圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿的設(shè)計

鞏建輝，王晨豐，吳承啟

（商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西商洛 726000）

0 引言

變幅桿又稱為聚能器，是超聲換能器裝置中的一個重要部件，其主要功能是振幅放大和阻抗匹配。在超聲加工系統(tǒng)中，為了提高加工效率，要求換能器的前端輸出較高的振動速度或位移振幅。但是對于一般的換能器振子，無論采用壓電式振子還是磁致伸縮振子，它們端面產(chǎn)生的振動速度或位移振幅較小，不能夠滿足實際加工的要求，這就需要在換能器振子的端面上安裝變幅桿來提高位移振幅。針對不同的加工對象，對變幅桿的性能要求越來越高，為此對變幅桿的設(shè)計研究一直是廣大學(xué)者關(guān)注的熱點，從單一形狀變幅桿到復(fù)合變幅桿，從單級變幅桿到多級變幅桿，不斷地對變幅桿性能進(jìn)行優(yōu)化，以獲得較高放大倍數(shù)和形狀因數(shù)的變幅桿為最終目標(biāo)。靳濤等[1]將圓柱和圓錐桿進(jìn)行組合，對圓柱圓錐復(fù)合變幅桿進(jìn)行了研究；封志斌等[2]研究了懸鏈線過渡的復(fù)合形變幅桿；孫濤等[3]設(shè)計了正弦圓柱形復(fù)合變幅桿，該變幅桿的放大倍數(shù)和形狀因數(shù)皆優(yōu)于階梯形變幅桿；李井等[4]運用替代法研究了冪函數(shù)形復(fù)合變幅桿。本文將放大性能良好的懸鏈線桿和形狀因數(shù)較高的圓錐桿進(jìn)行組合，提出了一種新型的半波長復(fù)合變幅桿，即圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿，運用四端網(wǎng)絡(luò)法對變幅桿進(jìn)行理論設(shè)計，得出了頻率方程、放大倍數(shù)和節(jié)點位置等重要參量，并利用ANSYS軟件對其進(jìn)行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，有限元分析結(jié)果與理論解算值基本吻合。

1 變幅桿的構(gòu)建

由圓錐桿的窄端接懸鏈線桿的寬端組成的半波長復(fù)合形變幅桿如圖1所示，圓錐桿的長度為l1，大小端面積分別為S1和S，懸鏈線桿的長度為l2，大小端面積分別為S和S2，兩桿的交界面位于坐標(biāo)原點O處。

圖1 圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿

2 變幅桿的理論分析

在簡諧振動情況下，變截面桿縱振動的波動方程[5]為

式中：vD和vX分別為圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿大端與小端面振動速度；FD和FX分別為圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿大端與小端面受到的力，當(dāng)圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿兩端自由時，由邊界條件可得FD=FX=0。

此圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿設(shè)計頻率f=20 kHz，縱波在細(xì)桿中的聲速c=5.2×103m/s，圓錐桿的大小端截面直徑分別為D1=0.052 m、D=0.038 m，懸鏈線桿的大小端截面直徑分別為D=0.038 m、D2=0.016 m。先設(shè)定圓錐桿的長度為l1=0.04 m，利用MATLAB對式（7）頻率方程求數(shù)值解得到懸鏈線桿的長度l2=0.0976 m，從而得到復(fù)合變幅桿的諧振長度l≈0.138 m，對式（8）進(jìn)行解算得出復(fù)合變幅桿的放大倍數(shù)MP≈4.5，利用A21可以計算出位移節(jié)點是在距離變幅桿左端約0.0448 m的位置。

3 變幅桿的有限元分析

3.1 模態(tài)分析

利用ANSYS有限元分析軟件對設(shè)計好的變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析，首先建立幾何模型，定義單元類型，定義材料屬性，劃分有限元網(wǎng)格，然后進(jìn)行模態(tài)設(shè)置，模態(tài)擴(kuò)展設(shè)置，并進(jìn)行擴(kuò)展求解[9]。這里變幅桿的材料采用45鋼，選用SOLID95實體單元，采用掃掠網(wǎng)格劃分，材料參數(shù)定義為：彈性模量為210.9 GPa，泊松比為0.28，密度為7800 kg/m3。網(wǎng)格的劃分情況如圖2所示，共有35 976個節(jié)點和22 618個單元。運用分塊蘭索法（Block Lanczos）分析，模態(tài)提取頻率范圍為15～25 kHz，使用Solve求解后當(dāng)f′=19808 Hz時得到其縱向振動的位移云如圖3所示。

圖2 變幅桿的有限元模型

圖3 變幅桿的位移云圖

3.2 諧響應(yīng)分析

在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，采用完全法（full）進(jìn)行諧響應(yīng)分析，這種方法是運用完整的系統(tǒng)矩陣來計算響應(yīng)的[10]。在圓柱桿的左端面加載幅值為2.7 μm的正弦變化的周期位移載荷，在變幅桿的輸出端即懸鏈線桿的小端面輸出的諧響應(yīng)曲線如圖4所示，從響應(yīng)曲線可以看出在諧振頻率大約20 000 Hz附近出現(xiàn)了振幅最大值。變幅桿的軸向位移曲線如圖5所示。從圖5可以看出，變幅桿大小端面位移分別為2.7 μm和121.85 μm，可得到放大倍數(shù)約為4.4，也可以看出位移節(jié)點是在距離變幅桿左端約0.044 m的位置，有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計基本一致。

圖4 諧響應(yīng)曲線

圖5 變幅桿的軸向位移曲線

4 結(jié)論

將經(jīng)典的圓錐形和懸鏈線形變幅桿進(jìn)行組合，提出了一種新型的圓錐懸鏈線形復(fù)合變幅桿。首先構(gòu)建了復(fù)合型變幅桿的模型，然后運用圓錐形和懸鏈線形變幅桿的四端網(wǎng)絡(luò)傳輸方程得到了新型復(fù)合變幅桿的傳輸方程，分析傳輸方程得出了頻率方程和放大倍數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式及節(jié)點位置，借助MATLAB軟件解算出了新型復(fù)合變幅桿的諧振長度、放大倍數(shù)和節(jié)點位置。最后采用ANSYS軟件對復(fù)合變幅桿進(jìn)行了模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，將有限元分析結(jié)果與理論計算值進(jìn)行比較，諧振頻率相差0.96%，放大倍數(shù)相差2.2%，位移節(jié)點位置相差0.17%，有限元分析結(jié)果與理論設(shè)計基本一致，符合變幅桿設(shè)計要求。利用該方法可以將其他任意形狀的變幅桿進(jìn)行組合，得出新型變幅桿，為變幅桿的優(yōu)化設(shè)計提供了借鑒，有一定的實用價值。