隨機(jī)子空間方法在去極化電流解譜中的應(yīng)用

周 凱，王亞蘭

（四川大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610065）

0 引 言

由于城市發(fā)展的需要，交聯(lián)聚乙烯（Cross?Linked Polyethylene，XLPE）電力電纜被廣泛用于城市配電網(wǎng)中。通常情況下，電力電纜的敷設(shè)環(huán)境極其惡劣，在長(zhǎng)期服役的過(guò)程中，水分、電場(chǎng)和溫度等因素會(huì)導(dǎo)致電纜中XLPE材料老化，引發(fā)電纜故障，造成非計(jì)劃性停電。因此快速準(zhǔn)確地評(píng)估電力電纜的絕緣狀態(tài)對(duì)于保證電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行具有重大意義。

極化去極化電流（Polarization and Depolarization Current，PDC）法是一種基于電介質(zhì)介電響應(yīng)理論的無(wú)損檢測(cè)方法，該方法通過(guò)測(cè)量絕緣介質(zhì)內(nèi)部各種類型的松弛極化來(lái)判斷絕緣介質(zhì)的老化程度，具有接線電路簡(jiǎn)單，測(cè)試電壓低，設(shè)備體積小等優(yōu)點(diǎn)。目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)PDC法對(duì)XLPE電纜的絕緣診斷開(kāi)展了大量研究，文獻(xiàn)[3]提出去極化電流曲線可以反映電纜的絕緣老化狀態(tài)，但是沒(méi)有深度探究表征電纜老化程度的特征量；文獻(xiàn)[4?5]對(duì)去極化電流建立等效數(shù)學(xué)模型然后進(jìn)行解譜分析，得到了各譜線參數(shù)對(duì)電纜絕緣老化的變化規(guī)律，但是該方法中去極化電流的子譜線數(shù)目都是事先設(shè)定，因此求解結(jié)果可能無(wú)法反映真實(shí)物理過(guò)程；文獻(xiàn)[6?7]借助去極化電流的微分曲線峰值確定子譜線數(shù)目，然后計(jì)算各子譜線參數(shù)，該方法進(jìn)一步完善了去極化電流解譜方法，但是存在微分曲線峰值的清晰度較差，子譜線數(shù)目計(jì)算結(jié)果受人為因素影響較大的問(wèn)題；文獻(xiàn)[8]提出利用去極化電流Hankle矩陣的奇異值大小進(jìn)行分類進(jìn)而判斷子譜線數(shù)目，解決了微分曲線方法存在的問(wèn)題，使得去極化電流解譜結(jié)果更加準(zhǔn)確，但是進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)由于各信號(hào)奇異值的數(shù)量級(jí)差距太大，因此在實(shí)際運(yùn)用中也存在一定的局限性。

因此，為了解決傳統(tǒng)去極化電流解譜方法中存在的子譜線總數(shù)和子譜線參數(shù)難以求解的問(wèn)題，本文提出一種基于振型幅值法結(jié)合隨機(jī)子空間識(shí)別（Stochastic Subspace Identification，SSI）的去極化電流解譜方法。本文首先利用振型幅值確定子譜線數(shù)目，然后借助基于協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI算法實(shí)現(xiàn)去極化電流各子譜線參數(shù)的求解。針對(duì)仿真去極化電流數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)去極化電流數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，同時(shí)和微分曲線峰值和奇異值定階法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證該方法的有效性。

1 去極化電流等效數(shù)學(xué)模型

擴(kuò)展Debye等效電路常用作電力電纜的等效模型，其具體模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 電力電纜等效電路模型

圖1中：R 為絕緣電阻，C 為幾何電容，R 為極化電阻，C 為極化電容，為極化支路總數(shù)。從圖1中可以看出，擴(kuò)展Debye等效電路由絕緣電阻支路、幾何電容支路和極化等效支路并聯(lián)組成，由此確定去極化電流的表達(dá)式為：

式中：B 為極化幅值系數(shù)；τ=R C ，為極化時(shí)間常數(shù)。

式（1）描述的電介質(zhì)極化過(guò)程中去極化電流和時(shí)間的關(guān)系稱為電介質(zhì)的極化衰減函數(shù)，其中也表示去極化電流曲線中子譜線數(shù)，運(yùn)用該等效電路模型評(píng)估電纜絕緣狀態(tài)時(shí)，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確提取式（1）中各參數(shù)。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)設(shè)定值借助智能算法進(jìn)行子譜線參數(shù)的提取，但是該方法具有較強(qiáng)的主觀性，致使求解結(jié)果無(wú)法反映電力電纜中真實(shí)的弛豫過(guò)程。本文提出基于振型幅值法結(jié)合隨機(jī)子空間識(shí)別的去極化電流解譜方法，來(lái)提取去極化電流中的子譜線參數(shù)，減少人為因素的影響，提高利用去極化電流的數(shù)學(xué)模型診斷電力電纜絕緣狀態(tài)的可靠性。

2 去極化電流解譜算法

2.1 SSI

SSI作為一種系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)估計(jì)的方法，具有識(shí)別精度高和數(shù)值簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)。按照矩陣投影方式的不同，SSI被分為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI和基于協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI。在保證數(shù)據(jù)信息量一致的情況下，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI利用QR分解提取數(shù)據(jù)信息，而基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI利用托普利茨矩陣提取數(shù)據(jù)信息，由于QR分解的運(yùn)算速度較差，導(dǎo)致基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的SSI的運(yùn)算效率更低，因此本文采用協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI進(jìn)行系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)估計(jì)，即本文采用協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI對(duì)去極化電流進(jìn)行解譜。

將去極化電流y 用一離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程表示為：

式中：是系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣；是系統(tǒng)的輸入矩陣；x 和y 是系統(tǒng)時(shí)刻的狀態(tài)量和輸出量；w 是過(guò)程噪聲；v 是測(cè)量噪聲。

根據(jù)y 構(gòu)造“未來(lái)”和“過(guò)去”的時(shí)延矩陣：

式中：表示y 的總數(shù)；表示時(shí)延矩陣的列數(shù)，為滿足統(tǒng)計(jì)分析的需要和提高模態(tài)識(shí)別精度，的取值應(yīng)盡可能大，但是實(shí)際的數(shù)據(jù)量有限，同時(shí)數(shù)據(jù)越多計(jì)算量越大。因此本文為了均衡計(jì)算的精度和成本，取>5(--1)。Y 表示“過(guò)去”時(shí)延矩陣，Y 和Y 分別代表第1和第2個(gè)“未來(lái)”時(shí)延矩陣。

進(jìn)一步得到托普利茨矩陣為：

將進(jìn)行奇異值分解，得到：

式中：T表示矩陣轉(zhuǎn)置；，為奇異值對(duì)角陣；，及，分別是左、右奇異陣，1代表信號(hào)產(chǎn)生矩陣，2代表噪聲產(chǎn)生矩陣。

因?yàn)?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">w 和v 理論上互不相關(guān)，因此根據(jù)離散隨機(jī)狀態(tài)模型的性質(zhì)可得：

式中：O 是觀測(cè)矩陣；=(x )，是期望；Γ是控制矩陣；=--1。

將式（8）和式（9）結(jié)合得到：

再根據(jù)式（9）可得：

結(jié)合式（10）和式（11）得到：

進(jìn)一步對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行特征值分解：

式中：=diag(λ)，=1，2，…，，λ為的特征值，為系統(tǒng)階數(shù)；為特征矩陣。

得到對(duì)應(yīng)λ的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果為：

式中Δ為去極化電流的采樣周期。

進(jìn)一步通過(guò)式（15）得到B 。

2.2 振型幅值法

對(duì)于SSI方法而言，在確定系統(tǒng)的階數(shù)之后，便可以得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，相對(duì)應(yīng)去極化電流，當(dāng)確定子譜線數(shù)后，SSI方法便可以有效識(shí)別各子譜線參數(shù)。文獻(xiàn)[8]提出利用奇異值的大小定階，但是進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，由于各信號(hào)奇異值的數(shù)量級(jí)相差較大，因此實(shí)際運(yùn)用中可能效果較差。本文利用SSI方法處理去極化電流信號(hào)，得到的振型對(duì)應(yīng)去極化電流信號(hào)中B 的幅值，此時(shí)真實(shí)階次的B 會(huì)呈現(xiàn)幅值較大的狀態(tài)，虛假階次的B 會(huì)呈現(xiàn)幅值較小的狀態(tài)，借助B 的幅值可以確定真實(shí)階次的數(shù)目。因此本文將SSI中定階問(wèn)題轉(zhuǎn)化為B 幅值的截?cái)嚅撝颠x定問(wèn)題，即利用重新排序后的B 幅值確定去極化電流的子譜線數(shù)。

3 仿真測(cè)試分析

研究文獻(xiàn)[12]中子譜線數(shù)為6條的去極化電流曲線，各子譜線數(shù)如表1所示，放電時(shí)間為180 s，采樣周期為0.1 s，詳細(xì)分析本文方法對(duì)去極化電流數(shù)據(jù)的解譜效果。假設(shè)系統(tǒng)的階數(shù)是10，得到振型幅值圖如圖2所示。

表1 仿真去極化電流的子譜線參數(shù)

圖2 仿真去極化電流的振型幅值圖

從圖2中可以看出，該系統(tǒng)中6類分量的幅值較大，因此確定系統(tǒng)的階數(shù)為6，即確定該去極化電流存在6條子譜線，和仿真條件一致。在確定子譜線數(shù)后，利用SSI解析子譜線參數(shù)，得到其結(jié)果如表2所示，對(duì)比表1和表2可以看出，SSI算法可以準(zhǔn)確求解去極化電流子譜線參數(shù)，為后續(xù)絕緣介質(zhì)的狀態(tài)評(píng)估提供合理依據(jù)。

表2 仿真去極化電流的子譜線參數(shù)識(shí)別結(jié)果

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文方法的優(yōu)越性，構(gòu)造奇異值變化曲線和微分譜線如圖3所示。對(duì)于奇異值方法而言，由于各有效奇異值之間數(shù)值相差較大，因此難以準(zhǔn)確確定去極化電流的子譜線數(shù)；對(duì)于微分譜線而言，一方面峰值難以確定，另一方面無(wú)法識(shí)別所有的子譜線，因此也難以準(zhǔn)確得到去極化電流的子譜線數(shù)。

圖3 仿真中傳統(tǒng)方法的子譜線數(shù)識(shí)別結(jié)果

4 實(shí)際測(cè)試分析

4.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

為了實(shí)際驗(yàn)證本文去極化電流解譜方法的準(zhǔn)確性和可行性，本文對(duì)不同老化程度的水樹(shù)老化電纜進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。為了獲得不同老化程度的水樹(shù)電纜試品，本文用型號(hào)為YJV22?3×95，8.7/10 kV的500 mm短電纜試樣作為實(shí)驗(yàn)材料，在實(shí)驗(yàn)室采用水針電極法進(jìn)行電纜的水樹(shù)加速老化。用鋼針在樣品外半導(dǎo)電層上等間距（3~5 mm）扎入1.5 mm深度的小孔，然后向熱縮管的空腔中注入1.7 mol/L氯化鈉溶液，并侵入銅電極接地，最后施加400 Hz，7.5 kV交流電壓用于加速水樹(shù)老化。試品在水針電極法下水樹(shù)加速老化60天，并分別在0天、30天和60天對(duì)試品進(jìn)行一次PDC測(cè)試。

在PDC測(cè)試中為了不損傷電纜絕緣和節(jié)省測(cè)試的時(shí)間，電纜絕緣的極化電壓設(shè)置為1 kV，極化和去極化時(shí)間均設(shè)置為90 s。過(guò)程中采用Keithley 6485型皮安表記錄PDC數(shù)據(jù)，實(shí)驗(yàn)回路如圖4所示。圖中K為繼電器開(kāi)關(guān)，在電纜兩端的預(yù)留沿面上裝上金屬防泄漏環(huán)，并用導(dǎo)線接地以防止沿面泄漏電流的影響。每次測(cè)試前用無(wú)水乙醇將電纜兩端的沿面絕緣進(jìn)行擦拭并將纜芯和銅屏蔽層進(jìn)行短接，以防止電纜中殘留電荷對(duì)PDC測(cè)量產(chǎn)生影響。在測(cè)試時(shí)將試品置于屏蔽箱中并保證同一溫度和濕度環(huán)境下測(cè)試，同時(shí)為消除開(kāi)關(guān)抖動(dòng)的影響，皮安表僅采集繼電器動(dòng)作1 s后的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖4 PDC測(cè)量接線示意圖

4.2 結(jié)果分析

測(cè)試得到不同程度水樹(shù)老化電纜試品的去極化電流曲線如圖5所示。

圖5 實(shí)測(cè)的去極化電流曲線

從圖5中可以看出，隨著水樹(shù)老化時(shí)間的增加，去極化電流幅值隨之增加。這主要是因?yàn)椋涸谒畼?shù)老化的過(guò)程中，水分會(huì)在電場(chǎng)力作用下擠壓XLPE材料，然后進(jìn)入XLPE材料中的自由體內(nèi)形成充水微孔，導(dǎo)致電纜絕緣中出現(xiàn)大量水和XLPE的界面，從而導(dǎo)致極化增強(qiáng)，宏觀上表現(xiàn)為去極化電流幅值的增大。

利用本文方法對(duì)圖5中去極化電流進(jìn)行處理，假設(shè)系統(tǒng)的階數(shù)是10，得到不同去極化電流的系統(tǒng)振型圖如圖6所示。

圖6 實(shí)測(cè)去極化電流的振型幅值圖

從圖6中可以看出，3組去極化電流的系統(tǒng)階數(shù)均為4，即確定3組去極化電流均存在4條子譜線，接著結(jié)合SSI算法流程，計(jì)算3組去極化電流的子譜線參數(shù)識(shí)別結(jié)果如表3~表5所示。

表3 新樣本的去極化電流子譜線參數(shù)識(shí)別結(jié)果

表4 老化30天樣本的去極化電流子譜線參數(shù)識(shí)別結(jié)果

表5 老化60天樣本的去極化電流子譜線參數(shù)識(shí)別結(jié)果

為驗(yàn)證識(shí)別結(jié)果的正確性，利用表3~表5中參數(shù)重構(gòu)去極化電流曲線，得到仿真去極化電流曲線和實(shí)測(cè)電流曲線的對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

圖7 原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果

從圖7中可以看出，擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)具有較高的吻合度，說(shuō)明表3~表5中數(shù)據(jù)真實(shí)反映了電力電纜的極化特征，證實(shí)了基于振型幅值法結(jié)合SSI的去極化電流解譜方法的可靠性。

為了進(jìn)一步證實(shí)本文所提方法的優(yōu)越性，利用表3~表5中參數(shù)重構(gòu)的去極化電流曲線構(gòu)造奇異值變化曲線和微分譜線，如圖8所示。

圖8 實(shí)測(cè)中傳統(tǒng)方法的子譜線數(shù)識(shí)別結(jié)果

從圖8中可以看出，傳統(tǒng)的奇異值方法和微分譜線方法均難以得到準(zhǔn)確的子譜線數(shù)目，因此可能會(huì)造成去極化電流解譜出現(xiàn)錯(cuò)誤，通過(guò)對(duì)比進(jìn)一步驗(yàn)證文中所提方法的優(yōu)越性。

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)傳統(tǒng)去極化電流解譜方法中存在的子譜線總數(shù)和子譜線參數(shù)難以求解的問(wèn)題，本文提出基于振型幅值法結(jié)合SSI的去極化電流解譜法。該方法首先通過(guò)去極化電流的振型幅值圖確定子譜線總數(shù)，然后利用基于協(xié)方差驅(qū)動(dòng)的SSI算法進(jìn)行各子譜線參數(shù)求解，提高了去極化電流解譜的準(zhǔn)確性，為評(píng)估電力電纜絕緣提供了新的思路。