傅里葉級數(shù)擬合LEO軌道誤差下的BDS/GPS/LEO 精密單點定位

李相君，葉小舟，劉文祥，王飛雪

（ 國防科技大學(xué) 電子科學(xué)學(xué)院, 長沙 410073 ）

0 引 言

精密單點定位(PPP)技術(shù)只需要利用單臺接收機接收偽距和載波相位觀測值即可實現(xiàn)高精度定位，具有作業(yè)靈活、覆蓋范圍廣、定位成本低、定位精度高等優(yōu)點，已成為定位領(lǐng)域的熱點和新發(fā)展方向[1].然而PPP技術(shù)也存在一定的短板，PPP所涉及的誤差項與解算參數(shù)較多，處理過程較為復(fù)雜，導(dǎo)致其初始化時間較長[2]，而全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng) (GNSS)衛(wèi)星軌道高度較高，信號傳播到達(dá)地面時信號強度較弱，在邊遠(yuǎn)地區(qū)和室內(nèi)、森林等遮蓋嚴(yán)重區(qū)域難以實現(xiàn)高精度連續(xù)可靠定位.

為了克服上述問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了利用低軌道地球衛(wèi)星(LEO)播發(fā)導(dǎo)航信號來增強GNSS，從而實現(xiàn)GNSS/LEO聯(lián)合PPP. 與GNSS相比，LEO星座軌道高度低，信號落地功率高，有助于改善邊遠(yuǎn)地區(qū)定位性能. 其次，LEO運動速度快、幾何構(gòu)型變化明顯，可以有效降低定位過程中觀測方程間的相關(guān)性，增加參數(shù)的可估性，從而實現(xiàn)高精度快速定位[3-5].

馬福建[6]全面評估了LEO星座衛(wèi)星個數(shù)、軌道高度及軌道類型對PPP收斂時間的影響. 其結(jié)果表明：LEO星座衛(wèi)星數(shù)目越多，PPP收斂時間越短. 以中緯度測站為例，引入60、96、192、288顆LEO后，PPP收斂時間分別從8.2 min減少至7.0 min、3.2 min、2.1 min、0.8 min. ZHAO等[7]建立了BDS/GPS/LEO三頻非組合PPP模型，并設(shè)計了一個衛(wèi)星個數(shù)為180顆的低軌星座. 其實驗結(jié)果表明：與單BDS相比，BDS/GPS、BDS/LEO、BDS/GPS/LEO組合下的PPP浮點解精度分別提升42.77%、72.77%、77.73%.LI 等[8]建立GNSS/LEO三頻組合觀測量方程并分析了LEO星座對PPP模糊度解算的影響. 實驗結(jié)果表明：LEO星座對PPP模糊度解算速度具有顯著提升效果，且LEO數(shù)目越多，PPP模糊度固定速度越快.

上述仿真實驗基本以獲取LEO事后精密星歷為前提進(jìn)行PPP仿真實驗，即假定LEO軌道誤差很小，幾乎忽略不計. 然而國內(nèi)外的大多LEO星座設(shè)計目前仍然處在初步論證階段，系統(tǒng)建設(shè)剛剛起步.LEO星座構(gòu)型和軌道位置尚未確定，事后精密星歷同樣無法獲取. 其次，實際PPP應(yīng)用過程中對實時性要求較高，在進(jìn)行PPP解算過程中主要采用精度較低的實時預(yù)報星歷，必然會引入LEO軌道誤差. 因此探究LEO軌道誤差對GNSS/LEO聯(lián)合PPP的影響十分重要.

柯明星等[9]將LEO軌道誤差設(shè)定為服從零均值的正態(tài)分布，探究了不同軌道誤差下LEO與GPS聯(lián)合PPP的定位性能. 實驗結(jié)果表明：當(dāng)GPS軌道誤差固定為0.25 m時，LEO軌道誤差小于0.35 m，LEO與GPS聯(lián)合PPP可以提升浮點解精度并縮短固定解的收斂時間. 當(dāng)LEO軌道誤差增加到0.4 m時，PPP浮點解精度將降低，固定解的收斂時間增加.

但是LEO軌道高度低，所處空間環(huán)境和受力情況較為復(fù)雜. LEO受到太陽活動，電磁活動等復(fù)雜外界因素影響以及大氣阻力、輻射光壓、重力場等模型誤差影響，難以建立出LEO高精度確定性動力學(xué)模型[10]. 目前主要采用簡化動力學(xué)定軌方法進(jìn)行LEO精密定軌. 簡化動力學(xué)定軌是在確定性動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上引入經(jīng)驗加速度模型來吸收未模型化的動力學(xué)誤差，從而保證動力學(xué)模型對軌道的約束，并滿足高精度定軌需求. 由于衛(wèi)星軌道具有周期性，簡化動力學(xué)定軌的經(jīng)驗加速度呈現(xiàn)準(zhǔn)周期正弦曲線特點，簡化動力學(xué)定軌后的LEO軌道誤差也呈現(xiàn)準(zhǔn)周期正弦曲線特點[11-12].

因此，本文根據(jù)LEO軌道誤差特點，采用高階傅里葉級數(shù)級數(shù)擬合LEO軌道誤差，并由此探究LEO軌道誤差對BDS/GPS/LEO聯(lián)合PPP定位結(jié)果的影響.

1 BDS/GPS/LEO PPP模型

1.1 PPP函數(shù)模型

GNSS和LEO系統(tǒng)的偽距以及載波相位觀測方程為：

式中：s、fs、r、i分別代表衛(wèi)星、載波頻率、接收機和歷元；分別代表地面接收偽距與載波相位觀測值；代表衛(wèi)星發(fā)射天線相位中心到接收機天線相位中心的幾何距離；ts,fs(i)、tr(i) 分別代表衛(wèi)星和接收機鐘差；分別代表衛(wèi)星和接收機碼硬件延遲偏差；分別為衛(wèi)星和接收機相位硬件延遲偏差分別代表電離層延遲誤差和對流層延遲誤差； λfs代表fs對應(yīng)的載波波長；代表整周模糊度； ?s,fs為天線相位纏繞偏差為偽距和載波觀測噪聲.

在PPP處理過程中采用無電離層組合模型，利用觀測方程的線性組合消除電離層一階延遲量. 無電離層組合后的觀測值的觀測方程為：

在PPP處理過程中，利用仿真星歷產(chǎn)品消除部分軌道誤差，精密鐘差產(chǎn)品消除衛(wèi)星鐘差. 利用高精度修正模型和國際GNSS服務(wù)(IGS)產(chǎn)品修正對流層干分量延遲、天線PCV和PCO等，并將對流層濕分量作為未知參數(shù)進(jìn)行估計. 將硬件碼延遲作為接收機鐘差的一部分，吸收到接收機鐘差內(nèi). 并將UPD作為模糊度的一部分，吸收到模糊度內(nèi).

因此，無電離層組合模型下的偽距載波相位函數(shù)表達(dá)式可以簡化為：

其中：G代表GPS，B代表BDS，L代表LEO星座.

因此，剩余的待估參數(shù)為接收機位置坐標(biāo)，吸收了誤差的接收機鐘差，對流層濕分量延遲以及吸收了誤差的模糊度參數(shù).

1.2 PPP處理策略

表1 為BDS/GPS/LEO PPP處理策略.

表1 BDS/GPS/LEO PPP處理策略

2 實驗數(shù)據(jù)仿真

2.1 BDS、GPS、LEO星座構(gòu)型仿真

本文星座構(gòu)型和衛(wèi)星軌道位置均利用STK航空商業(yè)仿真軟件進(jìn)行設(shè)計以及仿真. STK仿真時間環(huán)境配置為2021-05-01T00:00:00—2021-01-02T00:00:00.場景仿真時長為1天. BDS、GPS和LEO星座構(gòu)型仿真參數(shù)如表2所示.

表2 仿真星座構(gòu)型參數(shù)

2.2 LEO地面接收數(shù)據(jù)仿真

LEO地面接受數(shù)據(jù)仿真是在計算衛(wèi)星接收機真實距離后增添各項誤差和觀測噪聲所得[14].

首先，設(shè)定LEO星座系統(tǒng)信號載頻為B1、B2頻率. 利用STK軟件以30 s的采樣間隔輸出衛(wèi)星在ECEF坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)以及三維速度矢量，進(jìn)行衛(wèi)星位置與衛(wèi)星運行速度仿真. 然后獲取IGS和iGMAS提供的仿真當(dāng)日GPS與北斗三號(BDS-3)精密鐘差產(chǎn)品. 并將其等效成LEO精密鐘差產(chǎn)品，進(jìn)行衛(wèi)星精密鐘差仿真. 并運用迭代法計算衛(wèi)星發(fā)射時刻位置，再利用行星列表計算仿真固體潮誤差數(shù)值；利用BLQ文件仿真得到海潮誤差；利用地球自轉(zhuǎn)參數(shù)ERP文件計算極潮. 然后運用ATX產(chǎn)品仿真得到衛(wèi)星端與接收機天線端PCV與PCO[15]. 考慮相對論效應(yīng)，根據(jù)式(3)計算得到基于GIM模型計算電子濃度總含量(TEC)，并根據(jù)高度選取合適的比例系數(shù)來計算電離層延遲[16]. 再采用Hopfiled模型進(jìn)行干分量延遲建模仿真，將實測國際GNSS服務(wù)(IGS)數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP解算，求得對流層濕延遲分量，將解算結(jié)果等效到本實驗仿真[17]. 利用實測IGS數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP解算求得接收機鐘差仿真. 且為保證仿真的真實性，同樣采用實測數(shù)據(jù)仿真法，利用真實IGS數(shù)據(jù)進(jìn)行PPP解算，得到真實路徑高度角與之對應(yīng)的殘差值. 再計算仿真路徑高度角，選取仿真高度角與真實路徑高度角最相近的路徑進(jìn)行偽距與載波相位多路徑殘差仿真. 最后仿真出白噪聲形式的偽距載波量測噪聲，模糊度與偽距硬件延遲可進(jìn)行人為隨機設(shè)定. 通過觀測方程，計算得到地面接收數(shù)據(jù).

2.3 傅里葉級數(shù)擬合軌道誤差

由于簡化動力學(xué)需要引入額外的經(jīng)驗攝動力模型來吸收攝動力模型誤差和未模型化的誤差，且簡化動力學(xué)定軌法的經(jīng)驗加速度呈現(xiàn)準(zhǔn)周期正弦特性[10].因此衛(wèi)星軌道誤差同樣呈現(xiàn)準(zhǔn)周期正弦特性，

LEO軌道誤差函數(shù)模型可有傅里葉級數(shù)表示為

式中：e(t) 表 示LEO軌道誤差；n表示傅里葉級數(shù)的階數(shù)；c表示常數(shù)項；ai、bi分 別為傅里葉展開系數(shù)； ω 表示基頻；t表示時間.

不同時空環(huán)境條件下動力學(xué)模型和不同外部星歷產(chǎn)品改正后定軌誤差基本不會相同，因此對擬合弧段內(nèi)的軌道誤差的變化規(guī)律，只需要從趨勢上進(jìn)行擬合，無需在其幅度上進(jìn)行擬合.

在仿真過程中，首先設(shè)定LEO軌道誤差均方根(RMS)為R0，選取傅里葉展開系數(shù)初值并計算LEO軌道誤差RMS為R，若滿足

則說明仿真誤差符合設(shè)定需求，否則逐漸增大傅里葉展開級數(shù)，不斷迭代計算得到R，直至達(dá)到上述條件.

以RMS=0 cm、2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm的LEO軌道誤差為例，利用傅里葉級數(shù)擬合法進(jìn)行LEO軌道誤差擬合. 其徑向、法相、切向的誤差形式如圖1所示.

圖1 傅里葉級數(shù)擬合LEO軌道誤差圖

3 仿真實驗分析

本文定義LEO星座軌道數(shù)為N，每個衛(wèi)星軌道面的衛(wèi)星個數(shù)為M. 在表示LEO星座構(gòu)型時通過N×M來進(jìn)行表述.N×MLEO 星座表示為軌道數(shù)目為N，每個衛(wèi)星軌道面的衛(wèi)星個數(shù)為M的LEO星座.并定義靜態(tài)PPP收斂時間為定位結(jié)果東(E)、北(N)和天頂(U)方向的誤差均小于并在此之后始終小于5 cm時所需要的時間.

3.1 不同LEO軌道誤差下的BDS/GPS/LEO PPP定位精度

本小節(jié)中PPP仿真時長為1天，觀測值PPP解算時間間隔為30 s. PPP定位精度定義為最后500個歷元PPP解算出的定位誤差RMS. 以中緯度地區(qū)測站JFNG為例，通過設(shè)定LEO軌道誤差RMS=0 cm、2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm，仿真計算出在6×10LEO 星座下的BDS/GPS/LEO PPP精度.

由圖2可知，仿真時長在1天范圍內(nèi)，LEO軌道誤差RMS從0 cm逐漸增加到30 cm時，BDS/GPS/LEO PPP定位精度均能達(dá)到收斂條件，不會出現(xiàn)定位不收斂情況.

圖2 不同LEO軌道誤差下的JFNG測站PPP精度圖

采用相同處理方法，選取高中低緯度地區(qū)多個測站進(jìn)行蒙特卡羅仿真，計算高中低緯度測站的PPP平均定位誤差.

表3 和圖3表示高、中、低緯度測站在LEO軌道誤差RMS=0 cm、2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm下的BDS/GPS/LEO PPP定位精度. 可以發(fā)現(xiàn)，在LEO軌道誤差RMS相同的條件下，高、中、低緯度測站的PPP定位誤差基本一致，相差在1.5 cm以內(nèi)，造成偏差的主要原因為LEO軌道誤差的隨機性和蒙特卡羅仿真次數(shù)的有限性. 但LEO軌道誤差RMS增加到2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm時，定位誤差增加至0.26 cm、0.33 cm、0.65 cm、0.90 cm、1.92 cm、3.05 cm. 因此，PPP定位誤差與測站緯度無明顯關(guān)系，但隨著LEO軌道誤差的增加而逐漸增加.

表3 不同LEO軌道誤差下高中低緯度測站PPP精度 cm

圖3 不同LEO軌道誤差下高、中、低緯度地區(qū)PPP精度

為比較不同LEO星座構(gòu)型下的BDS/GPS/LEO PPP定位精度，同樣以中緯度地區(qū)測站JFNG為例，仿真計算出引入12×10 LEO 星座和18×10 LEO星座后，LEO軌道誤差RMS=0 cm、2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm時的BDS/GPS/LEO PPP定位精度.

表4 和圖4表示6×10、12×10、18×10 LEO星座下，LEO軌道誤差RMS=0 cm、2 cm、5 cm、10 cm、20 cm、30 cm時的BDS/GPS/LEO PPP定位精度. 可以發(fā)現(xiàn)在LEO軌道誤差RMS相同的條件下，不同的LEO星座構(gòu)型下的BDS/GPS/LEO PPP定位誤差基本一致，偏差在1.5 cm以內(nèi)，造成偏差的主要原因為LEO軌道誤差RMS的隨機性和蒙特卡羅仿真次數(shù)的有限性.

表4 不同下高中低緯度測站PPP精度 cm

圖4 不同LEO軌道誤差和星座構(gòu)型下的PPP精度

因此，在相同LEO軌道誤差下的BDS/GPS/LEO PPP定位誤差與測站緯度以及LEO星座構(gòu)型和LEO數(shù)目均關(guān)聯(lián)不大，且只隨著LEO軌道誤差的增加逐漸增大.

3.2 不同LEO軌道誤差下的BDS/GPS/LEO PPP收斂時間

為精確計算BDS/GPS PPP收斂時間和不同LEO軌道誤差下BDS/GPS/LEO PPP的收斂時間，本小節(jié)中PPP仿真間隔為1 h，觀測值PPP解算時間間隔為2 s.

以中緯度地區(qū)測站JFNG為例，通過設(shè)定LEO軌道誤差，仿真在6×10 LEO星座下的BDS/GPS/LEO PPP.

由圖5可知，當(dāng)引入LEO星座后，BDS/GPS/LEO PPP 收斂時間與BDS/GPS PPP收斂時間相比，有明顯的縮短. 但當(dāng)引入LEO軌道誤差RMS后，BDS/GPS/LEO PPP 收斂時間會隨著LEO軌道誤差的增加而逐漸增大，直到達(dá)到并超過BDS/GPS PPP收斂時間. 說明此時引入LEO星座并不能改善PPP收斂性能，反而因為LEO軌道誤差RMS的引入惡化了PPP的收斂性能.利用相同仿真方法，計算出高、中、低緯度測站在引入6×10、12×10、18×10 LEO后，不同LEO軌道誤差下不同緯度測站的BDS/GPS/LEO PPP收斂時間.由圖6可知，在相同LEO星座構(gòu)型下，高、中、低緯度測站PPP收斂時間均隨著LEO軌道誤差RMS的增加而逐漸增大. 在相同LEO軌道誤差RMS的條件下，隨著LEO星座衛(wèi)星數(shù)目的增加，高、中、低緯度測站PPP收斂時間逐漸減小. 由于LEO星座為極軌星座，其LEO可見衛(wèi)星數(shù)目隨著緯度的增加而增加. 因此引入LEO星座后，高緯度測站PPP收斂時間始終最小，中緯度測站次之，低緯度測站PPP收斂時間最長. 但隨著引入的LEO星座衛(wèi)星數(shù)目的逐漸增多，相同LEO軌道誤差RMS下，高、低、中緯度測站PPP收斂時間差距逐漸減小.

定義每增加1 cm的LEO軌道誤差RMS的條件下，PPP收斂時間平均增加數(shù)值為收斂時間變化率kLa,Sa. 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：La表示測站緯度；Sa表示LEO星座構(gòu)型；t表示收斂時間；m表示LEO軌道誤差. 其不同緯度不同星座構(gòu)型的kLa,Sa如表5所示：

表5 PPP收斂時間變化率 (s·cm-1)

由表5可知，高中低緯度測站下的kLa,Sa隨著LEO數(shù)目的增加而逐漸降低，說明LEO軌道誤差對PPP收斂時間影響作用隨著LEO數(shù)目的增加而逐漸降低. 即LEO數(shù)目越多，PPP收斂時間對LEO軌道誤差“容忍性”越好.

仿真計算出高、中、低緯度測站不引入LEO時BDS/LEO PPP收斂時間以便于與不同LEO軌道誤差下BDS/GPS/LEO PPP的收斂時間進(jìn)行比較，結(jié)果如表6所示.

表6 高中低緯度測站BDS/GPS PPP收斂時間 s

如圖7所示，在相同LEO軌道誤差下，隨著LEO星座衛(wèi)星數(shù)目的增加，低緯度測站PPP收斂時間縮短效果最為明顯，中緯度次之，高緯度測站PPP收斂時間縮短效果最差. 其主要原因為引入LEO星座后，高緯度測站PPP收斂時間極具縮短，在逐漸增加LEO數(shù)目后，PPP收斂性能提升效果已經(jīng)不太明顯. 引入6×10 LEO星座后，為了使高、中、低緯度測站BDS/GPS/LEO PPP收斂時間小于BDS/GPS PPP收斂時間，LEO軌道誤差應(yīng)小于9 cm、7 cm、5 cm；引入12×10 LEO星座后，為了使高、中、低緯度測站BDS/GPS/LEO PPP收斂時間小于BDS/GPS PPP收斂時間，LEO軌道誤差應(yīng)小于12 cm、11 cm、12 cm；引入18×10 LEO星座后，為了使高、中、低緯度測站BDS/GPS/LEO PPP收斂時間小于BDS/GPS PPP收斂時間，LEO軌道誤差應(yīng)小于12 cm、14 cm、17 cm.

因此，為保證全球區(qū)域BDS/GPS/PPP收斂時間均優(yōu)短于BDS/BDS PPP收斂時間，引入6×10、12×10、18×10 LEO星座后，LEO軌道誤差應(yīng)小于5 cm、11 cm、12 cm. 且由于高緯度地區(qū)收斂時間提升效果已經(jīng)達(dá)到極限，不會再隨著LEO數(shù)目的增加而明顯改善. 因此繼續(xù)增加LEO數(shù)目，LEO軌道誤差均應(yīng)小于12 cm以保證全球區(qū)域BDS/GPS/PPP收斂時間均短于BDS/BDS PPP收斂時間.

4 結(jié)束語

本文提出了一種傅里葉級數(shù)擬合LEO軌道誤差下的BDS/GPS/LEO PPP分析方法. 仿真分析了利用傅里葉級數(shù)擬合的LEO軌道誤差對BDS/GPS/LEO PPP定位精度和收斂時間的影響，得到了以下結(jié)論：

1) 在LEO軌道誤差相同的條件下，不同LEO星座構(gòu)型，不同緯度測站的BDS/GPS/LEO PPP定位誤差基本一致. 但BDS/GPS/LEO PPP定位誤差隨著LEO軌道誤差的增加而逐漸增大.

2) 在相同LEO星座構(gòu)型下，不同緯度測站PPP收斂時間均隨著LEO衛(wèi)星軌道誤差的增加而逐漸增大.

3) LEO軌道誤差對PPP收斂時間影響的變化率均隨著LEO數(shù)目的增加而逐漸減小，LEO軌道誤差對PPP收斂時間影響作用隨著LEO數(shù)目的增加而逐漸降低.

4) 為保證全球區(qū)域BDS/GPS/PPP收斂時間均短于BDS/GPS PPP收斂時間，引入6×10、12×10、18×10 LEO星座后，LEO軌道誤差RMS應(yīng)小于5 cm、11 cm、12cm. 且由于高緯度地區(qū)收斂時間提升效果已經(jīng)基本達(dá)到極限，不會再隨著LEO數(shù)目的增加而明顯改善. 因此繼續(xù)增加LEO數(shù)目，其LEO軌道誤差均應(yīng)小于12 cm，以保證全球區(qū)域BDS/GPS/PPP收斂時間均短于BDS/BDS PPP收斂時間.