落實數(shù)學抽象素養(yǎng)為本的概念教學
——以“函數(shù)的單調(diào)性”教學為例

浙江省安吉縣孝豐高級中學 (313300) 黃 鋒

當代世界著名數(shù)學家、菲爾茲獎的獲得者M·F·阿蒂亞曾經(jīng)提出:要處理復雜性驟增的數(shù)學問題，就必須建立和發(fā)展相應的抽象數(shù)學概念.而任何概念的形成都要經(jīng)歷抽象到科學抽象再到數(shù)學抽象三個過程，那么從抽象到數(shù)學抽象如何在教學中落實到位呢？筆者以《函數(shù)的單調(diào)性》第一課為例，談談如何在概念課教學中落實“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)的實踐與思考．

1.數(shù)學抽象的抽象過程

數(shù)學的概念和形式都呈現(xiàn)出高度的抽象性，對于高度抽象化的數(shù)學概念的引入，一定從生活中真實的事物出發(fā)[1]．教科書中函數(shù)單調(diào)性的引入雖然是以具體函數(shù)的圖像形象的切入，但是它的高度抽象，學生很難理解．因此在教學中，應注重引導學生充分經(jīng)歷這個抽象過程，通過思考、討論、探究，理解單調(diào)性的含義、感受“任意”的思想．筆者認為“函數(shù)單調(diào)性”從抽象到數(shù)學抽象的抽象過程需要經(jīng)歷三個步驟．

1.1 抽象的具體化生成了抽象的定性化

函數(shù)是描述事物變化規(guī)律的數(shù)學模型，因此我們可以通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得對客觀世界中事物變化規(guī)律的認識，通過研究函數(shù)值隨自變量值的變化規(guī)律，可以獲得函數(shù)所刻畫的現(xiàn)實問題的變化規(guī)律.

教學片段1創(chuàng)設情境，引入課題

觀察下列圖片，回答如下問題：

圖1

問題1 你能結(jié)合天氣預報給我的好朋友一些建議嗎？

問題2 如果把時間設為x，最高氣溫設為y，y是x的函數(shù)嗎？

問題3 如果y是x的函數(shù)，那么函數(shù)圖像反映了哪些變化規(guī)律？

設計意圖：以生活實例為情景，激發(fā)學生的學習興趣，通過問題2，體現(xiàn)數(shù)學建模過程，培養(yǎng)學生建模意識，通過問題3，讓學生直觀感知圖像“上升(下降).

教學片段2對比分析 定性刻畫

觀察下列函數(shù)圖像，回答如下問題：

問題4 比較圖2和圖3，它們函數(shù)圖像分別具有什么樣的變化趨勢？

圖2

圖3

生：圖2特點是函數(shù)圖像從左到右保持上升趨勢，圖3特點是圖像從左到右有升也有降.

問題5 圖2對應的函數(shù)圖像“從左到右保持上升趨勢”，這一不變性是函數(shù)的什么性質(zhì)呢？

師：從左到右函數(shù)值有什么變化呢？

生：增大.

師：函數(shù)值隨著誰的變化而增大呢?

生：y隨著x的增大而增大(減小).

師：在初中，我們把這樣的性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性.

問題6 對比圖3和圖4，這兩個函數(shù)具有什么樣的共同特點？

圖4

生：圖像都是有升也有降.

師：還有嗎？

生：都是在某一段上上升或下降.

師：非常好！嚴謹?shù)恼f，在某個區(qū)間上函數(shù)圖像保持上升或下降.

師：從圖3和圖4的共同特點，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性是一個局部的概念，即“在某個區(qū)間上函數(shù)圖像保持上升或下降”.

設計意圖：學生在初中學習過函數(shù)的單調(diào)性，采用描述“y隨著x的增大而增大(減小)”這就是我們從函數(shù)圖像上看到的函數(shù)的變化趨勢，即變化中的不變性，所以學生借助于初中的經(jīng)驗還是能夠說出這種規(guī)律的教學.

教學片段1和2，使學生感受研究函數(shù)性質(zhì)的必要性，結(jié)合初中所學，從而做到數(shù)學抽象的抽象的具體化生成了抽象的定性化.

1.2 抽象的定性化促進了抽象的定量化

從函數(shù)圖像觀察到的函數(shù)單調(diào)性是“定性”的，需要進一步進行“定量化”，即用“定量”的方法對這一性質(zhì)準確刻畫.

教學片段3具體實例 定量分析

問題7 我們以f(x)=x2為例，你能從函數(shù)的對應關系出發(fā)說出圖5中點A的兩個坐標的意義嗎？

圖5

生：1.02為自變量取1.01時的函數(shù)值.

問題8 我們以f(x)=x2為例，你是理解“y隨著x的增大而增大(減小)”的？你能說說它的數(shù)量特征是什么嗎？

通過幾何畫板(如圖6)，在y軸右側(cè)的沿x增大的方向拖動點A，讓學生觀察點A的坐標變化，引導他們得出函數(shù)值的變化規(guī)律：函數(shù)值隨自變量的增大而增大.

圖6

設計意圖：上述程序?qū)崿F(xiàn)將函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上“圖像上升”這一不變性轉(zhuǎn)化為“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”的數(shù)量描述.盡管仍是“定性刻畫”，但是它離用精確的數(shù)量關系進行“定量刻畫”已經(jīng)近一步了.

問題9：“x增大了”怎么用符號語言表示？“對應的函數(shù)值y增大”又該如何表示呢？我們以f(x)=x2為例，認真填寫表格，你給出具體定量描述嗎？

…123456…f(x)=x2……

生：當x從1增大到2時，則f(x)從1增大到4，當x從2增大到3時，則f(x)從4增大到9，當x從3增大到4時，則f(x)從9增大到16，當x從4增大到5時，則f(x)從16增大到25，當x從5增大到6時，則f(x)從25增大到36.

問題10 這種函數(shù)值隨自變量的增大而增大的變化過程能寫的完嗎？

生：不能，因為在區(qū)間(0,+∞)中自變量為實數(shù)，有無數(shù)個.

問題11 你能借助當從5增大到6，歸納出上述具體例子的共同特點嗎？

師：當x從1增大到2時，則f(x)=x2從1增大4，我們用不等式如何描述？

生：當1<2時,f(1)

師：以此類推，當x從2增大到3，當x從3增大到4，當x從4增大到5，當x從5增大到6，我們可以得到f(2)

生：只要x1

設計意圖：當把函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性聚焦在“函數(shù)值隨自變量的增大而增大”后，學生對“定量刻畫”函數(shù)性質(zhì)的必要性與數(shù)學意義該有所體驗.但如何用數(shù)量關系精確刻畫這種定量關系，對學生來說還是很抽象的，因此設計時由具體到一般，讓學生逐步生成這種定量關系.

1.3 抽象的定量化推動了抽象的符號化

教學片段4精準定量 生成符號

問題12 當x1

生：如圖7，我們知道不可以取某些特殊數(shù).

圖7

問題13 你覺得更嚴格的表達應該是怎樣的？

學生小組討論

生：任取x1，x2.

師：你能精確的描述這種不等關系嗎？

生：任取x1，x2∈(0,+∞)，當x1

師生共同歸納：在定義域D的某個區(qū)間I上任意取的兩個數(shù)x1,x2，當x1

設計意圖：這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的重點、難點，其核心是通過具體到抽象的過程，讓學生學會用嚴格的語言符號刻畫函數(shù)的單調(diào)性，通過問題串，設法讓學生體會“任意”，引導他們符號語言表達，從而初步做到抽象的定量化到抽象的符號化.

教學片段5類比探究 抽象定義

問題14 類比增函數(shù)的探究方法，探究函數(shù)在區(qū)間上隨著的增大而減小？

問題15 我們應該如何類比探究呢？

生：只需要在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小即可.

師：下面請大家通過幾何畫板上在函數(shù)圖像上任取兩個點比較它們自變量和函數(shù)值的大小它們有何關系？

探究完成后老師引導學生完成下列問題：

(1)學生用符號語言描述y隨x的增大而減小：________________.

(2)學生類比增函數(shù)定義得出減函數(shù)的定義：________________.

師生共同歸納：在定義域D的某個區(qū)間I上任意取的兩個數(shù)x1,x2，當x1f(x2)，我們稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.

設計意圖：設計讓學生體會“類比”方法的作用，問題15幫助學生找到類比探究方向，同時通過學生在電腦上用幾何畫板探究，再次體會“任意……都……”的含義，進而歸納抽象出減函數(shù)的定義.

教學片段6概念辨析 鞏固新知

辨析1：若定義在區(qū)間[-2,3]的函數(shù)f(x)滿足f(-2)

辨析2：函數(shù)在區(qū)間(1,3) 和[3,5]都是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間 (1,5]上一定也是增函數(shù)嗎？

設計意圖：通過三個辨析讓學生再次體會“任意……都……”的含義，加深學生對定義的理解，通過辨析2、3體會正因為單調(diào)性強調(diào)“任意……都……”從而導致了單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)這一特征，通過辨析3讓學生對初中三大函數(shù)單調(diào)性有了完整的認識.

2.數(shù)學抽象的教學反思

搞好概念教學是實現(xiàn)數(shù)學抽象的落腳點[2]，數(shù)學概念是數(shù)學知識的基礎，是數(shù)學思維的基本形式．因此，概念課教學中不能忽略概念，把概念課上成習題課，要注重概念的生成，在概念形成的學習中讓學生學會數(shù)學抽象．那么，概念的生成體現(xiàn)在哪些方面呢？我們需要關注哪些？

2.1客觀原型是引入抽象概念的出發(fā)點

對于數(shù)學概念來說，它最基本的原型就是生活經(jīng)驗.因此，數(shù)學核心素養(yǎng)的提出，目的在于強調(diào)數(shù)學源自生活而又應用于生活.基于核心素養(yǎng)，教材的對抽象抽象概念的編寫也是以“生活情境——建立模型——解釋應用”.如概率統(tǒng)計中的正態(tài)分布密度函數(shù)是由大數(shù)學家高斯根據(jù)生活中大量的數(shù)據(jù)抽象出來的數(shù)學模型，正態(tài)分布密度函數(shù)是一個很好的適用于現(xiàn)實生活中許多事物和現(xiàn)象的概率法則，又比如牛頓依據(jù)蘋果落地這樣一生活事實抽象出萬有引力定律數(shù)學模型.因此，可以這樣說，生活經(jīng)驗是數(shù)學抽象發(fā)展的重要載體.

該設計以形象的函數(shù)圖像為出發(fā)點引出“函數(shù)單調(diào)性”這一抽象數(shù)學概念，而函數(shù)單調(diào)性的概念是則由于舍棄了其他成分而僅僅著眼于量的關系的分析獲得了更為普遍的意義，因此函數(shù)單調(diào)性的概念是這些眾多生活經(jīng)驗的共性的提煉.可以說，數(shù)學抽象的關鍵是從眾多生活經(jīng)驗的諸多性質(zhì)中提煉出其本質(zhì)屬性.

2.2邏輯發(fā)展是滲透數(shù)學抽象的著力點

數(shù)學抽象概念的發(fā)展是具有層次性的，它是由低向高逐步發(fā)展的.因此，在教授數(shù)學抽象概念時，應該重視新舊數(shù)學抽象概念之間的邏輯相關性[3].使原認知結(jié)構(gòu)中的有關知識與新學習的內(nèi)容相互作用，經(jīng)過 同化和順應，逐步完善和發(fā)展學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

由初中階段的用“隨著的增大而增大(減小)”來刻畫函數(shù)圖像從左到右的上升(下降)到高中的精確的定量關系，把這表面上看起來似乎不是特別有關系的抽象概念有機結(jié)合起來，通過邏輯發(fā)展，建立起薪的理論結(jié)構(gòu).

2.3符號語言是描述抽象概念的核心點

當今的數(shù)學世界是一個優(yōu)美壯觀的符號世界，數(shù)學符號是在數(shù)學抽象化的基礎之上由數(shù)學家們在研 究工作中逐步引入的，并且以此為基礎把數(shù)學對象的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號的研究[3].在函數(shù)單調(diào)性的概念教學中，通過邏輯發(fā)展，學生能夠理解“隨著的增大而增大(減小)”來刻畫函數(shù)圖像從左到右，但是用自然語言的表述函數(shù)單調(diào)性的概念顯然使學生思維不夠清晰和流暢，此時，如果堅持用自然語言來表述的話，勢必導致學生思維上的紊亂，因此，在數(shù)學抽象概念教學中，數(shù)學符號的引入就顯得尤為重要了.

但是數(shù)學符號有層次、有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)，其中基本符號是用以表示簡單的抽象概念，由若干基本符號而構(gòu)成的組臺符號，可以之表示較復雜的抽象概念，通過類比思想，我實現(xiàn)從數(shù)學的形式化推動了數(shù)學的符號化，至此我們完整的經(jīng)歷抽象到科學抽象再到數(shù)學抽象三個過程，學生在知識形成過程中逐步體會和理解知識，并能應用數(shù)學語言表達，進而逐步形成抽象思維能力．學生體會從量變到質(zhì)變的辯證思想，實現(xiàn)概念的飛躍．

總之，數(shù)學抽象是一個量變到質(zhì)變的過程，在教學中我們要學生經(jīng)歷具體化到抽象化在到符號化的生成過程，真正的讓核心素養(yǎng)落到實處.