新的廣義Ostrowski型不等式的加強*

時統(tǒng)業(yè)，曾志紅

（1.海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 211800；2.廣東第二師范學(xué)院學(xué)報編輯部，廣東 廣州 510303）

0 引 言

1938 年，Ostrowski［1］證明了著名的不等式

Ostrowski不等式理論在近似理論、概率論和數(shù)值積分中有著廣泛應(yīng)用 .自 1975 年 Milovanovi?［2］給出式（1）的推廣以后的幾十年來，學(xué)者們建立了涉及各種類型積分、各種類型的凸函數(shù)、各種空間、高階導(dǎo)數(shù)、權(quán)函數(shù)和帶有擾動的Ostrowski型不等式，有關(guān)Ostrowski不等式的改進和推廣見文獻［2-11］.

2002年，通過建立帶有Peano型核的Montgomery 型積分恒等式（下面的引理 1），Cerone［12］建立了一類新的Ostrowski型不等式，與其他文獻不同的是，給出了f(x)與覆蓋區(qū)間[a，b]的區(qū)間[a，x]，[x，b]上的函數(shù)平均值的加權(quán)算術(shù)平均的偏離的界.

引理 1［12］設(shè)f：[a，b]→ R 是絕對連續(xù)函數(shù)，則對任意的和任意x∈ (a，b)有

定理 1［12］設(shè)是絕對連續(xù)函數(shù)，且則對任意的和任意x∈ (a，b)有

Qayyum等［13］通過建立帶有Peano型核并帶有參數(shù)的涉及一階導(dǎo)數(shù)的Montgomery型積分恒等式，給出式（2）的推廣；Qayyum等［14］通過建立帶有加權(quán)Peano型核的涉及一階導(dǎo)數(shù)的Montgomery型積分恒等式，給出式（2）的加權(quán)推廣；Qayyum 等［15］通過建立涉及二階導(dǎo)數(shù)的積分恒等式（下面的引理2），在二階導(dǎo)函數(shù)有界的情況下，得到式（2）的帶有擾動的推廣.

引 理 2［15］設(shè)二 階 可 微 ，且f″在[a，b]上 可 積 ，則 對 任 意 的λ∈[0，1]和 任 意x∈ (a，b)有

定理 2［15］設(shè)二階可微，且則 對 任 意 的和 任 意x∈ (a，b)有

Qayyum等［16］又把式（2）和（3）推廣到n階可微函數(shù)；Alshanti［17］通過建立新的帶有加權(quán) Peano 型核的積分恒等式，在二階導(dǎo)函數(shù)有界的情況下又對式（3）作 了 加 權(quán) 推 廣 ；Qayyum 等［18］通 過 建 立 帶 有Peano型核并帶有參數(shù)的涉及二階導(dǎo)數(shù)的Montgomery型積分恒等式，給出式（3）的推廣；Qayyum等［19］又把這個結(jié)果推廣到n階可微函數(shù)；Jiang等［20］還將式（2）推廣到時間尺度上.

本文將借助引理1和2中的積分恒等式，仿照Cheng 和 Sun［21］有關(guān)引入?yún)?shù)求最值的方法，在式（2）和（3）的右邊都減去了一個非負項，給出式（2）和（3）的加強.為方便起見，引入記號

1 主要結(jié)果

因為f是絕對連續(xù)函數(shù)，且∞，所以也是絕對連續(xù)函數(shù)，且應(yīng)用已證結(jié)論，則式（4）的左邊不等式得證.

推論1設(shè)條件同定理3，則對任意的和任意的x∈(a，b)有

推論2設(shè)條件同定理3，則對任意的x∈(a，b)有

從而有Ostrowski不等式的加強：

其中

推論4 設(shè)條件同定理4，則對任意的x∈(a，b)有

式（10）是式（3）的加強.

接下來的證明類似于定理4，故略去.

推論6設(shè)條件同定理5，則有式（9）成立.

推論 7設(shè)f：[a，b]→R可微，且f′滿足M-Lipschitz條件，即存在常數(shù)M，使得對于任意t，s∈ [a，b]有則有

其中

因為當(dāng)m≤f″(t)≤M時，有對應(yīng)用已證結(jié)論，則式（11）的左邊不等式得證.

式（14）是式（3）的加強.

接下來的證明類似于定理6，故略去.

推論 11 設(shè)f：[a，b]→ R 可微，且f′滿足M-Lipschitz條件，即存在常數(shù)M，使得對于任意t，s∈[a，b]有則對任意的和 任意的x∈ (a，b)有

2 結(jié)束語

本文加強了已有的利用一階導(dǎo)數(shù)對函數(shù)值與覆蓋整個區(qū)間的2個區(qū)間上函數(shù)平均值組合之差的估計結(jié)果，分別在二階導(dǎo)數(shù)有界和一階導(dǎo)數(shù)滿足Lipschitz條件的情況下，給出已有擾動的結(jié)果的加強.用引入?yún)?shù)求最值的方法，還可以繼續(xù)做對應(yīng)于經(jīng)典Ostrowski不等式的推廣研究，將式（2）和式（3）推廣到各種類型的積分，以及各種類型凸函數(shù)和各種空間等.