具有自適應(yīng)行為的SIS傳染病模型建模與分析*

崔健萌， 靳禎

(山西大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)研究所，疾病防控的數(shù)學(xué)技術(shù)與大數(shù)據(jù)分析山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030006)

在傳染病的研究[1-2]中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為刻畫(huà)人類(lèi)實(shí)際接觸行為的有效工具，而復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)也得到了大量的研究[3-6].Gross等人[7]在2006年考慮了傳染病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播過(guò)程中易感者可能會(huì)斷開(kāi)與染病者鄰居的連接而與其他易感者建立新連接的自適應(yīng)行為，發(fā)現(xiàn)了在此機(jī)制下的復(fù)雜疾病傳播動(dòng)力學(xué)行為，包括周期震蕩和雙穩(wěn)現(xiàn)象.自此，這類(lèi)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)上的傳染病傳播動(dòng)力學(xué)成為研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域，個(gè)體自適應(yīng)行為影響疾病傳播動(dòng)力學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解得以加深[8-12].然而這些工作中涉及的網(wǎng)絡(luò)傳染病動(dòng)力學(xué)模型都相對(duì)比較復(fù)雜，難以分析其動(dòng)力學(xué)行為.為此，本文利用均勻混合假設(shè)[13-14]刻畫(huà)個(gè)體因傳染病傳播的自適應(yīng)接觸行為，從而有效降低了SIS傳染病模型方程的維數(shù)以及分析的難度，并研究了平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性.

1 模型的建立

為方便討論，本文只考慮c=N的情況

(1)

2 平衡點(diǎn)的存在性

類(lèi)似于基本再生數(shù)的定義，定義系統(tǒng)(1)的自適應(yīng)再生數(shù)

(2)

為得到系統(tǒng)(1)的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*),解方程組

(3)

將方程組(3)的兩個(gè)方程相加可得

(4)

將(4)式代入(3)式的第二個(gè)方程，可得關(guān)于I*的二次方程

F(I*)=A(I*)2+BI*+C=0，

(5)

其中

C=Λμ(γ+μ)(R0(1-ω2)-1)，

由韋達(dá)定理可知，方程F(I*)=0有兩不相等的實(shí)根，

其中

Δ=B2-4AC=(R0μ(γ+μ)(ω-1)+μω(γ+μ))2+4R0μ2ω(ω-1)2(μ+γ)2>0.

以下分三種情況討論地方病平衡點(diǎn)的存在性:

綜上可得：

3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

先研究平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，計(jì)算系統(tǒng)(1)的雅可比矩陣

其中

證明系統(tǒng)(1)在無(wú)病平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣

其特征值為

證明系統(tǒng)(1)在地方病平衡點(diǎn)E*處的雅可比矩陣的特征方程為λ2-tr(J)λ+det(J)=0，經(jīng)計(jì)算可得

根據(jù)Hurwitz判據(jù)[16]可知特征方程的根均具有負(fù)實(shí)部，故地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(S,I)=I,計(jì)算V(S,I)沿系統(tǒng)(1)軌線(xiàn)的全導(dǎo)數(shù)得到

證明令

設(shè)Dulac函數(shù)[16]為B(S,I)=1/I,則

根據(jù)Bendixson-Dulac判別法可知，系統(tǒng)(1)不存在閉軌線(xiàn)，故地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定.

4 結(jié)語(yǔ)