動(dòng)量表象中自由演化的一維高斯波包的相干性*

馬嘉輝，曾天海**，范樂樂

（1.北京理工大學(xué)物理學(xué)院，北京 100081；2.西北大學(xué)物理學(xué)院，陜西 西安 710127）

0 引 言

量子力學(xué)誕生以前，物理學(xué)家認(rèn)為粒子和波是2種不同的事物，二者是不能聯(lián)系在一起的.直到1923 年，de Broglie［1］提出實(shí)物粒子也具有波動(dòng)性這一觀點(diǎn)，使人們認(rèn)識(shí)到粒子類似于光子，也具有波粒二象性.1927年，粒子的波動(dòng)性被電子在晶體表面的衍射實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證［2］.隨后，電子束的單縫衍射和雙縫干涉等實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了電子束具有波動(dòng)性［3-4］.近年來的實(shí)驗(yàn)證實(shí)單電子和單原子具有波動(dòng)性［5］，也是波粒二象性的有力證據(jù).在量子力學(xué)中，粒子的一種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用高斯波包來描述［6-11］.高斯波包所描述的系統(tǒng)，其波函數(shù)呈高斯型分布，在運(yùn)動(dòng)時(shí)能表現(xiàn)出和粒子一樣的特性［7］.高斯波包雖然是一個(gè)比較簡單的模型，但是作為一個(gè)經(jīng)典的研究對(duì)象，與粒子有著許多共性.

粒子波動(dòng)性的重要特征是相干性，是粒子量子態(tài)的疊加與量子干涉現(xiàn)象之間的橋梁.直到十幾年前，相干性一直用于定性的討論.近年來，相干性的大?。ㄏ喔啥龋┮延辛藥追N度量的定義，可以定量計(jì)算一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的相干度.相干度與選取的表象有關(guān)，不同表象下相干度的大小不同.如在能量表象中，處于能量本征態(tài)的運(yùn)動(dòng)粒子，沒有相干性；而在坐標(biāo)表象中，粒子總是處于不同坐標(biāo)本征態(tài)的疊加態(tài)，就總是有相干性.如在坐標(biāo)表象中計(jì)算一維類氫原子中電子狀態(tài)的相干度［12］和雙諧振子之一的相干度［13］.可以說，在坐標(biāo)表象中的相干性是平凡的，因?yàn)槿我饬Ｗ拥淖鴺?biāo)都是連續(xù)變量，不同坐標(biāo)本征態(tài)難以在實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)相干性.本文用另一種連續(xù)變量——?jiǎng)恿?，在其表象中?jì)算一維自由演化的高斯波包的相干度.由坐標(biāo)表象中的波函數(shù)出發(fā)，用傅里葉變換將其變換到動(dòng)量表象中，根據(jù)動(dòng)量表象中的波函數(shù)得出密度矩陣.使用4種不同的定義，分別計(jì)算一維高斯波包自由演化時(shí)，其相干度的變化情況.

1 自由演化的一維高斯波包

設(shè)一維自由運(yùn)動(dòng)高斯波包初始時(shí)刻的歸一化波函數(shù)為［14］

式中：σ為波峰的寬度.

對(duì)式（1）作傅里葉變換，得到動(dòng)量表象中的波函數(shù)為

積分得到

則包含時(shí)間演化因子的波函數(shù)為

式中：參數(shù)λ和c分別為

對(duì)式（5）進(jìn)行歸一化，其歸一化常數(shù)（A）滿足

那么，歸一化波函數(shù)為

密度矩陣元表示為

2 相干度計(jì)算

各種相干度的定義大同小異.如果對(duì)應(yīng)一種定義，能夠做出一種測(cè)量裝置，則可以類比測(cè)量溫度的各種溫度計(jì)，如水銀溫度計(jì)和紅外溫度計(jì)等.度量一個(gè)量子體系的量子相干性的大小，需要根據(jù)具體的物理問題選定表象或一組固定的基{}i，這組基通常稱作非相干基.在非相干基下，所有的對(duì)角態(tài)稱為非相干態(tài)，其相干度都為 0［15］，即

其意義是態(tài)ρ與集合I中最近的一個(gè)非相干態(tài)的距離，這個(gè)距離越大相干度也越大；另一類是與最大相干態(tài)距離越近的態(tài)，其相干度越大.各種定義中的距離函數(shù)也有所不同.

2.1 l1-范數(shù)相干度

系統(tǒng)所有非相干量子態(tài)組成的集合記為I，由l1-范數(shù)定義的相干度是指系統(tǒng)密度矩陣ρ與系統(tǒng)的每個(gè)非相干量子態(tài)?( )?∈I的差（距離）的l1-范數(shù)的最小值［16］，更直觀的計(jì)算方法是對(duì)密度矩陣的所有非對(duì)角元的模求和［17］，其表達(dá)式為

通過計(jì)算體系的l1-范數(shù)相干度，可以得到系統(tǒng)所處狀態(tài)的相干程度.

由式(9)可以得到密度矩陣元素的模為

因動(dòng)量是連續(xù)變量，系統(tǒng)的l1-范數(shù)定義中的求和變?yōu)榉e分

2.2 量子相對(duì)熵相干度

量子相對(duì)熵定義的相干度為，所有的非相干態(tài)相對(duì)于體系所處態(tài)的相對(duì)熵（距離）的最小值［16］，量子相對(duì)熵最優(yōu)化后的解析形式為

式中：I為系統(tǒng)所有非相干量子態(tài)組成的集合，ρd的對(duì)角元與ρ中的取值相同，其他所有非對(duì)角元取值都為 0［18］，則

由于一維高斯波包態(tài)為純態(tài)，即有von Neumann熵S()ρ=0［19］，那么量子相對(duì)熵為

2.3 方差和標(biāo)準(zhǔn)差相干度

式中：d為體系的維數(shù)，Xρ為密度矩陣的對(duì)角元素的集合，D()·表示求方差，σ()·表示求標(biāo)準(zhǔn)差.

系統(tǒng)在動(dòng)量表象下維數(shù)為無窮大，因而采取分立取值計(jì)算.隨著動(dòng)量絕對(duì)值的增加，其本征波函數(shù)的概率以指數(shù)趨于0.這部分對(duì)方差的貢獻(xiàn)不大，故只留下概率在最大概率的萬分之一到最大概率之間的數(shù)據(jù)，這樣就可以確定動(dòng)量的范圍.再根據(jù)選取的散點(diǎn)數(shù)量（n），為方便計(jì)算，此處的n為動(dòng)量為正的散點(diǎn)數(shù)，相應(yīng)動(dòng)量為負(fù)的點(diǎn)以及零點(diǎn)也會(huì)考慮進(jìn)維數(shù)里，確定步長和維數(shù)（d），d=2n+1.對(duì)上述得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化操作后，得到的方差相干度和標(biāo)準(zhǔn)差相干度如表1所示.由表可知，取的散點(diǎn)數(shù)量越多，即考慮的維數(shù)越多，相干度越大，而或的比值越接近于1.這2種相干度改為或來定義更合理.

表1 不同散點(diǎn)數(shù)量下的相干度計(jì)算結(jié)果

3 討 論

本文利用4種度量方法計(jì)算了一維高斯波包的相干度，結(jié)果表明動(dòng)量表象中，一維高斯波包的相干度不隨時(shí)間變化，其原因分別為：（1）計(jì)算系統(tǒng)的l1-范數(shù)時(shí)，參與積分運(yùn)算的是密度矩陣的非對(duì)角元的模.而對(duì)自由演化的一維高斯波包，在動(dòng)量表象下，其與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)都分布在非對(duì)角元素中指數(shù)的虛數(shù)部分，非對(duì)角元取模后與時(shí)間無關(guān).所以，基于l1-范數(shù)的相干度與時(shí)間無關(guān).（2）計(jì)算系統(tǒng)的量子相對(duì)熵時(shí)，其第1項(xiàng)只有密度矩陣的對(duì)角元參與了運(yùn)算，而密度矩陣的對(duì)角元不含時(shí)間參量，又由于這個(gè)密度矩陣所表征的是一個(gè)純態(tài)的系統(tǒng)，所以第2項(xiàng)von Neumann熵為0.因此，基于量子相對(duì)熵的相干度與時(shí)間無關(guān).（3）計(jì)算系統(tǒng)的方差相干度和標(biāo)準(zhǔn)差相干度時(shí)，由于對(duì)角元不含時(shí)，則其方差和標(biāo)準(zhǔn)差也與時(shí)間無關(guān).因此，得到的系統(tǒng)的方差相干度和標(biāo)準(zhǔn)差相干度也與時(shí)間無關(guān).

4 結(jié) 論

通過比較4種相干度的計(jì)算方法，對(duì)于連續(xù)變量而言，l1-范數(shù)和量子相對(duì)熵這2種相干度計(jì)算更為簡便.但最大相干度結(jié)果的數(shù)值因量子系統(tǒng)而異，而方差和標(biāo)準(zhǔn)差這2種定義改成或后，可以得到類似于概率最大為1的結(jié)果.因此，這4種定義各有優(yōu)缺點(diǎn).雖然在坐標(biāo)表象中，自由演化的一維高斯波包會(huì)隨時(shí)間擴(kuò)散至全空間，但在動(dòng)量表象中各個(gè)本征態(tài)的概率幅不隨時(shí)間發(fā)生變化.計(jì)算結(jié)果表明，整個(gè)波包的相干度不隨時(shí)間變化.說明這些關(guān)于相干度的定義雖然可以描述整體波包的相干性，但不能描述細(xì)節(jié)的變化，還應(yīng)該給出描述細(xì)節(jié)變化的相干度定義.如單縫、雙縫或多縫的衍射和干涉，是子波的干涉.因此，若定義疊加態(tài)中的若干子態(tài)之間的相干度，有可能更好地描述量子態(tài)相干度的細(xì)節(jié)變化.