Hardy空間上的復(fù)對稱C0-半群*

呂新瑩

（天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，天津 300354）

0 引 言

令ψ是D上的全純函數(shù)，?是D上的解析自映射，對于?f∈H2(D)，z∈D，ψ，?誘導(dǎo)出H2(D)上的一個線性加權(quán)復(fù)合算子Wψ，?，定義如下

當(dāng)ψ≡1時(shí)，加權(quán)復(fù)合算子Wψ，?便是復(fù)合算子C?.

本文主要研究Hardy空間上的復(fù)對稱C0-半群，先給出一些基本定義和概念.

（1）T(0)=I，其中I為X上的恒等算子；

下面定理是本文的核心結(jié)論.對于H2(D)上C1-對稱的強(qiáng)連續(xù)加權(quán)復(fù)合算子半群，不妨假設(shè)?t(z)為非常值分式線性映射，若?t(z)恒為常數(shù)，結(jié)論顯然.

（1）?0(z)=z，對于?z∈D；

注為了方便討論，先列舉域Ω?C內(nèi)的解析自映射半群的2個性質(zhì)，會在下文一直使用：（1）對于所有t≥ 0，映射z??t(z)是單射；（2）對于所有z∈Ω，映射是解析的 .關(guān)于更多解析自映射半群性質(zhì)的介紹見文獻(xiàn)［1］.

定義0.3設(shè)為半群，若存在是D上的一族全純函數(shù)，且滿足，使得

患者仰臥位平躺于體架上，雙手交叉于頭頂，熱塑體膜于恒溫水箱軟化，覆蓋在患者體表固定體位，待20 min左右檢查塑形狀況，確認(rèn)塑形好后取下[5]。

定義0.4設(shè)H是一個可分的Hilbert空間，C是H到自身的映射.若C滿足：

（2）C2=I；

則稱C是H上的一個共軛.設(shè)T為H上的有界線性算子，若存在H上的一個共軛C使得T=CT*C，則稱T是復(fù)對稱算子.

定義0.5[2]設(shè)為H上的C0-半群，若存在一個與t無關(guān)的共軛C使得則稱是C-對稱的C0-半群 .

下面給出分式線性映射的定義和分類.

分式線性映射是形如

對研究對象臨床上的影像學(xué)特點(diǎn)進(jìn)行回顧與分析，跟臨床的檢測結(jié)果進(jìn)行對比。對兩組研究對象之間確診的概率進(jìn)行對比。

的映射.若存在z0∈D，有則稱z0是?(z)的不動點(diǎn).若?(z)在D內(nèi)沒有不動點(diǎn)，則存在τ∈?D滿足，且其中τ稱為?的 Denjoy-Wolff點(diǎn)，d?τ為映射?在點(diǎn)τ處的微分，也稱為切映射，是?的邊界伸縮系數(shù).

根據(jù)其不動點(diǎn)的位置與個數(shù)可知D上的分式線性映射半群分為以下 3 種類型[1]：

又因?yàn)棣痢?D，因此則 有k=且k滿足

（2）如果?1在D內(nèi)沒有不動點(diǎn)，τ∈ ?D是?1的Denjoy-Wolff點(diǎn)，若?1是雙曲型的分式線性映射，那么就叫做一個雙曲型分式線性映射半群；

（3）甲房地產(chǎn)企業(yè)為一般納稅人，對開發(fā)項(xiàng)目采取一般計(jì)稅方法計(jì)稅。為開發(fā)某項(xiàng)目，該公司取得一塊面積為15萬平方米的土地，支付土地出讓金3 000萬元（取得財(cái)政部門收據(jù)），該項(xiàng)目總面積39萬平方米。項(xiàng)目完工后，公司將部分房產(chǎn)對外銷售，取得含增值稅收入10 000萬元，對應(yīng)建筑面積10 000平方米，房屋已經(jīng)交付業(yè)主并開具增值稅發(fā)票。

（3）如果?1在D內(nèi)沒有不動點(diǎn)，τ∈ ?D是?1的Denjoy-Wolff點(diǎn)，若?1是拋物型的分式線性映射，那么就叫做一個拋物型分式線性映射半群.

關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子半群的復(fù)對稱性的研究歷史并不是很長，最早是Hai和Khoi[2]提出了復(fù)對稱C0-半群的概念，并進(jìn)一步刻畫了Fock空間中加權(quán)復(fù)合算子的復(fù)對稱C0-半群；Wang和Han[3]研究了右半平面上Bergman空間中的加權(quán)復(fù)合算子的復(fù)對稱C0-半群.迄今為止，對加權(quán)復(fù)合算子的復(fù)對稱C0-半群的研究結(jié)果并不多，甚至連經(jīng)典的H2(D)上關(guān)于加權(quán)復(fù)合算子的復(fù)對稱C0-半群還沒有給出刻畫.

證明 當(dāng)?t(z)有內(nèi)部不動點(diǎn)a≠0時(shí)，令ζt=?a??t??a，于是有ξt(0)=0，其中從而

本文根據(jù)單位球上分式線性映射半群的不動點(diǎn)的位置及個數(shù)對分式線性映射半群進(jìn)行分類的結(jié)果［1，7-8］，結(jié)合定義 0.1 給出H2(D)上加權(quán)復(fù)合算子關(guān)于C1-對稱時(shí)的形式，完整地刻畫了H2(D)上C1-對稱的強(qiáng)連續(xù)加權(quán)復(fù)合算子半群的具體形式.

下面定理給出H2(D)上加權(quán)復(fù)合算子關(guān)于C1-對稱時(shí)的具體形式.

定理0.1[6]令ψ是D上的全純函數(shù)，?是D上的解析自映射，使得加權(quán)復(fù)合算子Wψ，?滿足Wψ，?：是由u，ν誘導(dǎo)的共軛算子，其中則Wψ，?是C1-對稱的當(dāng)且僅當(dāng)其中，C0，C1∈D，d∈ C.

結(jié)合定義0.1以及強(qiáng)連續(xù)加權(quán)復(fù)合算子半群的定義0.3，易得如下結(jié)論.

本文利用墨爾本大學(xué)Rajkumar Buyya教授開發(fā)的Cloudsim-3.0.3云計(jì)算仿真平臺[8]，測試本文提出的云計(jì)算資源調(diào)度方法的有效性.實(shí)驗(yàn)中考慮了資源的處理速度和待處理任務(wù)的長度，以不同規(guī)模的資源請求環(huán)境下任務(wù)的完成時(shí)間作為評價(jià)指標(biāo).具體參數(shù)設(shè)置為:種群規(guī)模為30，計(jì)算資源數(shù)量為10，學(xué)習(xí)因子c1、c2均為1.2，權(quán)重值wmax和wmin分別設(shè)定為0.9和0.4．

引理 0.1設(shè)C1：=Au，ν是由u，ν誘導(dǎo)的共軛算子 ，這 里若是H2(D)空間上C-對稱的強(qiáng)連續(xù)加權(quán)復(fù)合算子半群，定義為則分 別 滿 足 如 下 形 式 ：是D上的一個半群，滿足0，這里C0t∈D，C1t∈D，dt∈C.

相似度比較計(jì)算是信息分類及判別的關(guān)鍵技術(shù)。由于自然語句是由字、詞語及關(guān)鍵字等組成，相似度的比較計(jì)算可以分為詞語相似度、語義相似度、句子相似度、句長相似度等多個特征方面。其中，詞語相似度是指兩個或幾個詞語所表達(dá)的內(nèi)涵相同或相近，可以互相替換使用而不改變整個語句的文義的程度，常用的詞語相似度算法有基于統(tǒng)計(jì)和基于規(guī)則的兩種方法；句子相似度主要由基于語法的分析和基于詞匯相似度矩陣的分析方法。通過多個特征相似度的分析計(jì)算，對語句及其含義進(jìn)行綜合對比研究，從而達(dá)到自動評閱的目的。

1 主要結(jié)論及證明

（2）T(t+s)=T(t)T(s)，?t，s≥ 0；

定理 1.1設(shè)C1：=Au，ν是由u，ν誘導(dǎo)的共軛算子 ，這 里是H2(D)→H2(D)的強(qiáng)連續(xù)加權(quán)復(fù)合算子半群，則是C1-對稱的當(dāng)且僅當(dāng)以下任一條件成立：

注對比于引理0.1，當(dāng)?t(z)的內(nèi)部不動點(diǎn)a=0時(shí)，對于滿足條件（1），是C1-對稱的；當(dāng)?(z)的內(nèi)部不動點(diǎn)a≠0且a∈D時(shí)，對于?β∈?D，只有當(dāng)時(shí)滿足條件（1）是C1-對稱的；當(dāng)?t(z)無內(nèi)部不動點(diǎn)時(shí)，對于?β∈ ?D，只 有 當(dāng)或時(shí)，滿足條件（2）或（3）是C1-對稱的.

接下來，根據(jù)D上分式線性映射半群的類型，分3種情況來證明定理1.1的充分性.

引理1.1若?t(z)與ψt(z)滿足引理0.1的條件，且(?t)是以a為不動點(diǎn)的橢圓型分式線性映射半群，則有

對于Hilbert空間上加權(quán)復(fù)合算子的復(fù)對稱性的研究，目前已經(jīng)有了比較完整的結(jié)論.最早是Jung等[4]給出了Hardy空間上關(guān)于特殊共軛Jf(z)=復(fù)對稱的加權(quán)復(fù)合算子的具體形式；Hai和Khoi[5]給出了Fock空間上關(guān)于更一般的共軛復(fù)對稱的加權(quán)復(fù)合算子的具體形式；Lim和Khoi[6]研究了Hardy空間上關(guān)于一般共軛復(fù)對稱的加權(quán)復(fù)合算子，并將其分為了C1-對稱和C2-對稱2類，關(guān)于C1-對稱的結(jié)果見定理0.1.

安：只要你對音樂足夠敏感，就不難發(fā)現(xiàn)，格里格的音樂也好，其他杰出作曲家的音樂也罷，都是具有普世性的。如果按照所謂“文化差異”的觀點(diǎn)，那么郎朗怎么可能演奏好來自巴西的桑巴舞曲呢？但其實(shí)郎朗很擅長彈奏桑巴！當(dāng)然還有西班牙音樂，以及其他民族、文化的音樂。又比如，吉列爾斯與霍洛維茲又是如何彈奏好斯卡拉蒂和克列門蒂的作品呢？他們雖來自俄羅斯，但卻把意大利的作品彈奏得如此精彩！德彪西又是如何在沒去過亞洲與西班牙的情況下寫出《版畫集》的呢？因此，杰出的音樂和藝術(shù)家總是具有相似的普世性。

鎖相放大器是微弱信號檢測領(lǐng)域中是一種基于相關(guān)檢測理論的對交變信號進(jìn)行相敏檢波的放大器,能對檢測信號和參考信號進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算,有效地抑制噪聲,實(shí)現(xiàn)對信號的檢測和跟蹤[7-8]?；驹砣鐖D2所示,主要由被測信號模塊,參考信號模塊,相敏檢測和低通濾波器等幾部分組成[1]。

對于Bt+s=BtAs+Bs，兩邊關(guān)于s求微分，并令s=0得

根據(jù)B0=0 可解得則有

此時(shí)

整理得

令z=0，有經(jīng)計(jì)算易得

此時(shí)

（1）如果?1在D內(nèi)有唯一的不動點(diǎn)，那么就叫做一個橢圓型分式線性映射半群；

現(xiàn)在問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算dt的形式，記根據(jù)令z=a可得即當(dāng)f恒為常數(shù)，z為 0 時(shí)，由{Tt}的強(qiáng)連續(xù)性可知dt是連續(xù)的，從而ht連續(xù).

事實(shí)上，對于連續(xù)函數(shù)f，若f(m)f(n)=lf(m+n)，則當(dāng)m為整數(shù)時(shí)，有當(dāng)m為有理數(shù)時(shí)，有當(dāng)m為無理數(shù)時(shí)，由連續(xù)性有所以，對于 ?m，n≥ 0，f(m)=因此

Hr=[Re(Hc),-Im(Hc);Im(Hc),Re(Hc)]，Hr為實(shí)數(shù)域模型中的信道傳輸矩陣，Hc為復(fù)數(shù)域模型中的信道傳輸矩陣；Xl,s為2Nt× 1的矩陣Xl,s=[Re(xl,s);Im(xl,s)]，Xl,s中只有兩個非零元素；噪聲N為2Nr× 1的矩陣，N=[Re(n);Im(n)].其中Re()和Im()分別表示取得?的實(shí)部和虛部.本文后面的H均表示實(shí)數(shù)域模型中的信道矩陣.

比如美國。2015年9月5日舉行了第15屆國家閱讀節(jié)，主題是“我的生活里不能沒有書”，國會圖書館邀請175位作家、詩人與讀者共襄盛舉。除了閱讀節(jié)，美國還把兒童文學(xué)作家蘇斯（Dr.Seuss）的生日3月2日定為全美誦讀日，每年都有數(shù)千萬人參與閱讀與朗誦的活動。

特 別 地，當(dāng)a=0時(shí)，有則 存 在λ，Reλ≤ 0 使得此時(shí)eλt，α∈ ?D且ψt(z)=dt，又 由得，dt+s=dtds，由上述證明過程可知ψt(z)=d1t；當(dāng)a=0 時(shí)，k=0.綜合以上 2 種情況令d=d1即證.

引理1.2若?t(z)與ψt(z)滿足引理0.1的條件，且是雙曲型分式線性映射半群，設(shè)a為其Denjoy-Wolff點(diǎn)，則有

為了保障航運(yùn)業(yè)的需求，中國煉油企業(yè)應(yīng)改變被動觀望態(tài)度，積極主動地做好低硫燃油的生產(chǎn)工作安排。在經(jīng)濟(jì)性測算的基礎(chǔ)上，根據(jù)自身裝置情況，強(qiáng)化技術(shù)研發(fā)，提前與燃油供應(yīng)商、航運(yùn)公司綁定供應(yīng)需求。

證明設(shè)且?(1)=1，則a+b=c+d.此時(shí)，令?0=σ???σ-1，其中為凱萊變換，H為右半平面，易得

分式上下同時(shí)除以c+d有記有此 時(shí) 令G：H→H，此時(shí)?1：H→H，且有

結(jié)構(gòu)的維持對于功能的發(fā)揮至關(guān)重要，在周圍神經(jīng)再生的進(jìn)程中，首先最重要的就是軸突再生通道以及微環(huán)境的建立。3D打印技術(shù)已在血管［32］、骨修復(fù)材料［33］和軟骨修復(fù)材料［34］等多個領(lǐng)域取得了成功，目前劉小林團(tuán)隊(duì)［35］運(yùn)用豬去細(xì)胞神經(jīng)細(xì)胞外基質(zhì)成分制作水凝膠來修復(fù)大鼠坐骨神經(jīng)缺損，取得了與去細(xì)胞神經(jīng)移植物非常接近的實(shí)驗(yàn)效果，其研究成果極大的促進(jìn)了3D打印神經(jīng)修復(fù)材料的進(jìn)步。若3D打印的周圍神經(jīng)可以克服目前管腔中空神經(jīng)導(dǎo)管的不足，在精細(xì)結(jié)構(gòu)和成分上與正常神經(jīng)更為接近，必將推動周圍損傷修復(fù)材料的進(jìn)一步發(fā)展。

記qi=npi/p,ni-=[qi](下取整)，ni+=ni-+1，bi=qi-ni-.將剩余資源優(yōu)先分給尾數(shù)bi最大的部門的分配方法稱為哈密頓法(Hamilton法)[2].

注意到Reht≥0，則有Rec≥0.

經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)影響和決定著社會的物質(zhì)生活、精神生活等各個方面，而且它又反過來必須以社會生產(chǎn)力的發(fā)展為前提。早期的以畜牧業(yè)為主的青海衛(wèi)拉特蒙古社會，飲食內(nèi)容和方式上也同樣體現(xiàn)了其社會生產(chǎn)特征，飲食種類也比較樸實(shí)、單一和粗放。

對于更一般的情形a∈ ?D，存在以1為不動點(diǎn)，即

且通過簡單計(jì)算可得?t(z)有2個不相等的不動點(diǎn)

與引理1.1的證明類似，令z=0得C0t=進(jìn)一步可得又 因 為α∈ ?D，因 此Rec=0.此時(shí)?t(z)有2個不相等的邊界不動點(diǎn).將α和C0t代入ψt(z)可得

現(xiàn)在計(jì)算dt的形式，為方便起見，記根 據(jù)當(dāng)z=a時(shí)，有，同引理1.1可得將dt代入ψt(z)，令則有

綜上，引理1.2得證.

引理1.3若?t(z)與ψt(z)滿足引理0.1的條件，且(?t)是拋物型分式線性映射半群，設(shè)a為其Denjoy-Wolff點(diǎn)，則有

證明若?t(z)為拋物型分式線性映射半群，由文獻(xiàn)［1］的定理1.5或6.1可知

當(dāng)a=1時(shí)，對引理1.2證明過程中的G，σ，此 時(shí)其 中Reht≥ 0，根據(jù)的半群性質(zhì)可得從 而此 時(shí) ，

對于一般情況，即以?a∈?D為Denjoy-Wolff點(diǎn)的拋物型分式線性映射半群，令則有ζt(1)=1，同引理1.2此時(shí)有

將α和C0t代入ψt(z)則有dt求法同上，有此時(shí)，令整 理 得

綜上，定理1.1充分性得證.下證必要性.