數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下“閱讀與思考”欄目的探究
——以“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”為例

寧夏彭陽縣第三中學(xué) (756599) 韓連嵩

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.它包含：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析[1].這些核心素養(yǎng)的落實離不開數(shù)學(xué)閱讀和數(shù)學(xué)思考，王尚志教授曾指出：學(xué)數(shù)學(xué)要從“學(xué)會”到“會學(xué)”，“會學(xué)數(shù)學(xué)”主要表現(xiàn)在：會提出問題、會數(shù)學(xué)閱讀、會梳理知識、會表達(dá)反思等[2].福建師范大學(xué)余文森教授把閱讀能力、思考能力和表達(dá)能力看成學(xué)生的三大核心能力[3].可見，學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀和思考是貫穿于核心素養(yǎng)實施過程中的一條主要途徑.

數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生通過手、口、腦、意的共同協(xié)作，并同時汲取知識的過程，是一個完整的心理活動過程，它包含對文字語言、符號語言和圖形語言的感知和認(rèn)讀，包含對這三種語言之間的翻譯與轉(zhuǎn)換，對數(shù)學(xué)概念的同化和順應(yīng)，對閱讀材料的理解、記憶等，所以說閱讀是一個積極能動的認(rèn)知過程[4].思考是源于主體對意向信息的加工，針對某一個或多個對象進(jìn)行分析、綜合、推理、判斷等思維的活動(百度語).閱讀與思考是相輔相成的，本質(zhì)上就是在學(xué)習(xí)中思考，思考中學(xué)習(xí)，即邊學(xué)邊思.但在實際教學(xué)中，由于數(shù)學(xué)具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、描述的精確性、應(yīng)用的廣泛性、研究對象的多樣性、內(nèi)部的統(tǒng)一性等特征[5],會給數(shù)學(xué)閱讀帶來很大困難.這就需要我們教師創(chuàng)設(shè)生動有趣，貼近學(xué)生生活實際的教學(xué)情境，讓學(xué)生主動參與閱讀、觀察、思考、猜想、推理等活動，親身體驗做數(shù)學(xué)的過程.本文以教材 “閱讀與思考”欄目中的“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”為例，探討在數(shù)學(xué)閱讀與思考的實施中落實核心素養(yǎng).

二、“閱讀與思考”欄目的特點

人教A版教材在必修與選修模塊中都安排了一定量的“閱讀與思考”欄目，這些內(nèi)容的安排延伸和補充了教材正文的教學(xué)內(nèi)容，也為增強學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)提供了豐富的素材.使他們積極的去探索數(shù)學(xué)知識，拓展數(shù)學(xué)視野,為終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

有研究者曾將教材中“閱讀與思考”欄目的內(nèi)容劃分為四類：⑴知識拓展類，即對教材已有數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步拓展深化.⑵開闊眼界類，即介紹現(xiàn)代數(shù)學(xué)的新進(jìn)展，數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的滲透和應(yīng)用.⑶數(shù)學(xué)史類，即介紹數(shù)學(xué)分支的發(fā)展歷史.⑷實際應(yīng)用類，即應(yīng)用已有的知識解決一些具有實際意義和趣味性的問題.而文[6]將這四類問題概括為五大特點：①課本內(nèi)容的橫向拓展；②課本內(nèi)容的縱向延伸；③聯(lián)系生活實際；④滲透數(shù)學(xué)文化；⑤提供研究性學(xué)習(xí).把握了這些特點，教學(xué)中教師可以適時合理設(shè)計 “閱讀與思考”欄目的登場和實施.

三、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用的教學(xué)

圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”是人教版數(shù)學(xué)選修2-1教材[7]中，“圓錐曲線與方程”一章結(jié)束后的“閱讀與思考”欄目安排的閱讀性材料.其目的在于讓學(xué)生通過閱讀材料，了解圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在生活實踐中的應(yīng)用，進(jìn)一步感知數(shù)學(xué)源于生活，生活中處處存在數(shù)學(xué).同時，通過閱讀材料的學(xué)習(xí)開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界，拓展知識視野，提升數(shù)學(xué)思維能力.

1.問題驅(qū)動，激發(fā)閱讀興趣

問題1 手電筒是大家經(jīng)常使用的照明工具.一只很小的燈泡發(fā)出的光，會分散地射向各方，但把它裝在圓柱形手電筒里(圖1)，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)節(jié)，就能射出一束比較強的平行光線，你能結(jié)合物理知識，說說這是為什么嗎？

圖1

學(xué)生活動：教師提出激勵性問題，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生結(jié)合生活實際聯(lián)想物理知識，通過思考、探討、合作交流，形成初步的認(rèn)知，認(rèn)為從光源(燈泡)射出的光線經(jīng)過燈頭的凹面反射后，會射出一束比較強的平行光線.教師借機(jī)展示下面的閱讀鏈接，讓學(xué)生通過閱讀進(jìn)一步感知自己的觀點.

鏈接閱讀：原來手電筒內(nèi)，在小燈泡后面有一個反光鏡，鏡面的形狀是一個由拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)所得的曲面，叫做拋物面.燈泡發(fā)出的光，經(jīng)過拋物面的鏡面反射，就能射出一束比較強的平行光線.手電筒、探照燈(圖2)就是利用這個原理制成的.

圖2

設(shè)計意圖：以學(xué)生熟知的手電筒為背景，設(shè)置蘊涵物理知識的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生聯(lián)系實際，思考、探索、交流，提出初步的觀點.教師乘熱打鐵，在學(xué)生迫切需要時拋出閱讀材料，通過問題驅(qū)動，激發(fā)他們閱讀的興趣，讓他們邊思邊學(xué)，并結(jié)合圖片通過問題情境使其各個感官處于亢奮狀態(tài)，點燃學(xué)生積極學(xué)習(xí)的熱情火焰，調(diào)動學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生積極地、快樂地投入到數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)活動中來，培養(yǎng)了直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題2 圖3是拋物面的一個軸截面(拋物線)，請仔細(xì)觀察圖，你能通過理解提出一個怎樣的猜想？

圖3

學(xué)生活動:教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖，通過讀圖從中獲取信息，將圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，經(jīng)過觀察、思考、小組交流，達(dá)成共識.然后指派代表表述：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上一點反射后，反射光線平行于拋物線的軸.

師：其實，大家的這個猜想，已經(jīng)得到了人們的證明(后文我們再來探究它的證明).我們暫且稱其為拋物線的光學(xué)性質(zhì).

設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)閱讀是有別于其它閱讀的閱讀方式，培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力是培養(yǎng)學(xué)生綜合能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的方法之一.尤其是數(shù)學(xué)三種語言之間的相互轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)閱讀中的重中之重，通過數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力.

問題3 如圖4是一種可以加熱水和食物的太陽灶.你能不能說出它的工作原理？

圖4

學(xué)生活動：學(xué)生觀察圖形，聯(lián)想生活實際，思考問題.認(rèn)為太陽灶之所以能加熱，原因是太陽光線經(jīng)過拋物面發(fā)射后聚于一點，這一點的溫度特別高.從而提出新的結(jié)論：一束平行于拋物線對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后，匯聚于焦點.

師：我們可以把這個結(jié)論稱為拋物線光學(xué)性質(zhì)的推論.

閱讀鏈接：應(yīng)用拋物線的這個性質(zhì)，也可以使一束平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射集中于它的焦點.人們應(yīng)用這個原理設(shè)計了一種加熱水和食物的太陽灶.在這種太陽灶上裝有一個旋轉(zhuǎn)拋物面形的反光鏡，當(dāng)它的軸與太陽光線平行時，太陽光線經(jīng)過反射后集中于焦點處，這一點的溫度就會很高.

設(shè)計意圖：用學(xué)生非常熟悉的熱水太陽灶為背景設(shè)計問題，學(xué)生通過聯(lián)系生活實際，觀察圖形，引發(fā)聯(lián)想，容易發(fā)現(xiàn)和提出新問題.通過問題的引領(lǐng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

2.類比探究，發(fā)現(xiàn)橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

問題4 通過閱讀與思考，我們發(fā)現(xiàn)了拋物線的光學(xué)性質(zhì)，那么橢圓、雙曲線是否也有類似的光學(xué)性質(zhì)呢？請大家觀察圖5、圖6，你會有什么新發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生活動：教師提出問題，學(xué)生思考，通過觀察圖5、圖6，從圖形中提取信息，經(jīng)過生生交流、師生交流，達(dá)成共識，得出結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生正確表述，教師板書.

圖5

圖6

橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上.

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線匯聚于另一個焦點.

鏈接閱讀：橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)與拋物線不同，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們就好像是從另一個焦點射出的一樣.橢圓、雙曲線的光線性質(zhì)也被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計中.

如圖7，電影放映機(jī)的聚光燈有一個反射鏡，它的形狀是旋轉(zhuǎn)橢圓面.為了使片門(電影膠片通過的地方)處獲得最強的光線，燈絲F2與片門F1應(yīng)位于橢圓的兩個焦點處，這就是利用橢圓光學(xué)性質(zhì)的一個實例.

圖7

設(shè)計意圖：類比法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法.通過類比拋物線的光學(xué)性質(zhì)，觀察圖形、思考問題，從圖形中獲取基本信息，經(jīng)過歸納總結(jié)得出橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì).培養(yǎng)學(xué)生分析問題和概括問題的能力.

3.圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的證明

師：我們通過“閱讀與思考”欄目的學(xué)習(xí)，探究得到了拋物線、橢圓、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，對我們而言，只是一個猜想，它們的正確性需要我們進(jìn)行推理論證.下面我們以橢圓為例.

分析：橢圓光學(xué)性質(zhì)的證明關(guān)鍵是將文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言和符號表示，結(jié)合物理學(xué)科中鏡面反射原理，厘清在橢圓中的“鏡面”是什么？法線又是誰？然后尋找證明的思路和方法.教師引導(dǎo)學(xué)生弄清楚切線相當(dāng)于“鏡面”，與切線垂直的直線就是法線.這樣，問題的證明就轉(zhuǎn)化為證明圖8中的∠F1PQ=∠F2PQ,自然聯(lián)想到三角形內(nèi)角的平分線性質(zhì)定理.通過師生互動交流、學(xué)生嘗試、教師指導(dǎo)，達(dá)成共識，指派代表板書，最后，教師組織修訂，展示如下.

圖8

4.鏈接高考，提升能力

圖9

分析：考題的第⑵問，本質(zhì)上是橢圓光學(xué)性質(zhì)的運用，學(xué)生用性質(zhì)解決沒有太大的困難,教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生獨立完成.

點評：對于⑵求∠F1AF2的平分線所在的直線方程,先求出切線方程，再結(jié)合橢圓的光學(xué)性質(zhì)易求得，思路簡潔，解題過程干凈利落.

四、 結(jié)束語

多數(shù)學(xué)生進(jìn)入社會后，幾乎沒有機(jī)會應(yīng)用他們在學(xué)校學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻于大腦的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法卻長期在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用.因此，要落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，我們既要重視課堂教學(xué)，也要關(guān)注課外學(xué)習(xí)；既要重視教材正文內(nèi)容的教學(xué)，也要合理的安排教材“閱讀與思考”欄目的學(xué)習(xí).