活中，遇到困難也要學(xué)會(huì)利用外部環(huán)境，轉(zhuǎn)化現(xiàn)實(shí)困難，做一個(gè)積極正向的健康人.

3.淋漓盡致的轉(zhuǎn)化，斬?cái)唷袄咸诺墓_布”

中考的壓軸題到了最后，如果不用輔助線，這首先在老師的心理上都是難以想象的，絕大多數(shù)教育者在這點(diǎn)都跳不出這個(gè)輔助線的思維定式，更何況學(xué)生呢？這種慣性思維嚴(yán)重?cái)_亂了學(xué)生的開放思維.某種形式上固化了學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)形態(tài)——輔助線捆綁我們的創(chuàng)造思維.2020 年蘇州中考最后一題卻反其道而行之，在輔助線配合相似與幾何問題轉(zhuǎn)化代數(shù)問題上做了大量的研究，它突破我們的常規(guī)思維，把問題的開放性與固化思維的定向選擇性展示給老師和學(xué)生，從而引領(lǐng)老師日后的數(shù)學(xué)教學(xué)方向——多樣選擇，同時(shí)，讓學(xué)生在幾何、代數(shù)和整合性方面做出判斷，不同的選擇會(huì)得到不同的優(yōu)化結(jié)果，雖然都能得出正確的答案，但所付出的思維價(jià)值及收獲的思維喜悅成果卻完全不同：一個(gè)煩瑣陳雜，一個(gè)輕松簡(jiǎn)潔.出題團(tuán)隊(duì)站得高，看得遠(yuǎn)，最后一道試題的解答方案所包含的教學(xué)意識(shí)對(duì)今后老師的教學(xué)導(dǎo)向意圖明顯：殊途同歸，精彩之余另有一番愉悅的數(shù)學(xué)體驗(yàn).以試題為載體，求異、高效體驗(yàn)引領(lǐng)我們的教學(xué)方向——求異轉(zhuǎn)化思想.讓老師的教學(xué)思想開辟了一個(gè)新的方向.

第三問：要求四邊形OQCP的面積（如圖3 所示），此題運(yùn)用幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)的思想更是數(shù)學(xué)思維的精彩體現(xiàn).在這一問上淋漓盡致地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，徹底斬?cái)鄶?shù)學(xué)思想中“老太婆的裹腳布”.分析如下：

圖3

幾何問題代數(shù)化的轉(zhuǎn)移思想，整體代入，為求而不求，不僅分析簡(jiǎn)單化，而且計(jì)算輕巧便捷.運(yùn)用這樣的思維方式解題和2020 年蘇州中考試題最后一題官方答案相對(duì)比，簡(jiǎn)捷很多.不同的學(xué)生有不同的思維，我們不能要求所有人都認(rèn)同自己的觀念或者自己的想法，但讓學(xué)生從對(duì)比中領(lǐng)悟各種數(shù)學(xué)思想的優(yōu)劣性，取其優(yōu)點(diǎn)，在對(duì)比中，領(lǐng)悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的奇效性.如果這個(gè)思想能為學(xué)生學(xué)習(xí)提供更高的效率就選擇使用，一切在準(zhǔn)確的基礎(chǔ)上，再講效率，講策略性，不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)方法，使其學(xué)習(xí)績(jī)效更優(yōu)化.最終讓教育者數(shù)學(xué)教學(xué)的意識(shí)形態(tài)與學(xué)習(xí)者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)績(jī)效不斷整合、共同進(jìn)步，為培養(yǎng)創(chuàng)造性人才奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

到此為止，2020 年蘇州中考試卷的最后一道壓軸題就這樣“輕而易舉”的順利完成，書寫形式簡(jiǎn)潔，邏輯思維流暢，化難為易的轉(zhuǎn)化手段高效.沒有輔助線，沒有函數(shù)知識(shí)，沒有大量的計(jì)算，沒有整版的書寫，學(xué)生學(xué)得輕松，答得容易，理的清晰，學(xué)的開心，領(lǐng)悟頗多.究其原因，就是我們?cè)谄渲羞\(yùn)用了大量的轉(zhuǎn)化思想的教學(xué)手法.書寫表達(dá)上簡(jiǎn)潔了，但我們的思維訓(xùn)練的難度增加了，無形的邏輯推理分析大大促進(jìn)了學(xué)生的思維訓(xùn)練，真正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì).

三、結(jié)束語

數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思維中重要的一個(gè)組成部分，一要轉(zhuǎn)化學(xué)生的恐懼心理，分解試題，小步驟前行，讓學(xué)生慢慢體會(huì)成功的喜悅，并為前進(jìn)提供情感動(dòng)力.二要轉(zhuǎn)化學(xué)生的解題思維.當(dāng)然，這道壓軸題是一個(gè)特殊典型題.數(shù)學(xué)教學(xué)中思想方法還很多，需要我們平時(shí)用心，并用獨(dú)特的教育思想去引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新，通過長(zhǎng)期的教育培養(yǎng)，以試題為著手點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化問題的意識(shí)，并把這種意識(shí)帶入學(xué)生的生活學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生遇到問題、難題、難事時(shí)，能轉(zhuǎn)移一下視角、換個(gè)方向.條條大路通羅馬，但智慧的駕駛者可能在奮斗的道路上事半功倍.希望轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想能為學(xué)生的學(xué)業(yè)提升提供一個(gè)高效的手段，同時(shí)希望學(xué)生在以后的日常生活中，能積極轉(zhuǎn)化自己生活中遇到的困難，做一個(gè)積極正向的健康人.